2023届江西省宜春市丰城中学高三（7-22班）上学期第二次段考数学（理）试题含解析

2023届江西省宜春市丰城中学高三（7-22班）上学期第二次段考数学（理）试题

一、单选题

1．已知为全体实数集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先求出集合，然后利用集合间的交运算和补运算即可求解.

【详解】因为，当且仅当时，不等式取等号，

所以，

因为，

所以或，

故.

故选：C.

2．在中，向量与满足，且，则为（    ）

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】D

【分析】根据已知条件可知角的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状.

【详解】，分别为向量与的单位向量，

因为，所以角的角平分线与垂直，

所以是等腰三角形，且，

由，，所以，

所以，可得，

所以是等腰直角三角形.

故选：D.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】D

【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.

【详解】解：因为，所以.

故选：D

4．如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.

【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y轴对称，而，，不满足；

的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当且仅当，即时，等号成立，不符合要求；

的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当时，函数取得最大值1，符合要求；

故选：C

5．一个至少有3项的数列中，前项和是数列为等差数列的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用与的关系和等差数前n项和的公式，结合充分性和必要性的定义即可得出答案．

【详解】解：若，则当时，，

两式相减得，，

即①，

当时，②，

①②得，，

，

数列为等差数列，充分性成立，

若数列为等差数列，则显然成立，必要性成立，

前项和是数列为等差数列的充要条件，

故选：C．

6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和，若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】利用数列的递推关系求得通项公式，再结合等比数列求和公式即可求出结果．

【详解】因为 (n＝0,1,2，…)，所以，

所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1

所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，

故选：B

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先证明，，再证明，即得解.

【详解】因为，又，所以，

又，所以，

因为，所以，

因为，

所以.

故选：D.

8．函数在内存在极值点，则(    )

A． B．  C．或 D．或

【答案】A

【分析】求函数在内存在极值点的的的取值范围转化为求函数在无极值点时的的取值范围，然后求其补集，即可求解.

【详解】由题意，所求的取值范围为函数在无极值点时的的取值范围在上的补集，

若函数在无极值点，

则或在恒成立，

①当在恒成立时，

即在时恒成立，

不妨令，易知在上单调递减，

故，即；

②当在恒成立时，

即在时恒成立，

故，即

综上所述，函数在无极值点时，的取值范围，其在上的补集为，

故函数在时有极值点时，的取值范围为.

故选:A．

9．已知在等差数列中，，，前项和为，等比数列满足，，前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设等比数列的公比为，因为，，，，所以，通过计算，即可.

【详解】法一：设等比数列的公比为，则由题意可得，数列单调递增，又，所以．

法二：不妨取，则等比数列的公比，所以，，显然

故选：A．

【点睛】方法点睛：本题运用等差数列与等比数列的基本性质，用表示；除外也可以将等差数列和等比数列与函数图像结合进行分析.

10．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣．20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ）

A．192盏 B．128盏 C．3盏 D．1盏

【答案】A

【分析】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，再结合等比数列前项和公式计算即可.

【详解】设这个塔顶层有盏灯，

则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，

所以，解得，

所以这个塔的最底层有盏灯．

故选：A．

11．已知函数对任意都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简函数，对于任意，都有得到，确定和的值，再根据在上的值域为，结合正弦函数的单调性即可确定的取值范围.

【详解】依题意

，其中，

又因为对于任意，都有，

则有，即

解得，则，取，

则，

因为在上的值域为，

则，解得．

故本题正确答案为A．

【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质以及辅助角公式，由得到是解题的关键，难度比较大.

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为

A．1 B． C．1 D．

【答案】D

【解析】首先根据条件解△ABC可得：C和△ABC外接圆的半径R，由此建立直角坐标系，可得：.A（，0），B（，0），外心O为（0，），重心G.从而求得|OG|2sinθ，即可得解.

【详解】A=5sin（B），c=5，

∴acsin（B），

由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+cosB），

∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，

化为：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，

∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.

∴C.

∴△ABC外接圆的半径R .

如图所示，建立直角坐标系.A（，0），B（，0），O（0，）.

△ABC外接圆的方程为：x2.

设C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）

则G.

|OG|2sinθ，

∴|OG|的最小值为：.

