2023-2024学年广东省东莞市高一上册12月月考数学测试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市高一上册12月月考数学测试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为（ ）
A．B．C．8D．2
4．函数，的图象在区间的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变､横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（ ）
A．B．
C．D．
6．设且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题各有四个选项，有多个选项正确，请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）
9．已知函数图像经过点，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数
B．为增函数
C．若，则
D．若，则
10．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．定义在R上的函数，对任意的，都有，且当时，恒成立，下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的单调增区间为
C．函数为奇函数D．函数为R上的增函数
12．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．与的定义域都是
B．为偶函数且也为偶函数
C．的值域为的值域为
D．与最小正周期为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应的位置上）
13．函数的定义域为 .
14．函数的最小值是 .
15．已知定义在上的函数满足，， 且当时，，则= .
16．设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）已知，求的值.
（2）已知，求的值.
18．函数图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为.
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)当时，求的值域.
19．如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为.
(1)求的表达式，并求；
(2)若，，求的值.
20．已知函数为奇函数，.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
21．我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.
(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
22．已知函数与有相同的定义域.
（1）解关于x的不等式；
（2）若方程有两个相异实数根，且在区间上单调递减，证明.(参考结论：)
五、附加题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
23．已知，函数.
(1)若有两个零点，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；
(2)设，记为集合中元素的最大者与最小者之差.若对，恒成立，求实数a的取值范围.
24．若定义域为一切实数的函数满足：对于任意，都有，则称函数为“启迪”函数．
(1)设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否是“启迪”函数，并说明理由；
(2)设函数的表达式是，判断是否存在以及，使得函数成为“启迪”函数，若存在，请求出ω、φ，若不存在，请说明理由；
(3)设函数是“启迪”函数，且在上的值域恰好为，以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且只有一个零点，求．
1．C
【分析】先分别计算两个集合，再进行交集运算.
【详解】因为，所以，
故选：C．
2．C
【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB，根据诱导公式化简CD的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.
【详解】的最小正周期为,故A错误；
为非奇非偶函数，故B错误；
，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
为偶函数，故D错误.
故选:C.
3．A
【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和面积公式，求得，则可求出扇形的周长.
【详解】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
已知扇形的圆心角为2 rad，则，
扇形面积，
所以扇形的周长，
故选：A.
4．A
【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数.
【详解】分别作出，在区间上的图象，如图所示，

由图象可知：，的图象在区间的交点个数为3.
故选：A.
5．B
【分析】根据周期变换和平移变换可得答案.
【详解】由题意图象上各点横坐标变为2倍，再向右平移个单位可得到，
横坐标变为2倍可得，
向右平移可得，
故选.
6．A
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断答案.
【详解】当时，由可得，由于为R上增函数，
则，
当时，由可得，由于为R上减函数，
则，
即“”是“”的充分条件；
当时，比如取，满足条件，但无意义，
故“”不是“”的必要条件，
故“”是“”充分不必要条件，
故选：A
7．A
【分析】先根据条件判断出函数是上的单调减函数，结合偶函数性质，可知，然后只需比较的大小关系即可.
【详解】对任意，均有成立，
故在上是单调减函数，
又函数为上的偶函数，故，
而，故 ，
又，
所以 ，
则，即，
故选：A.
8．A
【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得.
故选：A.
9．BCD
【分析】根据函数图像经过点，得到，定义域为，然后逐项判断.
【详解】解：因为函数图像经过点，
所以，解得，则，定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，易知为增函数，所以当时，，
作出函数的图象，如图所示：

由图象知：，
所以当时，，
故选：BCD
10．ACD
【分析】借助题目条件，结合基本不等式进行计算即可得，需注意不等号方向.
【详解】对A选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故A正确；
对B选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故B错误；
对C选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故C正确；
对D选项：由，，且，
故
，
当且仅当，即、时等号成立；
即，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】利用赋值法求，判断A，通过赋值，结合奇函数的定义判断C，根据单调性的定义判断BD.
【详解】因为对任意的，都有，
取，可得，所以，A正确；
取，可得，，所以函数为奇函数，C正确；
任取实数，且，则，因为，所以，又当时，恒成立，所以，所以，所以，所以函数为R上的增函数，D正确，B错误，
故选：ACD.
