专题21 数量积、角度及参数型定值问题(原卷版)

这是一份专题21 数量积、角度及参数型定值问题(原卷版)，共16页。
专题21　数量积、角度及参数型定值问题
题型一　数量积型定值问题
【例题选讲】
[例1]　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1，0)，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得·为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

[规范解答]　(1)由题意可知，c＝1，又e＝＝，解得a＝，
所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)若直线不l垂直于x轴，可设l的方程为y＝k(x－1)．
联立椭圆方程＋y2＝1，化为(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．
设M(t，0)，则＝(x1－t，y1)，＝(x2－t，y2)，
·＝(x1－t，y1)(x2－t，y2)＝(x1－t)(x2－t)＋y1 y2＝(x1－t)(x2－t)＋k2(x1－1)( x2－1)
＝(1＋k2) x1x2－(t＋k2)(x1＋x2)＋t2＋k2＝(1＋k2) －(t＋k2) ＋t2＋k2
＝．
要使得·＝λ(λ为常数)，只要＝λ，
即(2t2－4t＋1－2λ) k2＋(t2－2－λ)＝0．
对于任意实数k，要使上式恒成立，只要，解得．
若直线l垂直于x轴，其方程为x＝1，此时，直线l与椭圆两交点为A(1，)，B(1，－)，
取点M(，0)，有＝(－，)，＝(－，－)，
·＝(－)(－)＋(－)＝－＝λ．
综上所述，过定点F(1，0)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点M(，0)，使得·＝－．
[例2]　已知O为坐标原点，椭圆C：＋y2＝1上一点E在第一象限，若|OE|＝．

(1)求点E的坐标；
(2)椭圆C两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，过点M(0，－1)的直线l交椭圆C于点D，交x轴于点P，若直线AD与直线MB相交于点Q，求证：·为定值．
[规范解答]　(1)设E(x0，y0)(x0>0，y0>0)，因为|OE|＝，所以＝　①，
又因为点E在椭圆上，所以＋y02＝1　②，
由①②解得：，所以E的坐标为(1，)；
(2)设点D(x1，y1)，则直线DA的方程为y＝(x＋2)　③，直线BM的方程为y＝x－1　④，
由③④解得xQ＝，又直线DM的方程为y＝x－1，
令y＝0，解得xP＝，所以·＝·＝，
又＋y12＝1，所以·＝＝4．
[例3]　椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值．

[规范解答]　(1)因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，
由已知得b＝1，c＝1，所以a＝，椭圆方程为为＋x2＝1．
直线l垂直于x轴时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得，(k2＋2)x2＋2kx－1＝0．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
|CD|＝·|x1－x2|＝·＝＝，解得k＝±．
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1．
(2)直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，所以P点坐标为(－，0)．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－，
直线AC的方程为y＝(x＋1)，直线BD的方程为y＝(x－1)，
将两直线方程联立，消去y得＝，因为－1＜x1，x2＜1，所以与异号．
()2＝＝·＝＝＝()2．
又y1 y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－·
∴与y1y2异号， 与同号，＝，解得x＝－k，
因此Q点坐标为(－k，y0)．·＝(－，0)(－k，y0)＝1，故·为定值．
[例4]　如图，点M在椭圆＋＝1，(00将M(x0，y0)代入圆与椭圆的方程，可得．
x02＋y02－2ty0－1＝0，x02＋2y02＝2，消去x0，得t＝，代入(*)得：y2－ y－1＝0，
即y2－(－y0) y－1＝0，所以(y－)(y＋y0)＝0，
过F1，F2，M的圆与y轴交于点P，Q(P在Q的上方)．所以yP＝，yQ＝－y0．
则kPM＝．则直线PM的方程为y＝x＋，
由直线PM与x＝2的交点为N．所以在直线PM的方程中，令x＝2，
得，y＝×2＋＝＋＝．得N(2，)，
设T(d，0)，·＝(x0－d，y0)·(2－d，)＝(x0－d)(2－d)＋1－x0＝(1－d)x0－d(2－d)＋1．
要使得·为定值，即与M的坐标无关．
当d＝1时，·＝0为定值．存在定点T（1，0），使得·为定值0．
[例5]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝，直线l1：y＝k(x－m)(m∈R，m>)与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点R(，0)，若·是一个与k无关的常数，求实数m的值．