故选：D.

【点睛】本题考查了解三角形，考查了外心和重心的概念，考查了较强的计算能力，解决该类问题常用如下方法：

（1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形；

（2）利用向量，结合向量的数量积进行求解；

（3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解.

二、填空题

13．在菱形中，，，，则___________.

【答案】

【分析】利用向量加减法的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律及已知条件求即可.

【详解】由题意，.

故答案为：

14． 的值__________.

【答案】1

【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.

【详解】解：

.

故答案为:1.

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.

15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为___________.

【答案】

【分析】由题意以所在的直线为轴，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，将所涉及的点的坐标求出，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.

【详解】由题意圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形，点为后轮上的一点，如图以所在的直线为轴，以点为坐标原点建立平面直角坐标系：则，，.

圆的方程为，设，

所以，，

故.

故答案为：.

16．已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为__________．

【答案】

【详解】试题分析：由可知，当时，，两式相减得：

,所以，又，，所以，，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，故，

所以，所以，故，即的最小值为．

【解析】1．与的关系；2．递推公式与通项公式求法；3．等比数列定义与性质；4基本不等式．

【方法点睛】本题综合考查数列通项与前项和的关系、由递推关系求数列通项公式、等比数列和等差数列的定义性质、基本不等式等知识，属难题．解题时，首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的最小值．

三、解答题

17．已知命题，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．

（1）求集合A；

（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   （2）

【分析】（1）由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得；

（2）由列出不等关系，求解即可.

【详解】（1）命题为真命题，则，

得

∴.

（2）∵是的必要不充分条件，∴.

∴

得

18．已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求的通项公式；

（2），，求前10项和为

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由基本量法求得首项和公差，可得通项公式；

（2）用分组求和法求和．

【详解】（1）设公差为，由，解得，

所以；

（2）由（1）得，，

所以．

【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，分组求和法求和．数列求和的常用方法：

设数列是等差数列，是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

19．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．

（1）若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；

（2）若，向量，求的最小值及对应的θ值．

【答案】（1）；（2）的最小值为，此时.

【分析】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.

（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值及对应的θ值.

【详解】（1）设D(t，0)(0≤t≤1)，

由题意知，

所以，

所以，

所以当时，最小，最小值为.

（2）由题意得，，

则＝=1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ

＝1－cos 2θ－sin 2θ＝,

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值1，取得最小值.

所以的最小值为，此时.

20．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求的取值范围；

（2）若，求的取值范围．

（可能会用到的公式：，）

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据和余弦定理，化简得到，再由正弦定理，得到，求得，结合为锐角三角形，列出方程组，即可求解；

（2）由（1）和及正弦定理，得到，结合，即可求解．

【详解】（1）在中，由，可得，

又由余弦定理得，可得，

由正弦定理可得，

因为，所以，所以，

又因为为锐角三角形，可得，解得，

即的取值范围是．

（2）因为，由正弦定理，所以

由（1）知，且，

可得，

因为，所以，

可得，即，

所以的取值范围是．

21．我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．

（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；

（2）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列的通项公式.

（2）根据数列的通项公式带入求出列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再利用裂项相消即可求出即可计算实数的取值范围.

【详解】解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：，时，

所以有

故

（2）数列满足，①

当时，，②

得：，故：，

满足上式，所以，

数列满足：，

则：，

由于恒成立，故：，整理得：，

因为在上单调递减，故当时，，

所以．

22．已知函数，是的导数，且．

（1）求a的值，并判断在（0，＋∞）上的单调性；

（2）判断函数在区间[-π，0]内的零点个数．

【答案】（1），单调递减；（2）答案见解析.

【分析】（1）根据求得参数a的值，接着根据导数的正负判断原函数的单调性；（2）对方程进行变形，构造函数，求导判断其单调性，最后根据零点存在定理求解；

【详解】解：（1）

在上单调递减，

，单调递减.

（2）法1：为一个零点；

不是零点，

所有时，

令，

令

在上单调递增，

，

时，单调递增，

所以

时，单调递减，

 故函数在区间内的零点个数为2个.

法2：

记

时，单调递减；

时，单调递增，

为在区间内的零点.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．