专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值（原卷及解析版）

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【典例指引】
例1 己知函数.
（1）若函数在处取得极值，且，求；
（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.
法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令，
①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾.
②当时，则开口向上
(方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即.
Ⅱ.若，即时，此时，不合题意.
法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则.
另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.
例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
法二（直接化为最值）：在恒成立，则 (导函数为超越函数）；在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.
（2）当即 时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.
法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为
法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令.
又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.
综上，实数的取值范围为.
点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。
2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；
（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
当时，在上单减，上单增，而，矛盾；
综上，.
法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）
设，令
在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为
（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；
综上，实数的取值范围为
点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意.
（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。
（3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。
【扩展链接】
洛必达法则简介：
法则1 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导，且；（3），那么.
法则2 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2），和在与上可导，且；（3），那么.
法则3 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么.
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
②洛必达法则可处理型。
③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会
出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
【同步训练】
1．已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）若存在，使，求实数的取值范围.[来源:学.科.网]
【思路引导】
(1)由题意对函数求导，然后构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论；
(2)结合题意构造函数，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是.
设h（x）=（x≥e），则h’（x）=
u=lnx-，u’=在[e，+∞）递增。
x=e时，u=1-＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立，
h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）递增
x≥e，时h（x）min=h（e）=ee
需ea＞eea＞e
2．已知， 是的导函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．
【思路引导】
（Ⅰ）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出的极值；（Ⅱ）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围．
【详细解析】
当时，由（）可得（）.
，
故当时， ，
于是当时， ， 不成立.
综上， 的取值范围为．
3．已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
【思路引导】
(Ⅰ) 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令得增区间， 得减区间； （Ⅲ）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.
【详细解析】
（3）当，即时， 在上恒成立，
所以函数的增区间为，无减区间.
综上所述：
当时，函数的增区间为， ，减区间为；
当时，函数的增区间为， ，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间.
（Ⅲ）因为对于任意，都有成立，
则，等价于.
令，则当时， .
.
因为当时， ，所以在上单调递增.
所以.
所以.
所以.
4．已知函数，.
(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；
(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.
【思路引导】
(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；
(2) 易得当时，，设，则，设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；
法二：
(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；
(2)同法一.
【详细解析】

(Ⅱ)当时，，即当时，
当时，，
设，则，
设，则.
(1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立)
在上单调递增，
又当时，，从而当时，，
在上单调递减，又，
从而当时，，即
于是当时，，

在上单调递增，又，
从而当时，，即
于是当时，，
综合得的取值范围为.
当变化时，变化情况如下表：
恰有三个根，
故过点有三条直线与曲线相切.
(Ⅱ)同解法一.
5．已知函数（）.
（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；
（2）若 对恒成立，求的取值范围.（提示：）
【思路引导】
(1)考查函数的定义域，且 ，由，得.分类讨论：
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为.
(2)构造新函数，令 ，，
则 ，，分类讨论：
①当时，可得.
②当时， .
综上所述，.
【详细解析】
②当时，令，得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得最大值.
故只需，即 ，
化简得 ，
令，得（）.
令 （），则 ，
令，，
所以在上单调递增，又，，所以，，所以在上单调递减，在上递增，
而， ，所以上恒有，
即当时， .
综上所述，.
6．已知函数在点处的切线方程为,且.
(Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值.
【思路引导】
(Ⅰ)由函数的解析式可得，结合导函数与极值的关系可得，无极大值.
(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数的最大值是5.
【详细解析】
.∴在区间上递增，在区间上递减，
又∵
∴当时，恒有；当时，恒有；
∴使命题成立的正整数的最大值为.
7．已知函数， ，其中， .
（1）若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；
（2）当时， ， ， ，且在上有极值，求的取值范围.
【思路引导】
（1）求导,由题意,可得,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;
（2）当时， ，求导,酒红色的单调性可得,进而得到.
又， ，分类讨论,可得或时， 在上无极值.
若，通过讨论的单调性，可得 ，或 ，可得的取值范围.
【详细解析】

的单调递增区间为，单调递减区间为， .
的极小值为.

8．已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设， ，
证明： .
【思路引导】
(1) 求导,易得结果为;
(2) 原不等式等价于,令,,令,分, ,三种情况讨论函数的单调性,则可得结论;
(3) 利用定积分求出m的值,由(2)知,当时, ,则, 令, ,求导并判断函数的单调性,求出, 即在上恒成立, 令,则结论易得.
【详细解析】
且时， ，∴递增，∴ (不符合题意)
综上： .

9．已知函数， 为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围.
【思路引导】
(1) ，分、两种情况讨论的符号，则可得结论；(2) 当时，原不等式可化为，令，则，令，则，进而判断函数的单调性，并且求出最小值，则可得结论.
【详细解析】
(1)
①若， ， 在上单调递增；
②若，当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增
10．设函数.
（1）当时,求函数在点处的切线方程；
（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.
【思路引导】
（1）把代入函数解析式，求导后得到函数在点处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，求出函数的导函数，导函数在处，的导数为零，然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围，就是满足函数恒成立的实数的取值范围.
【详细解析】
（1）当时,
由，则
函数在点处的切线方程 为
即
11．设函数，其中， 是自然对数的底数.
（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明： .
【思路引导】
（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II）将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得.
【详细解析】
（Ⅱ） .
令（），以下证明当时， 的最小值大于0.
求导得 .
①当时， ， ；
②当时， ，令，
则 ，又 ，
取且使，即，则 ，

12．已知函数（）与函数有公共切线．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围．
【思路引导】
（1）函数与有公共切线， 函数与的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切时的临界值，就可求出参数的取值范围。（2）等价于在上恒成立，令，x>0,继续求导，令，得。可知的最小值为>0,把上式看成解关于a的不等式，利用函数导数解决。
【详细解析】[来源:Z#xx#k.Cm]
（Ⅰ），．
∵函数与有公共切线，∴函数与的图象相切或无交点．
当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则，
（Ⅱ）等价于在上恒成立，
令，
因为，令，得，
所以的最小值为，
令，因为，
令，得，且
所以当时，的最小值，
当时，的最小值为 ，
所以．
综上得的取值范围为．
13．已知函数，.
（1）求证：（）；
（2）设，若时，，求实数的取值范围.
【思路引导】
（1）即证恒成立，令求导可证；（2）
，．又 ，因为时，恒成立，所以，所以只需考虑。又，所以下证符合。
【详细解析】
②当时，
极大值
极小值
极小值
极大值