2023-2024学年江苏省扬州市江都中学高二（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市江都中学高二（下）联考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.空间四边形ABCD中，AB=a，AC=b，AD=c，点P为AB中点，点Q为CD靠近D的三等分点，则PQ等于( )
A. 12a+13b+23cB. 12a−13b+23c
C. −12a−13b+23cD. −12a+13b+23c
2.已知直线l的方向向量为e=(2,−1,2)，平面α的法向量为n=(−2,a−b,a+b)(a,b∈R).若l⊥α，则a+3b的值为( )
A. −5B. −2C. 1D. 4
3.3名男生和2名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有( )
A. 36种B. 48种C. 72种D. 120种
4.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，向量a在向量b上的投影向量为−12b，则a⋅b=( )
A. 1B. −12C. −1D. −2
5.已知函数f(x)=aex−lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为( )
A. e2B. eC. e−1D. e−2
6.已知实数a，b，c，d满足(a−b+1)2+(d−lnc)2=0，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.若函数f(x)=x+4x与函数g(x)=aex−x有相等的极小值，则实数a=( )
A. 12B. e3C. 2D. 1e2
8.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，M为侧面DCC1D1内的一个动点，且A1C⊥BM，记BM与平面A1ABB1所成的角为α，则tanα的最大值为( )
A. 132B. 2 133C. 4 133D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是( )
A. 若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法
B. 若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法
C. 若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法
D. 若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法
10.若函数f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A. bc>0B. ab>0C. b2+8ac>0D. ac0恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(Ⅰ)求证：BD1//平面ACE；
(Ⅱ)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)．
(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积；
(2)试判别点P(−3,−3,11)与点A，B，C是否共面？请说明理由．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C=60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥CD；
(2)棱B1C1上是否存在异于端点的点M，使得二面角B−A1M−B1的余弦值为 104？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知曲线f(x)=aex−x+b在x=0处的切线过点(1,a2+2a−1)．
(1)试求a，b满足的关系式；(用a表示b)
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32．
19.(本小题17分)
三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2.若a×b=ijkx1y1z1x2y2z2，则称a×b为空间向量a与b的叉乘，其中a=x1i+y1j+z1k(x1,y1,z1∈R)，b=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2∈R)，{i,j,k}为单位正交基底.以O为坐标原点、分别以i,j,k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．
(1)①若A(1,2,1)，B(0,−1,1)，求OA×OB；
②证明：OA×OB+OB×OA=0．
(2)记△AOB的面积为S△AOB，证明：S△AOB=12|OA×OB|．
(3)证明：(OA×OB)2的几何意义表示以△AOB为底面、|OA×OB|为高的三棱锥体积的6倍．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，PQ=AQ−AP=(AD+13DC)−12AB=AD+13(AC−AD)−12AB=−12AB+13AC+23AD=−12a+13b+23c．
故选：D．
利用向量的加减法规则，运算即可得出结果．
本题考查空间向量的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：直线l的方向向量为e=(2,−1,2)，平面α的法向量为n=(−2,a−b,a+b)，
因为l⊥α，所以e//n，即n=λe，λ∈R；
所以−2=2λa−b=−λa+b=2λ，解得λ=−1，a=−12，b=−32，所以a+3b=−12−92=−5．
故选：A．
根据l⊥α得出e//n，由此列方程组求出a、b，再计算a+3b的值．
本题考查了空间向量的应用问题，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：依题意首先将女生甲排到除两端外的三个位置中的一个位置，有A31种排法，
