辽宁省丹东市宽甸满族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省丹东市宽甸满族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．）
1．如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．，且C．，且D．
3．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题中，错误的是（ ）
A．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形
B．点，都在反比例函数图象上，且，则
C．线段的长度是2，点是线段的黄金分割点且，则
D．对于任意的实数，方程有两个不相等的实数根
5．已知线段a,b,c,求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，广场上有一盏路灯挂在电线杆顶，记电线杆的底部为．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，女孩的影子长为，路灯的高度是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．无法确定
8．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒
9．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
10．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（）
A．①②③④B．①④C．②③④D．①②
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知、、满足，、、都不为0，则 ．
12．小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球4000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.6附近波动，据此可以估计黑球的个数约是 ．
13．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm．
14．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ．
15．如图，在菱形中，，点，分别是，上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①；②若，则；③与一定不垂直；④的大小为定值．其中正确的结论有 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、验算步骤和推理过程）
16．解方程：．
17．如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出；
(2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似．
(3)图3中，在线段上画一个点，使．
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，在一次购物中，张华和李红都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”四种支付方式中选一种方式进行支付．
(1)张华用“微信”支付的概率是______．
(2)请用画树状图或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．(其中“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”分别用字母“A”“B”“C”“D”代替)
19．如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．

(1)求证：是菱形；
(2)，，求的长．
20．某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为元，原计划以每个元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

