2024届甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）高三上学期期末数学试题含答案

这是一份2024届甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）高三上学期期末数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，且，则（ ）
A．B．{2}C．D．
【答案】C
【分析】根据交集和补集的定义可求.
【详解】，
由题设有，故，
故选：C.
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由复数的运算法则即可求解.
【详解】由可得：
.
故选：D
3．已知向量，，若，则（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】A
【分析】先利用解出，再由的坐标求出模长即可.
【详解】∵，∴即，∴．
故选：A.
4．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数图象关于对称，可通过函数平移变换得到所求函数.
【详解】由题意知：将图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
所得函数关于点对称，则所得函数为奇函数，
为奇函数.
故选：D.
5．设椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为（ ）
A．3B．3或
C．D．6或3
【答案】C
【解析】分析△PF1F2直角定点的位置，当确定焦点F1（或F2）为直角顶点后，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】由已知a＝2，b＝，c＝1，
则点P为短轴顶点（0，）时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，
若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1（或F2）为直角顶点，此时（或），S△PF1F2＝.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点三角形问题，需熟记椭圆的性质，属于基础题.
6．已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性、周期性、单调性，然后根据函数的图象，即可求得的最小值.
【详解】因为，
所以为偶函数，
又，
所以的周期为，
当时，，，
令，，故存在，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，作出的图象如下图，由图可知，函数的最小值为-1.

故选：C
7．若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解.
【详解】，.
由，可得，
即.
，
，
，，且，
根据函数易知：，即得：.
故选：A
8．设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令体积为1，求出正方体、正四面体的棱长，球的半径，再求出表面积作答.
【详解】令正方体、正四面体和球的体积为1，
设正方体的棱长为，则，解得，表面积，
设正四面体的棱长为，则正四面体底面正三角形的外接圆半径，
正四面体的高，体积，
解得，表面积，
设球半径为，则，解得，表面积，
所以.
故选：C
二、多选题
9．“未来之星”少儿才艺大赛，选手通过自我介绍和才艺表演，展示仪表形象、表达能力、风度气质等自身的整体形象，评委现场打分.若九位评委对某选手打分分别是，记这组数据的平均分、中位数、标准差、极差分别为，，，，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均分、中位数、标准差、极差分别为，，，，则下列判断中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据平均数、中位数、标准差、极值的性质逐一判断即可.
【详解】根据平均数的性质可知不一定成立，例如九个数一个90，其它都是80，显然该等式不成立，因此A不一定正确；
根据中位数的定义可知这九个数据从小到大排列，中间的一个数据是中位数，去掉最高和最低不影响中间的数据，所以B一定正确；
根据标准差的意义可知去掉最高和最低分，数据有可能会更集中，所以选项C一定正确；
因为去掉最高和最低分，极差有可能减小，所以选项D一定正确，
故选：BCD
10．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据为等差可判断为非零的常数列，即可根据等差等比数列的定义结合选项逐一判断.
【详解】由是等差数列，所以,可得，
是各项均为正数的等比数列，，可得，
数列是等差数列，因此A正确；
是常数列，为等差数列，因此C正确；
是等比数列，因此D正确；
不为常数，不是等比数列，因此B不正确.
故选：ACD.
11．已知圆C: 则（ ）
A．存在2个不同的a，使得圆C与x轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在两坐标轴上截得的线段长度相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在2个不同的a，使得圆C的面积被直线平分
【答案】AC
【分析】根据圆与轴相切，可得出，解此方程可判断A选项；分析可得，判断出满足条件的实数的个数，可判断B选项；数形结合可判断C选项；由已知可得出，构造，其中，利用导数法可判断D选项.
【详解】由题意可知，，且圆C的圆心为，半径为1.
对于A选项，若圆C与x轴相切，则，解得或，A对；
对于B选项，若圆C在两坐标轴上截得的线段长度相等，则，可得，
圆C截x轴所得弦长为，圆C截y轴所得弦长为，
所以，，所以，，
令，，其中，
所以，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
所以，函数在上无零点，函数在上只有一个零点，B错；
对于C选项，若圆C过原点，则，
由图可知，与有两个交点，所以满足要求的a有2个，故C正确；
对于D选项，若圆C的面积被直线平分，则直线y=x−1过圆心C，
所以，，即，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
因此，存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分，D错.
故选：AC.
12．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[，]
D．当时，的最小值为
【答案】BD
【分析】对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可；
对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆；
对C，由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置；
对D，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求.
【详解】对A，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即，
由，则，即P为中点时，有平面，且，A错；
对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B对；
对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，
设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错；
对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知，
所以，D对.
故选：BD
【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；
（2）B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；
（3）C中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；
（4）D中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.
三、填空题
13．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 .（用数字作答）
【答案】
【解析】本题可分为在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果.
【详解】若在物理、历史两门科目中只选一门，则有种；
若在物理、历史两门科目中选两门，则有种，
则共有种，
故答案为：.
【点睛】本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题.
14．已知 是定义域为的奇函数，且当时，取得最大值2，则 .
【答案】
【分析】由条件利用正弦函数的奇偶性求得，再根据当时，取得最大值2，求出，可得的解析式，再根据它的周期性，即可求得所给式子的值．
【详解】因为是奇函数，所以，又，
所以，
所以，当时，取最大值2，则，
所以，
由得，
所以，
所以，
所以，
又，
所以,
故答案为：
15．已知直线l：与：交于A，B两点，写出满足“为直角三角形”的一个圆心C的坐标 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意可得是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式求得，的关系．
【详解】由题意，是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，
又圆心到直线的距离为，
，化简得，或，
取，，所以为直角三角形的一个圆心坐标为.
故答案为：.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设与的内切圆圆心分别为，， 的内切圆与三边分别切于点，，， 利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．
【详解】设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，
的内切圆与三边分别切于点，，，如图，
则，
所以，即，
同理，所以，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，
在中，，
由题得，所以，
解得，所以．
故答案为：﹒
四、解答题
17．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过化简得，则，结合 解得；
（2）根据余弦定理得，则，则转化为求的范围，根据正弦定理得，求出，则，则，则得到答案.
【详解】（1）因为，即，
所以，
即，
所以，
因为，，
所以，同理得，
所以或（不成立），
所以，结合得．
（2）由余弦定理得，，
所以，则，
由正弦定理得，，
因为，，，，
所以，，
所以，．
18．是等差数列的前项和，数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为.
①求；
②若集合且，求集合A中所有元素的和.
【答案】(1)
(2)①0；②
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件求出、的值，可求得，由此可得出数列的通项公式；
（2）①对任意的，求得，即可得结果；②分为偶数和奇数两种情况讨论，求出的表达式，解不等式，确定集合中的元素，利用分组求和法可求得集合中所有元素之和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，，则，
，，可得，
则，
可得，
所以.
（2）①对任意的，，
；
②当为偶数时，设，则，
则、、、、、是集合A中的元素；
当为奇数时，设，
则，
由，可得，
因为，解得，此时，、、、、、是集合A中的元素，
因此集合A中所有元素之和为.
19．如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点，点满足.