其余4名同学全排列，有A44种排法，
按照分步乘法计数原理可知一共有A31A44=72种排法．
故选：C．
首先排好女生甲，再将其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：设a和b之间的夹角为θ，
因为向量a在向量b上的投影向量为−12b，
所以|a|⋅csθ⋅b|b|=−12b，所以csθ=−1，
所以a⋅b=|a||b|csθ=−2．
故选：D．
设a和b之间的夹角为θ，根据向量a在向量b上的投影向量为−12b求出csθ即可求解．
本题考查平面向量的数量积与夹角，投影向量，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对函数f(x)求导可得，f′(x)=aex−1x，
依题意，aex−1x≥0在(1,2)上恒成立，
即a≥1xex在(1,2)上恒成立，
设g(x)=1xex,x∈(1,2)，则g′(x)=−(ex+xex)(xex)2=−ex(x+1)(xex)2，
易知当x∈(1,2)时，g′(x)0，x1x2=−2ca>0，Δ=b2+8ac>0，
∴ab>0，ac0)，所以eax+ax>lnx2+elnx2，
可得g(ax)>g(lnx2)，所以ax>lnx2，所以a>lnx2x(x>0)恒成立，
即求(lnx2x)max(x>0)，令F(x)=lnx2x(x>0)，F′(x)=(lnx2)′x−x′lnx2x2=2(1−lnx)x2，
当x∈(0,e)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
当x∈(e,+∞)时，F′(x)2e．
故答案为：(2e,+∞)．
根据f(x)>0恒成立，可得到含有x，a的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出a的范围．
本题考查了利用函数的单调性求最值解决参数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中通过变形构造函数，利用单调性解决问题是答题的关键．
15.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，
在正方形ABCD中，OB=OD．
因为E为DD1的中点，
所以OE/​/BD1
因为BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，
所以BD1//平面ACE．
(Ⅱ)解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．
则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,2,1)，
所以AD=(0,2,0)，AC=(2,2,0)，AE=(0,2,1).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，
所以n⋅AC=0,n⋅AE=0,所以2x+2y=0,2y+z=0,即x=−y,z=−2y,
令y=−1，则x=1，z=2，
于是n=(1,−1,2)．
设直线AD与平面ACE所成角为θ，
则sinθ=|cs⟨AD,n⟩|=|AD⋅n||AD|⋅|n|=22 6= 66．
所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为 66．

【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
(Ⅰ)连接BD交AC于点O，连接OE，证明OE/​/BD1，然后证明BD1//平面ACE．
(Ⅱ)不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系A−xyz.求出平面ACE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ACE所成角的正弦值即可．
16.【答案】解：(1)由题意知，AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−3,2)，
所以csA=cs〈AB,AC〉=AB⋅AC|AB||AC|=−2+3+6 4+1+9× 1+9+4=12，
又0≤A≤π，所以A=π3．
所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为|AB|⋅|AC|⋅sinA= 14× 14× 32=7 3．
(2)由题意，PA=(3,5,−8)，AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−3,2)，
假设存在实数λ，μ，使得PA=λAB+μAC，
则3=−2λ+μ5=−λ−3μ−8=3λ+2μ，解得μ=−1λ=−2．
所以PA=−2AB−AC，即PA与AB,AC是共面向量，
所以点P与点A，B，C共面．
【解析】(1)由空间向量的数量积求出夹角，再由模长公式求出|AB|，|AC|，求解；
(2)由空间向量共面定理求解即可．
本题考查了空间向量的数量积与共面定理应用问题，是基础题．
17.【答案】(1)证明：取棱AA1的中点O，连接CA1，CO，OD，
AC=AA1且∠AA1C=60°，
∴△AA1C为等边三角形，
∴AA1⊥OC，
四边形ABB1A1为正方形，且O，D分别是AA1，BB1的中点，
∴AA1⊥OD，
∵OC∩OD=O，OC，OD⊂平面OCD，
∴AA1⊥平面OCD，
∵CD⊂平面OCD，
∴AA1⊥CD．
(2)解：∵平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，且OC⊥AA1，OC⊂面AA1C1C，
∴OC⊥平面ABB1A1，
以O为坐标原点，以OA，OD，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设AB=2，则点B(1,2,0)，A1(−1,0,0)，C1(−2,0, 3)，B1(−1,2,0)，
则A1B1=(0,2,0),A1C1=(−1,0, 3)，
设平面A1B1C1的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，