(1)求与之间的函数关系式；
(2)在这次排球销售中，该文具店获利元，这种排球每个的实际售价多少元？
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．
22．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它．
(1)构建模型：
当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的；
(2)问题探究：
根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______；
(3)拓展应用：
写出周长m的取值范围．
23．2022版《数学课程标准》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力，目前我们已经具备应用已学知识证明其他结论的能力．请阅读下列材料，完成相应任务．
【方法解析】
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
【数学思想】
（2）上述证明方法中主要体现的数学思想是________；
A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想
【知识迁移】
（3）如图3，点是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，点，分别是和的中点，连接．若，，，请求的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：
，
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：由题意得，
k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，
解得：k＜5且k≠1．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：解题的关键是掌握当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．A
【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．
4．B
【分析】本题考查的是中点四边形、反比例函数的性质、黄金分割、一元二次方程根的判别式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．
根据中点四边形、反比例函数的性质、黄金分割、一元二次方程根的判别式计算，判断即可．
【详解】解：A、顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形，本选项命题正确，不符合题意；
B、点都在反比例函数图象上，当或时，，故本选项命题错误，符合题意；
C、线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则，本选项命题正确，不符合题意；
D、，
∴对于任意的实数b,方程有两个不相等的实数根，本选项命题正确，不符合题意；
故选：B．
5．D
【详解】根据平行线的性质一一分析．
解：A、根据平行线的性质得，故x=，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得，故x=，故此选项错误；
C、根据平行线的性质得，故x=，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得故x=，故此选项正确．
故选D．
6．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到，然后代入对应线段的值进行计算求解即可．
【详解】解：如图所示，由题意得，
∴，
∴，即，
解得，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质．
利用基本作图得到，，根据平行四边形的性质得，则，可得，从而得到，于是可判断四边形为菱形，于是得到四边形的周长．
【详解】解：由作法得：平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴四边形的周长．
故选：A．
8．C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
9．B
【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，对角线长为x尺，根据勾股定理可得的方程．
【详解】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，
故选：B．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
10．D
【分析】根据平行四边形的性质得到AE＝CE，根据相似三角形的性质得到＝，等量代换得到AF＝AD，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE＝36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝9，故③错误；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．
【详解】解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∵ADBC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①正确；
∵S△AEF＝3，，
∴S△BCE＝27；故②正确；
∵，
∴，
∴S△ABE＝9，故③错误；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．##
【分析】设，则，，，代入求解即可．
【详解】解：设，则，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．
12．2400．
【分析】因为摸到黑球的频率在0.6附近波动，所以摸出黑球的概率为0.6，再设出黑球的个数，根据概率公式列方程求解即可；
【详解】设黑球的个数为x，
∵摸到黑球的频率在0.6附近波动，
∴摸出黑球的概率为0.6，
∴，
∴；
故答案是2400．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率的知识点，利用方程求解是解题的关键．
13．16
【分析】正确理解小孔成像的原理，因为所以∽，则有而AB的值已知，所以可求出CD．
【详解】∽
，
又
．
【点睛】相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．
14．
【分析】根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图像均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案．
【详解】解：矩形OABC与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
矩形OABC与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
四边形的面积为3，
由图可知，，
即，解得，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
15．①②④
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．根据菱形的性质，再结合全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，①符合题意；
∴，
由①得，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴④符合题意；
③当点E，F分别是，中点时，
由（1）知，，为等边三角形，
∵点E，F分别是，中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴③不符合题意；
过点F作交于P点，如图，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故②符合题意；
所以，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
16．，
【分析】本题考查了解一元二次方程．移项后，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得，．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）根据位似比为，画出点A、B的对应点、，然后顺次连接即可；
（2）取格点，连接即可；
（3）取格点、，连接交于点P．
【详解】（1）解：即为所求
（2）解：即为所求
根据勾股定理得：，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P即为所求，
∵，
∴，，
∴，
∴．
18．(1)；(2).
【分析】(1)直接利用概率公式求解可得．
(2)首先根据题意列表，然后列表求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：(1)张华用“微信”支付的概率是，
故答案为；
(2)列表如下：
由列表或树状图可知，共有16种结果，且每种结果的可能性相同，其中两人恰好选择同一种支付方式的有4种，
故P(两人恰好选择同一种支付方式)＝．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．(1)证明见解析
(2)的长为
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得：，然后由矩形的性质得，，即可解决问题．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
∴平行四边形是矩形，
，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)
(2)元
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
（2）利用总利润每个排球的销售利润销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：这种排球每个的实际售价是元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用待定系数法，求出与之间的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．(1)，．
(2)．
【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上，
，
解得，，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得
，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的表达式为：
（2）由（1）得，一次函数的解析式为，
令，则；
令，则，，
，
，，
，
，
设点
，解得，
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
22．(1)，
(2)，
(3)
【分析】(1)由图即可得到两交点的坐标，即可求解；
(2) 由得，直接画出的图象，根据两图象只有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数解，据此即可求解；
(3) 当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，一元二次方程有实数解，据此即可求解．
【详解】（1）解：从图①中观察到，交点坐标为，；
故答案为：，；
（2）解：由得，
故满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数的交点坐标，
画出直线如下：
，得，
直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或(舍去)；
故答案为：，；
（3）解：当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，
，
解得或(舍去)，
故周长m的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与交点问题，一元二次方程根的判别式，函数图象的平移，此类探究题，通常按照题设条件依次求解．
23．（1）见解析；（2）A；（3）
【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理．
（1）延长到，使得，连接、，根据是斜边上的中线，得到，进而得到四边形是平行四边形，再根据，得到平行四边形是矩形，即可得证；
（2）根据将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，体现了转化思想，作答即可；
（3）过点在上方作，过点作于，过点在上方作，过点作于，连接、、，延长交于，得到四边形、四边形、四边形都为矩形，进而得到四边形、四边形均为矩形，勾股定理求出，再根据三角形的中位线定理，进行求解即可．
掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线的定理，是解题的关键．
【详解】（1）证明：延长到，使得，连接、，
∵是斜边上的中线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
（2）根据将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，体现了转化思想，
故选A；
（3）解：过点，在上方作，过点作于，过点，在上方作，过点作于，连接、、，延长交于，

则四边形、四边形、四边形都为矩形，
∴四边形、四边形均为矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵点，分别是和的中点，四边形、四边形都是矩形，
∴点，分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
求证：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．
A
B
C
D
A
(A，A)
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，B)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，C)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D，D)