(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角大小为，求的长度.
【答案】(1)详见解析.
(2)
【分析】（1）取MD的中点G，易知，从而平面BCD，同理 平面BCD，得到平面 平面BCD，然后利用面面平行的性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，则，求得平面BCM的一个法向量为，由求解.
【详解】（1）证明：如图所示：

取MD的中点G，连接EG，FG，因为M是的中点，是的中点，点满足，
所以，又平面BCD，平面BCD，
所以 平面BCD，同理 平面BCD，又 平面，
所以平面 平面BCD，又平面EFG，则平面；
（2）建立如图所示空间直角坐标系：

设，则，，
所以，
设平面BCM的一个法向量为，
则，即，
令，得，，则，
所以，
解得，即的长度.
20．全民健身是全体人民增强体魄、健康生活的基础和保障，为了研究兰州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”，请完成2×2列联表，根据小概率值α= 0.05的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关?
(2)假设兰州市民小红第一次去健身房A健身的概率为，去健身房B健身的概率为，从第二次起， 若前一次去健身房A，则此次不去A的概率为；若前一次去健身房B，则此次仍不去A的概率为，记第n次去健身房A健身的概率为，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大?
附:
【答案】(1)列联表见解析，“喜欢健身”与“性别”无关
(2)第10次去A健身房健身的概率更大
【分析】（1）先绘制列联表，计算的值，从而确定正确答案.
（2）根据全概率公式、递推关系求得，从而求得，由此确定正确答案.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
，
所以“喜欢健身”与“性别”无关.
（2）依题意，，当时，，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
所以第10次去A健身房健身的概率更大.
21．设抛物线C：，经过其焦点的弦长的最小值为4.
(1)求抛物线C方程；
(2)过点的动直线交抛物线于B，C两点，设分别以OB，OC为直径的圆相交于另一点P，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当弦与垂直时，弦最短，得到，解得答案.
（2）得到，根据均值不等式计算得到最值.
【详解】（1）当弦与垂直时，弦最短，取，则，此时弦长为，
，故抛物线方程为；
（2），故共线，，
故，故，
当且仅当时等号成立，的最大值为.
22．已知函数
(1)当时，求函数的单调区间;
(2)当时，试判断函数零点的个数，并加以证明.
【答案】(1)的单调递减区间，递增区间，
(2)2，证明见解析.
【分析】（1）当时，，设，进而得到单调区间；
（2）由，设，得到，再分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调性和极值，最终求出结果.
【详解】（1）当时，，则，
设，则，
当时，，所以，所以在上单调递减；
当时，，所以，所以在上单调递增，所以，所以在单调递增；
综上，的单调递减区间，递增区间.
（2），当时，，所以是的一个零点，
，设，可得，
因为，
所以①当，，所以在单调递增，，在单调递增，则，
所以在上无零点；
②当时，，则，所以在上无零点；
③当时，，，所以在上单调递增，
又，所以存在唯一实数，使得=0，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一零点，
综上，当时，函数有两个零点.
【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性和零点问题.通常采用分离参数法和分类讨论法.
第一问当时，，设，进而得到单调区间；
第二问由，设，得到，再分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调性和极值，最终求出结果.
每周健身次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及6次以上
男
4
6
5
3
4
28
女
7
5
8
7
6
17
喜欢健身
不喜欢健身
合计
男
女
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢健身
不喜欢健身
合计
男
女
合计