则由n1⋅A1B1=0及n1⋅A1C1=0，得2y1=0−x1+ 3z1=0，
取z1=1，则平面A1B1C1的一个法向量为n1=( 3,0,1)，
假设棱B1C1上(除端点外)存在点M满足题意，
令C1M=λC1B1 (02lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−lna−12>0，
令g(a)=a2−lna−12,(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a) 22，
故g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
故g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，
即g(a)=a2−lna−12>0恒成立，
即当a>0时，f(x)>2lna+32．
【解析】(1)求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程，即可求得答案；
(2)分类讨论a的取值范围，根据导数与函数单调性的关系，即可得答案；
(3)结合(2)得f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，故要证明f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，由此构造函数g(a)=a2−lna−12,(a>0)，求出其最小值，说明最小值大于0恒成立，即可证明结论．
本题考查了导数的几何意义的应用、函数单调性的讨论以及不等式的证明，解答的关键是将不等式的证明问题转化为构造新函数，求解函数的最值问题，即可解决，属于中档题．
19.【答案】解：(1)①∵A(1,2,1)，B(0,−1,1)，
又a×b=ijkx1y1z1x2y2z2，其中a=x1i+y1j+z1k(x1,y1,z1∈R)，b=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2∈R)，
a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2．
∴用向量叉乘定义、行列式展开法则，得：
OA×OB=ijk1210−11=2i+0+(−1)k−0−j−(−1)i=3i−j−k=(3,−1,−1)，
即OA×OB=(3,−1,−1)．
②证明：A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点，
{i,j,k}为单位正交基底，
以O为坐标原点、分别以i,j,k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，
△AOB的面积为S△AOB，
则OA×OB=y1z2i+z1x2j+x1y2k−x2y1k−z2x1j−y2z1i=(y1z2−y2z1,z1x2−z2x1,x1y2−x2y1)，
将x2与x1，y2与y1，z2与z1互换，则OB×OA=(y2z1−y1z2,z2x1−z1x2,x2y1−x1y2)，
∴OA×OB+OB×OA=(0,0,0)=0．
(2)证明：∵sin∠AOB= 1−cs2∠AOB= 1−(OA⋅OB)2|OA|2|OB|2= |OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2|OA||OB|，
∴S△AOB=12|OA||OB|⋅sin∠AOB=12 |OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2，
∴要证明S△AOB=12|OA×OB|，需证明|OA×OB|= |OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2，
需证明|OA×OB|2=|OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2．
∵OA=(x1,y1,z1)，OB=(x2,y2,z2)，OA×OB=(y1z2−y2z1,z1x2−z2x1,x1y2−x2y1)，
∴|OA×OB|2=(y1z2−y2z1)2+(z1x2−z2x1)2+(x1y2−x2y1)2，
=y12z22+y22z12+z12x22+z22x12+x12y22+x22y12−2y1z2y2z1−2z1x2z2x1−2x1y2x2y1，
又|OA|2=x12+y12+z12，|OB|2=x22+y22+z22，(OA⋅OB)2=(x1x2+y1y2+z1z2)2，
∴|OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2=(x12+y12+z12)(x22+y22+z22)−(x1x2+y1y2+z1z2)2
=y12z22+y22z12+z12x22+z22x12+x12y22+x22y12−2y1z2y2z1−2x1y2x2y1，
则|OA×OB|2=|OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2成立，
∴当△AOB的面积为S△AOB时，S△AOB=12|OA×OB|．
(3)证明：∵S△AOB=12|OA×OB|，
∴(OA×OB)2=|OA×OB|2=12|OA×OB|⋅2|OA×OB|=S△AOB⋅2|OA×OB|，
∴(OA×OB)2=13S△AOB⋅|OA×OB|×6，
∴(OA×OB)2的几何意义表示以△AOB为底面、|OA×OB|为高的三棱锥体积的6倍．
【解析】(1)利用向量的叉乘的定义逐项分析即得．
(2)利用数量积公式求得cs∠AOB，则有sin∠AOB= 1−cs2∠AOB 可知S△AOB=12|OA||OB|⋅sin∠AOB=12 |OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2，借助叉乘公式，利用分析法即可证得结果．
(3)由S△AOB=12|OA×OB|，化简可得(OA×OB)2=13S△AOB⋅|OA×OB|×6，即可得出结果．
本题考查行列式展开法则、向量叉乘等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．