广西壮族自治区河池市凤山县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区河池市凤山县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共20页。
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
第I卷（选择题 共36分）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）
1．下列式子中是分式的是（ ）
A．2B．C．D．
2．在下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）

A．三角形具有稳定性B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短D．两直线平行，内错角相等
4．石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．如果是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．3B．C．3或D．6或
8．如图，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若，的周长为12，则的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为，则顶角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
11．计算的结果等于（ ）
A．1B．C．D．
12．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个.
A．3个B．4个C．5个D．6个
第II卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．使分式有意义的x的取值范围是 ．
14．已知，，则的值为 ．
15．如图，在中，，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ．

16．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点O，且经过点B，另一边经过点E，则的度数为 ．

17．如图，，，点在的垂直平分线上，若，则为 ．
18．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °

三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均为格点（网格线的交点）．

(1)作出三角形关于直线的轴对称图形三角形；
(2)求三角形的面积；
(3)在直线上找一点使得三角形的面积等于三角形的面积．
22．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
23．（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________．
（2）由（1）可以得到一个公式：________．
（3）利用你得到的公式计算：．
24．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．

(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
25．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
(1)甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
(3)在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
26．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且 与相交于点P，于点Q
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，求的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了分式的概念，理解分式的概念是解答本题的关键，“如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．”，根据分式的概念即可得到答案．
【详解】选项A，B，D中的式子都是整式，不符合题意，选项C中的式子是分式，符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义逐一判断即可求解，熟记：“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是解题的关键．
【详解】解：属于全等图形，
故选A．
3．A
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
4．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数字“0.000000000142”用科学记数法表示为．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
5．C
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，则错误，故不符合题意；
B、，则错误，故不符合题意；
C、，则正确，故符合题意；
D、，则错误，故不符合题意；
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．根据多边形的内角和公式及外角的特征转化为方程的问题来解决．
【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得：
解得．
故选：C．
7．C
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
8．C
【分析】设，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，根据，得出，继而得出．
【详解】设，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．D
【分析】根据线段中点的定义可得，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为12，可得，从而求出的周长，即可解答．
【详解】∵点D是AC的中点，
∴，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】分顶角为锐角和顶角为钝角两种情况，进行讨论求解．
【详解】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为；
综上：顶角为或；
故选C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键．在没有图的情况下，要注意分类讨论．
11．D
【分析】先逆用同底数幂的乘法法则对原式进行变形，再逆用积的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则和积的乘方法则，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
12．C
【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【详解】解：如图所示：
与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
13．
【分析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．
【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，
即，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键．
14．
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键，平方差公式：．根据平方差公式，将，的值代入即可得到答案．
【详解】
解得
故答案为：．
15．
【分析】如图，过作轴于，，证明，则，，由，可得，，则，进而可求点B的坐标．
【详解】解：如图，过作轴于，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．
【分析】本题考查了正多边形的内角问题、多边形的内角和，根据多边形的内角和公式及五边形为正五边形得，再根据四边形中多边形的内角和得，进而可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：五边形为正五边形，
，
，
，
四边形中，，
，
故答案为：．
17．8
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解∶点在的垂直平分线上，
故答案为∶8．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
18．150
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．

，
，
，，且，，
故答案为：150．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
19．
【分析】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式，根据负整数指数幂、二次根式、绝对值运算法则即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的混合运算法则进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
21．(1)见解析
(2)的面积
(3)见解析
【分析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
利用等高模型画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积；
（3）如图，点，点即为所求．

【点睛】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
22．（1）51％（2）有效果
【分析】（1）根据表格的人数得到抽取的市民中偶尔戴的人数最多，即可列式求解；（2）用30万乘以抽样中的“都不戴”安全帽的占比即可求解；（3）通过计算宣传活动前后“都不戴”安全帽的百分比即可比较得出结论.
【详解】（1）宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，
占抽取人数：；
答：宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数的，
（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万万（人），
答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数5.31万人；
（3）宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：，
，
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
23．（1），，，；（2）；（3）4
【分析】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积－小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）由（1）建立等量关系即可；
（3）根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：
图1阴影部分的面积为：，
图2长方形的长为：，
图2长方形的宽为：，
面积为：，
故答案为：，，，；
（2）由（1）可得：
，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）明：如图，过点E作于G，于H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
25．(1)每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元；
(2)商场最多购进乙商品25个；
(3)共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润=售价-进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【详解】（1）解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，
根据题意，得，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10-2=8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个．
由题意得：3y-5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380，
解得：y＞．
∵y为整数，y≤25，
∴y=24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
26．(1)见解析
(2)
(3)14
【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得，再由直角三角形两锐角互余即可得到结论；
（3）由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，可得，即可．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
类别
人数
68
245
510
177
合计
1000