2023-2024学年天津市南开区高二上册第二次月考数学测试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市南开区高二上册第二次月考数学测试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．2D．4
3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
6．双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，则（ ）．
A．8B．C．16D．32
8．若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．双曲线的离心率为 ．
11．已知是等比数列，，则公比 ．
12．设，向量，，，且，，则 .
13．已知，若直线：与直线：相互垂直，则 .
14．若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
15．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是 ．
三、问答题
16．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
17．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
（1）证明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
18．设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
19．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
20．已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
1．A
【分析】由斜率为倾斜角的正切值及倾斜角的范围求得倾斜角.
【详解】设倾斜角为，直线的斜率为.
， ，
故选：A.
2．B
【分析】求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式即得解.
【详解】解：因为，
所以圆心到直线的距离，
故.
故选：B
3．B
【分析】利用等差数列的性质可求得的值，再结合等差数列求和公式以及等差中项的性质可求得的值.
【详解】由等差数列的性质可得，则，
故.
故选：B.
4．C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
5．B
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】由于抛物线的准线方程是，
所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为，
则，所以抛物线的标准方程为.
故选：B
6．C
【分析】设，，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案.
【详解】，所以，，，
在双曲线上，设，，
①，
由，在中由余弦定理可得：
，
故②，
由①②可得，
直角的面积.
故选：C.
7．C
【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案.
【详解】焦点，直线的方程为，
由，消去并化简得，
设，所以，
所以.
故选：C
8．D
【分析】利用与的关系，可得答案.
【详解】当时，，
当时，，
经检验，可得.
故选：D.
9．B
【分析】由椭圆定义得各边长，利用三角形相似得点坐标，再根据点在椭圆上可得离心率.
【详解】如图所示：
因为为等腰三角形，且，又，
所以，则，
过点作轴，垂足为，则，
由，，得，
因为点在椭圆上，所以，则，即离心率.
故选：B.
10．2
【详解】
11．
【分析】根据等比数列的性质：，即可求出结果.
【详解】因为是等比数列，所以，所以．
故答案为.
本题主要考查了等比数列的性质，数列掌握等比数列性质，是解决本题的关键，属于基础题.
12．3
【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.
【详解】因为，，，且，，
所以，12=y−4=12，可得，，
所以，，，
所以.
故答案为.
13．##
【分析】根据直线垂直的充要条件列出方程，解之即可求解.
【详解】因为直线：与直线：相互垂直，
所以，解得：，
故答案为.
14．
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为.
15．2
【分析】利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，用裂项相消法求得不等式左边的和，然后不等式化简为，求得的最大值后解相应不等式可得结论．
【详解】是等差数列，则，，
∴，
，
所以
所以由不等式对任意恒成立，得
，，
易知是递减数列，因此它的最大项是第一项为，
，．
所以的最小值是2．
故2.
16．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
17．（1）见解析 （2） （3）
【详解】解：本题可通过建立空间坐标系求解．
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE.
(2)＝(1，－2，－1)．
设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，
则,即
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2,1)．
由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cs〈，〉＝＝＝－，从而sin〈，〉＝，
故二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．
设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则
sinθ＝|cs〈，〉|＝
＝＝.
于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)，
∴AM＝.
18．（Ⅰ）（Ⅱ）或.
【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，
，
由，得，
又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
20．（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.