[规范解答]　(1)联立解得y＝±，故＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，
联立可得a＝，b＝c＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程消元得(1＋2k2)x2－4mk2x＋2m2k2－2＝0，
Δ＝16m2k4－4(1＋2k2)(2k2m2－2)＝8(2k2－k2m2＋1)，∴x1＋x2＝，x1x2＝．
·＝(x1－)(x2－)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋k2(x1－m)(x2－m)
＝(1＋k2) x1x2－(＋mk2) (x1＋x2)＋＋k2m2＝＋，
(这里的计算使用点乘双根法更便捷)
令(1＋2k2) x2－4mk2x＋2k2m2－2＝(1＋2k2)(x1－x)(x2－x)，
再令x＝，得(x1－)(x2－)＝，
∵y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)，∴再令x＝m，得k2(x1－m)(x2－m)＝，
∴(x1－)(x2－)＋y1y2＝＋
(选择自己熟练的计算方法进行计算，务必保证计算不能出错)
又·是一个与k无关的常数，∴3m2－5m－2＝－4，即3m2－5m＋2＝0，
∴m＝1或m＝，又∵m>，∴m＝1，
当m＝1时，Δ>0，直线l1与椭圆C交于两点，满足题意，∴m＝1．
[题后悟通]　本题的关键点就在于如何使成为一个与k无关的常数，在这里应用了比例的性质，即令分子分母中的同类项成比例，可以观察到分子分母的常数项的比例为－2，则令分子分母中k2的系数的比例也为－2，即令3m2－5m－2＝－4，则可求出参数的值．
【对点训练】
1．已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为(－，0)，离心率为e＝．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(1，0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使·为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．已知椭圆＋＝1 (a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与
点F构成正三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(1，)，过椭圆的
左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：AP⊥OM；
(3)试问·是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．

4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于
M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与圆O：x2＋y2＝相切，求证：·为定值．

5．已知以原点O为中心，F(，0)为右焦点的双曲线F的离心率e＝．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)如图，已知过点M(x1，y1)的直线l1：x1x＋4y1y＝4与过点N(x2，y2)(其中x2≠x1)的直线l2：x2x＋4y2y＝4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于G，H两点，求·的值．

题型二　角度型定值问题
【例题选讲】
[例1]　已知椭圆W：＋＝1(a＞b＞0)的上下顶点分别为A，B，且点B(0，－1)．F1，F2分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F1BF2＝120°．
(1)求椭圆W的标准方程；
(2)点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y＝－1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求证：∠OEG为定值．

[规范解答]　(1)依题意，得b＝1．又∠F1BF2＝120°，在Rt△BF1O中，∠F1BO＝60°，所以a＝2．
所以椭圆W的标准方程为＋y2＝1．
(2)设M(x0，y0)，x0≠0，则N(0，y0)，E(，y0)．
因为点M在椭圆W上，所以＋y02＝1．即x02＝4－4y02．
又A(0，1)，所以直线AE的方程为y－1＝x．令y＝－1，得C(，－1)．
又B(0，－1)，G为线段BC的中点，所以G(，－1)．
所以＝(，y0)，＝(－，y0＋1)．
因为·＝(－)＋y0(y0＋1)＝－＋y02＋y0
＝1－＋y0＝1－y0－1＋y0＝0，所以⊥．∠OEG＝90°．
[例2]　已知点M(x0，y0)为椭圆C：＋y2＝1．上任意一点，直线l：x0x＋2y0 y＝2与圆(x－1)2＋y2＝6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
(2)求证：直线l与椭圆C相切；
(3)判断∠AFB是否为定值，并说明理由．

[规范解答]　(1)由题意a＝，b＝1，c＝1．所以离心率e＝＝，左焦点F(－1，0)．
(2)由题知，＋y02＝1，即x02＋2y02＝2，
当y0＝0时直线l的方程为x＝或x＝－，直线l与椭圆C相切．
当y0≠0时，由得(2y02＋x02)x2－4x0x＋4－4 y02＝0，即x2－2x0x＋2－2y02＝0．
所以Δ＝(－2x0)2－4(2－2y02)＝4x02＋8y02－8＝0．故直线l与椭圆C相切．
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当y0＝0时，x1＝x2，y1＝－y2，x1＝±，
·＝(x1＋1)2－y22＝(x1＋1)2－6＋(x1－1)2＝2 x12－4＝0，所以⊥，即∠AFB＝90°．
当y0≠0时，由得(y02＋1)x2－2(2y02＋x0)x＋2－10 y02＝0，
则∴x1＋x2＝，x1x2＝．y1y2＝ x1x2－(x1＋x2)＋＝．
因为·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2
＝＋＝＝0．
所以⊥，即∠AFB＝90°．故∠AFB为定值90°．
[例3]　已知点F1为椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P(－1，)在椭圆上，PF1⊥x轴．
(1)求椭圆的方程：
(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为，∠AOB的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

[规范解答]　(1)因为PF1⊥x轴，又P(－1，)在椭圆上，可得F1(－1，0)，
所以c＝1，＋＝1，a2＝c2＋b2，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：＋y2＝1；
(2)当直线l的斜率不存在时，由原点O到直线l的距离为，
可得直线l的方程为：x＝±，
代入椭圆可得A(，)，B(，－)或A(－，)，B(－，)，
可得·＝0，所以∠AOB＝；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：y＝kx＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由原点O到直线l的距离为，可得＝，可得3m2＝2(1＋k2)，①
直线与椭圆联立整理可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，将①代入Δ中可得Δ＝16m2＋8>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＋＋m2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝＋＝，
将①代入可得·＝0，所以∠AOB＝；
综上所述∠AOB＝恒成立．
【对点训练】
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，
且|AF2|＝．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆
O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．
(1)求圆和椭圆的方程．
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．

3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆C
交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与圆O：x2＋y2＝相切，证明：∠MON为定值．

题型三　参数型定值问题
【例题选讲】
[例1]　(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．
[规范解答]　(1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2．故抛物线C的方程为y2＝4x．
由题意知，直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0．依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k