2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．过点且与直线平行的直线方程为 ．
【答案】
【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入方程，求出的值，即可得解.
【详解】设所求直线方程为，又直线过点，
所以，解得，
所以所求直线方程为.
故答案为：
2．在长方体中，，则直线与平面所成角的大小为 .
【答案】
【分析】根据长方体的性质及线面角定义可得出线面角，根据直角三角形求解即可.
【详解】连接，如图，
因为平面，
所以为直线与平面所成角，
故,
所以.
故答案为：
3．已知圆与圆内切，则 .
【答案】
【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得.
【详解】由圆知圆心为半径为由圆知圆心为,半径为
因两圆内切，故，即，解得：
故答案为：
4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 ．
【答案】
【分析】由椭圆方程可得焦点坐标，假设所求椭圆方程，代入点即可构造方程求得，由此可得椭圆方程.
【详解】将椭圆的方程化为标准方程可得：，焦点坐标为，
可设所求椭圆方程为：，
代入点坐标可得：，即，
解得：或（舍），所求椭圆方程为：.
故答案为：.
5．已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 .
【答案】
【分析】利用两直线平行的性质即可判断，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】已知两直线平行,
则，解得或，
当时，两直线方程相同，舍去，
当时，，，
则两直线间距离为.
故答案为：
6．已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 .
①．，则 ②．，则
③．，则 ④．，则
【答案】①④
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判断.
【详解】对①，因为，所以，
又因为，所以，①正确；
对②，由，可得或，②错误；
对③，由，可得直线与平面的位置关系可以是平行或相交，③错误；
对④，因为，所以，④正确；
故答案为：①④.
7．若直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据直线斜率求直线倾斜角范围.
【详解】设直线倾斜角为，当时直线斜率不存在，此时倾斜角为；
当时，斜率为，直线
化为斜截式为，
，因为且，
所以，
即，所以；
综上有：.
故答案为：
8．已知直线与圆交于A、B两点，若面积为，则m的值为 ．
【答案】
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系表示出，然后根据三角形的面积公式列方程可求出m的值.
【详解】由得圆的圆心，半径，
因为直线恒过点，而点在圆内，
所以直线与圆相交，
圆心到直线的距离，
所以，
所以，解得，
故答案为：
9．已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为 .
【答案】
【解析】根据椭圆的定义可将周长转化为，当最大时，、、三点共线，即求出最大值.
【详解】∵的周长为，而，
∴的周长为，
当最大时，、、三点共线，如图所示，
由题意得，，点坐标为，坐标为，
则的周长最大为：
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.
10．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinival）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据轨迹方程求出的取值范围，再求最值即可得解.
【详解】由动点满足的方程为，
所以，即，
解得，
故，
故，即的最大值为.
故答案为：
11．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为 .

【答案】
【分析】由题意如图所示，由球的半径可求得的值，进而可得的正弦值，所以可求出的值，即可以求出的值，由圆柱的底面半径可以求出的值，进而可以求出离心率.
【详解】如图所示：

由题意可得，所以，
又因为，结合可知
，
所以，而，即，
所以，所以离心率.
故答案为：.
12．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，则，作出图示，确定点E的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求得轨迹方程上的点到直线的距离的最小值，即求得的最小值，即得答案.
【详解】由题意，设，则，则M为的中点，则,
又，作,则 ,
又,故,
即E点在圆上运动，圆心为,到直线的距离为，
则点到直线的最短距离为，
即的最小值，也即的最小值为，
故答案为：.
二、单选题
13．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，从而求得侧面积,进而求解表面积.
【详解】设圆锥的母线为，即侧面展开图的半径为,侧面展开图的弧长为.
圆锥的底面半径为2，所以圆锥底面周长为，且侧面展开图为半圆， 所以,
即圆锥的母钱长.
所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为,
所以该圆锥的表面积为.
故选：C.
14．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
15．已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先确定的面积最小时点坐标，再由是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.
【详解】
由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.
故选：C.
16．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】做出合理的辅助线，利用椭圆定义求出方程，后设点，用圆中的勾股定理转化为函数最值问题求解即可.
【详解】
连接，中点为，
，
，即椭圆方程为
设，则，，连接,
由题意知，，且
，由二次函数性质得，当时
取得最大值，此时
故选：B
三、解答题
17．已知直线：与直线：，.
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程.
【答案】(1)或0；
(2)或.
【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值；
（2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解.
【详解】（1）由题意得：，解得：或0，
经检验，均满足要求，所以或0；
（2）将点代入中，，解得：，
因为直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，
当两截距均为0时，设直线l为，代入，可得，
此时直线l为；
当两截距不为0时，设直线l为，代入，可得，
故此时直线l为；
综上：直线l的方程为或.
18．如图，已知三棱锥中，平面，，，，.

(1)求点到平面的距离；
(2)求三棱锥的表面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离；
（2）计算出三棱锥每个面的面积，相加即可得出三棱锥的表面积.
【详解】（1）解：因为，，，则，
则，所以，.
因为平面，、平面，所以，，，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为，则，
设点到平面的距离为，由，即，
可得.
（2）解：因为平面，平面，则，
所以，，，
故三棱锥的表面积为.
19．已知直线：和圆：.
(1)求与直线垂直且经过圆心的直线的一般方程；
(2)求与直线平行且与圆相切的直线的一般方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）待定系数法设出与直线垂直的直线，代入圆心坐标计算即可得；
（2）待定系数法设出与直线平行的直线，借助与圆相切的性质计算即可得.
【详解】（1）设与直线垂直的直线为
圆可化为，圆心为，
又因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线方程为；
（2）设与直线平行的直线为.
又因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即，
所以，或5，
故所求直线方程为或.
20．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【答案】(1).
(2).
(3).
【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可；
（2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解；
（3）由题可得，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号．设为关于x轴的对称点，可得，即 ，即可求解的最小值.
【详解】（1）解：设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ，
于是有 ①，
因为点A在圆上运动，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
（2）解：将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离，
则；
（3）解：圆是以为圆心，半径的圆，
圆是以为圆心，半径的圆，
所以①，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号．
设为关于x轴的对称点，则，代入①式得：
，当且仅当共线时，取等号．
所以的最小值为．
21．已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出，则椭圆方程可得；
（2）联立方程组，根据根与系数的关系以及向量相等的坐标关系即可求出；
（3）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．
【详解】（1），，代入得.
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，
以上各式联立解得，则椭圆方程为.
（2）直线与轴交点为，与轴交点为，
联立，消去得:，，
设，则，
，，
由得，解得:，
由得.
（3）证明：由（2）知，，
.
为定值.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线中的定值问题常见的方法：
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．