辽宁省本溪市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份辽宁省本溪市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试卷
（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．每一条对角线都平分一组对角B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线互相平分
2．方程x（x+1）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
3．如图是由7个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解方程，配方后方程转化为的形式，则的值分别是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
6．已知点，，都在反比例函数的图象上，则（）
A．B．C．D．
7．一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，现从袋子中随机摸出2个小球（不放回去），则这两个小球标号的和等于5的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，菱形中，对角线、相交于点，分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述不正确的是（ ）
A．是等边三角形B．四边形是菱形
C．D．四边形与四边形是位似图形
9．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，正方形OABC和正方形ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是 ．
12．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长为 ．
13．如图，在中，若，，，则的长为 .

14．如图，直线与双曲线（且）交于点，点的纵坐标是1，点是双曲线上另一点，且点的横坐标是1，连接，，则的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为 ．
三、解答题（本题共8小题共75分，解答应写出文字说明演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)解方程
(2)解方程
17．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．求截去正方形的边长．
18．为增强学生的身体素质，本溪市教育局规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对某学校部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下不完整的频数分布表．
频数分布表
请你根据表中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中共调查了多少名学生？
(2)请你将频数分布表补充完整；
(3)如果这所学校共有1800名学生，你估计参加户外活动时间符合教育局要求的学生有多少名？
19．如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
(1)求证：；
(2)若为中点，，求的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
21．如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点，连接，若．
(1)求证：；
(2)若将试题中的“正三角形”改为“正方形”（如图2），是的平分线上一点，则当时，结论是否还成立？（直接给出结论，不需要证明）
22．【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点．
【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式；
【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解决问题】
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)连接，过点作于点，求的值：
(3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．【问题初探】
如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点，求证：．
（1）刘诗琪同学认为通过证明与全等，可证．请你帮助刘诗琪同学完成这个证明；
【类比分析】
（2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变．你认为是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【学以致用】
（3）如图3，刘诗琪同学将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值（用含有的代数式表示）．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意；
B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意；
C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意；
D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质．
2．D
【分析】根据一元二次方程的因式分解法求解即可．
【详解】解：∵
∴或
故选：D
【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，牢记相关的解法是解题的切入点．
3．C
【分析】本题主要考查了俯视图，从上面观察几何体得到平面图形即为答案．
【详解】俯视图有两行，第一行有3个正方形，第二行有2个正方形且靠左．
如图所示．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的判别式，由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
即，且，
解得且，
故选A．
6．D
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小大．当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
分别把各点代入反比例函数求出、、，的值，再比较出其大小即可．
【详解】都在反比例函数的图象上，
故选：D．
7．A
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先列表展示所有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于5的占4种，然后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：列表如下：
从袋子中随机摸出2个小球，共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于5的占4种，
所有两次摸出的小球标号的和等于5的概率为，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查的是菱形的性质、位似变换的概念、等边三角形的判定，全等三角形的判定，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理判断A；根据三角形中位线定理、菱形的判定定理判断B；根据菱形的性质判断C，根据位似变换的概念判断D．
【详解】解：不一定等于为，
∴不一定都是等边三角形，A错误，符合题意；
∵四边形为菱形，
，
∵，分别是边、、的中点，
，
∴四边形是菱形，B正确，不符合题意；
∵四边形为菱形，点，分别是边、、的中点，
，
，C正确，不符合题意；
四边形与四边形都是菱形，点，分别是边、、的中点，点A为公共点，
∴四边形与四边形是以A为位似中心的位似图形，D正确；
故选：A．
9．D
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选D．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
