2024届上海市浦东新区进才中学高三上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市浦东新区进才中学高三上学期11月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．在中，已知，则此三角形最大内角度数为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，由大边对大角知所求角为，利用余弦定理可求得结果.
【详解】在中，利用正弦定理可得：，的最大内角为，
不妨设，，，
则，
，.
故答案为：.
2．若等式对一切都成立，其中，，，为实常数，则的值为 .
【答案】1
【分析】赋值法求解系数和，令即可得．
【详解】由等式对一切都成立，
其中，，，为实常数，
则令，即令，可得.
故答案为：1.
3．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为 .
【答案】或
【分析】由函数的单调性与奇偶性求解．
【详解】因为当时，单调递增，且，
所以等价于.
因为为偶函数，所以，解得或，
即不等式的解集为或
故答案为：或．
4．函数的最大值为 ．
【答案】/
【分析】首先求得，设，，得出的单调区间，即可得出最大值．
【详解】，
设，，
令，得或，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上，单调递增，
又因为，，
所以的最大值为，
故答案为：．
5．已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】确定函数单调递增，计算，得到，确定，解得答案.
【详解】在上单调递增，
当时，，，
，，即，
故是值域的子集，故，解得.
故答案为：.
6．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
7．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
8．在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是 ．
【答案】
【分析】由题可得，然后利用二项式展开式的通项公式即得.
【详解】∵在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，
∴展开式中第5项是中间项，共有9项，
∴，
展开式的通项公式为，
令，得，
∴展开式中含项的系数是.
故答案为：.
9．已知函数．若，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出函数的图象得到，然后结合图象即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图所示，

如，则，
又因为，结合图象可知：，
所以实数m的取值范围是，
故答案为：.
10．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意，问题等价转化为f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，分别求出最值，列出不等式求解即可.
【详解】由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，
所以f(0)≥g(2)，即，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的最值问题，属于简单题.
二、解答题
11．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）点A到平面PCD的距离为．
【分析】（1）根据已知条件，利用平面几何知识分析底面形状，得到AC⊥CD,进而结合已知条件PA⊥底面ABCD，利用线面垂直的判定定理证得；
（2）根据（1）的结论，利用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PCD,利用面面垂直的性质定理得到A到平面PCD的垂线，垂足H在PC上，根据已知线面角由AC的长度求得AH，即为A到平面PCD的距离.
【详解】（1）连接AC,∵AB=BC=1,∠ABC为直角，∴AC=,∠BAC=,
又∵∠BAD=，∴∠CAD=,
又∵AD=2,
∴ACD为等腰直角三角形，∴AC⊥BC,
又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD，
又∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC，
∴CD⊥平面PAC;
（2）∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是PC与平面ABCD所成的角，
故由已知得∠PCA=,
在PAC中，过A作AH⊥PC,垂足为H,
则A到斜边PC的距离AH=ACsin,
∵CD⊥平面PAC,CD⊂平面PCD,∴平面PAC⊥平面PCD,
又∵平面PAC∩平面PCD=PC,
AH⊥PC,AH⊂平面PAC,
∴AH⊥平面PCD,
即AH就是A到平面PCD的距离，
∴A到平面PCD的距离为.
【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定与性质，涉及线面角，点到平面的距离，属基础题.关键是要熟练掌握并使用线面、面面垂直的判定定理与性质定理实现空间垂直的转化.
12．设常数，函数.
(1)若为偶函数，求a的值；
(2)若，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，其中，根据为偶函数，求出，从而求出；
（2）代入求解得到，结合三角恒等变换求出.
【详解】（1），
其中，
因为为偶函数，所以，
故，所以；
（2），
故，解得，
故，
因为，所以.
13．若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推式关系再写一项做差，之后利用等比数列定义证明；
（2）先求出的表达式，之后进行裂项求和即可.
【详解】（1）证明：由，当时，可得；
当时，，所以，
∴时，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列；
∴，∴.
（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∴,
因为，所以，所以即成立．
所以对任意的正整数，都有得证.
14．已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，由求出的值；
（2）利用正弦定理求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为
，
又，所以，
因为，所以，则，所以.
（2）由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，所以，
因为，
又的最大值为，所以面积的最大值为，当且仅当时取最大值.
15．已知椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
(3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由三角形的面积求得直线的方程.
（3）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得的坐标的关系式，进而证得线段PQ的中点为定点.
【详解】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时，所以直线的方程为.

当直线的斜率为时，，
此时，所以直线的方程为.

当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，
原点到直线的距离为，
由消去并化简得，
设，，
则.
所以
，
则，解得（舍去）.

综上所述，直线的方程为或.
（3）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，
则，
由，，.

依题意可知直线的斜率存在，
直线的方程为，令，
得
，
同理可求得，
所以
，
所以线段PQ的中点为定点.
【点睛】求解椭圆的标准方程，主要是要求得，这是两个未知参数，要求得两个未知参数，则需要两个已知条件来求解，本题中，点的坐标以及椭圆的离心率是两个已知条件，再结合即可求得椭圆的标准方程.
16．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
①求四边形APBQ的面积的最大值
②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）①，②是常数，理由见解析．
【解析】（1）设椭圆的方程为，由题可得，再结合，即可求得,从而求得椭圆的标准方程；
（2）①设点、，联立，整理得：，四边形的面，而易求，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最大值；
②直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为常数．
【详解】（1）设椭圆的方程为．
由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①由（1）可求得点、的坐标为，，则，
设直线的方程为，设点、，
联立，整理得：，
由，可得.
由韦达定理知：，，
四边形的面积，
故当时，；
②由题意知，直线的斜率，直线的斜率，
则
.
所以的值为常数．
【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及椭圆中最值，定值问题,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
17．已知函数（､）．
(1)当a=2，b=0时，求函数图象过点的切线方程；
(2)当b=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围；
(3)当，b=1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数求函数在某一点的切线方程即可；
（2）利用导数分析函数的单调性，极值求参数的取值范围即可.
（3）利用导数分析的极值，从而求得恒成立求参数k的取值范围，然后构造函数利用导数分类讨论求解即可.
【详解】（1）当时，，
所以切线方程为，即为．
（2），
一方面，因为函数既存在极大值，又存在极小值，
则必有两个不等的实根，则，
由可得，且，解得且；
另一方面，当且时，不妨考虑的情形，列表如下：
可知分别在取得极大值和极小值，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
（3）由，可得，列表如下：
所以在取得极大值；
在取得极小值，
由题意可得对任意的恒成立，
由于此时，则，
所以，则，
构造函数，其中，
则，
令，则．
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即时，设方程的两根分别为，
则，设，
则当时，，则在上是严格减，
所以当时，，即，不合题意．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，一般构造新函数利用导数分析函数的单调性最值，要注意分类讨论求解即可.
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极大值
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极小值