10．A
【详解】解：在正方形中四条边都相等，由反比例函数的性质可知，
则若假设点E的纵坐标为，则横坐标为，
∵在反比例函数图象上任意一点的横坐标和纵坐标的乘积都等于，
∴列方程：
解得（舍），
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的系数的几何意义．
11．1:2
【详解】解：因为相似三角形的周长比等于相似比1:2，所以这两个三角形的周长比是1:2．
故答案为：1:2．
【点睛】本题考查相似三角形的性质．
12．
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定出第三边即可，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：，
，
解得：，，
∴三边为，不能构成三角形，舍去；
，符合题意， 则此三角形的周长为，
故答案为：．
13．8
【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
即
∴BC=8（cm）
故答案是：8
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键．
14．4
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，用割补法求三角形的面积，求一次函数值，先将代入直线的关系式求出y的值，可得出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数关系式求出k，即可求出点B的坐标，然后根据割补法求出面积即可．
【详解】当时，，
∴点．
将点代入，得，
∴反比例函数关系式为．
当时，，
∴点．
过点A，B分别作x，y轴的平行线，交于点E，交x轴于点D，交y轴于点C，
∴，，，，，
则．
故答案为：4．
15．
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出，进而得出的长，即可得出答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
点坐标为：，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用因式分解法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：
或
解得，
（2）解：
或
解得，
17．截去正方形的边长为10厘米．
【分析】设截去正方形的边长为x厘米，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x），现在要求长方体的底面积为：800平方厘米，令二者相等求出x的值即可．
【详解】设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，
所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）=800，
即：x2﹣50x+400=0，
解得x1=10，x2=40（不合题意舍去）．
答：截去正方形的边长为10厘米．
18．(1)这次调查中共调查了50名学生
(2)见解析
(3)估计参加户外活动时间符合教育局要求的学生约有720名
【分析】此题考查了频数分布表，以及用样本估计总体．
（1）由1小时的人数除以其频率可得总人数；
（2）用总人数乘以各小组的频率得出各小组人数，即可补全频数分布表；
（3）用总人数乘以样本中不少于1小时的频率可得答案．
【详解】（1）解：（名）
答：这次调查中共调查了50名学生；
（2）
（3）（名）
答：估计参加户外活动时间符合教育局要求的学生约有720名．
19．(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），根据矩形的性质得，，进而得出，再根据菱形的性质可得，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案；
对于（2），先根据菱形的性质得，，再说明四边形是平行四边形，可得，然后根据矩形的对角线相等得出答案.
【详解】（1）四边形是矩形，
，，
．
，，
．
四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）连接，
四边形是菱形，
，．
为中点，
．
，
，，
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形，
，，
．
【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定等，灵活选择性质定理是解题的关键．
20．（1）点坐标为；（2）.
【分析】（1）求出P点的纵坐标，再代入函数解析式，即可求出答案；
（2）根据三角形的面积公式求出PQ，求出MQ，求出点Q的坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵轴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，
∴点坐标为；
∵，
∴，
∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
21．(1)见解析
(2)成立
【分析】对于（1），先在上截取，连结，根据等边三角形的性质得，再说明为等边三角形，可得，即可证明
≌，进而得出答案；
对于（2），仿照（1），在上取一点E，使，连接，先求出，再证明，进而得出，可得≌，最后根据“全等三角形的对应边相等”得出答案.
【详解】（1）证明：在上截取，连结．
是等边三角形，
，．
，，
．
又平分，
，
．
又，，
，
即．
为等边三角形，
∴，
，
即，
∴≌，
．
（2）成立．
在上取一点E，使，连接．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴≌，
∴.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键．
22．(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法求直线与双曲线的解析式；
（2）根据，求出，再利用勾股定理求出，即可求解；
（3）过点A作轴，先证是等腰直角三角形，推出，分或两种情况，则或，代入数值求出即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
直线解析式为，
点在直线上，
，
，
将代入，得：，
解得，
双曲线的解析式为；
（2）解：，，
，，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点A作轴，垂足为点N，
对于直线，令，得，
，
，，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
若以点、、为顶点构成的三角形与相似，
则或，
或，
或，
解得或，
，点D在点C右侧，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用等面积法求三角形的高，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的存在性问题，第三问有一定难度，证明，注意分情况讨论是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）由，，可得，又由正方形的性质，可利用证得，则问题得证；
（2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证；
（3）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，证得，则可证得，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图1，
，
在和中，
（2）成立．
证明：如图2，过点作于，过点作于，
∵四边形为正方形，
∴平分，
又∵，
∴四边形是正方形，
在和中，
（3）如图3，过点作于，过点作于，垂足分别为、，
则，
，
即
，
【点睛】此题考查了四边形综合题，需要掌握正方形，矩形的性质，角平分线的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
时间分组（小时）
频数（人数）
频率
10
0.2
0.4
10
0.2
0.1
5
合计
1
1
2
3
4
1
2
3
4
时间分组（小时）
频数（人数）
频率
10
0.2
20
0.4
10
0.2
5
0.1
5
0.1
合计
50
1