12．BC
利用的性质逐项研究题设中两个函数相应的性质后可得正确的选项.
【详解】对于A，与的定义域都是，故A错误.
对于B，，
故为偶函数且也为偶函数，故B正确.
对于C，因为，故，同理，
故的值域为的值域为，故C正确.
对于D，，
故的最小正周期不是，故D错误.
故选：BC.
13．
【分析】由解析式可得，求解即可.
【详解】由题意可得,故，即.
故函数的定义域为.
故答案为:.
14．9
【分析】利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值.
【详解】由，
，
当，即时等号成立.
所以函数的最小值是9.
故9.
15．
【分析】根据抽象函数的已知关系可得，即有，结合时，有时，且，即可求的值.
【详解】由，即有，
由，即有，
∴，即的周期为2，则，
而，即，若令，则，
当时，知：，结合，
∴时，，
∴，
故答案为.
本题考查了利用函数的周期性及已知区间的解析式求函数值，根据函数关系推导出函数的周期，并由已知区间解析式求目标区间解析式，进而求函数值.
16．
【详解】 由的最小正周期大于，得，
又，得，所以，则，
所以，
由，所以，
取，得，所以.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得原式，代值求解即可；
（2）将两边平方可求，从而可求，利用平方差公式可得，故可求解.
【详解】（1）原式=
（2）
两边平方得
.
∴
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根据周期可求出，从而可求出函数的单调增区间，然后与取交集即得解；
（2）根据整体代换法即可求出值域．
【详解】（1）因为图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，所以的最小正周期，所以，故.
令，则，
即的单调递增区间为.而，所以
函数在上的单调增区间是．
（2）当时，，则，
所以，即的值域为．
19．(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义，得到，进而求得的值；
（2）根据题意，求得，进而三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】（1）解：因为点，可得，所以，
根据三角函数的定义，可得，
所以.
（2）解：由，可得，
因为，所以，
当时，即，可得；
当时，即，可得，
综上可得，的值为.
20．(1)
(2)在R上是增函数
(3)
【分析】（1）根据奇函数性质可得，，代入即可得到的值；
（2）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可；
（3）利用奇函数性质可推得，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在上恒成立的问题，求解即可.
【详解】（1）函数定义域为.因为函数为奇函数，
所以有，即.
又，
则，
所以，.
（2）由（1）知，.
任取，不妨设 ，
，
∵，∴，∴.
又，，
∴，
即，
∴函数是上的增函数.
（3）因为，函数为奇函数，
所以等价于，
∵是上的单调增函数，
∴，即恒成立，
∴，
解得.
21．(1)
(2)当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元
【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解；
（2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解.
【详解】（1）设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元，
则月销量为万瓶，
所以提价后月总销售利润为万元，
因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润，
所以，即，解得，
所以售价最多为元，
故该饮料每瓶售价最多为元；
（2）由题意，每瓶利润为元，
月销售量为万瓶，
设下月总利润为，，
整理得：，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时取等号，
故当售价元时，下月的月总利润最大为万元.
22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先根据的定义域求解出的定义域，然后根据与的大小关系分类讨论不等式的解集；
（2）根据已知条件先判断出的取值范围，然后根据的单调性将转化为，根据的值化简并结合参考结论进行证明即可.
【详解】解：（1）已知函数与有相同的定义域，
所以与的定义域都是.
方程的判别式.
①当即时，在上恒成立.
②当即时，的根为，
所以的解集为且.
③当即时，的两根为，，
若，则，
所以的解集为或；
若，则，所以的解集为.
综上所述：
当时，的解集为；
当时，的解集为或；
当时，的解集为且；
当时，的解集为.
（2）由（1）知，若方程有两个相异实数根，
则，且，，
因为在上是减函数，所以，
所以
.
因为时，，
又因为，所以.
因为
，
且，
所以.
所以
所以.
关键点点睛：解答本题第二问的证明问题的关键在于化简，一方面需要利用单调性去掉绝对值符号，另一方面需要利用韦达定理以及对数参考结论进行化简，不仅对计算有着较高要求，同时在变形转化方面也需要重点注意.
23．(1)函数在区间上是单调递减，理由见解析
(2)
【分析】（1）运用单调性的定义去判断或者根据函数本身的性质去判断即可；
（2）区间与二次函数的对称轴比较，从而的情况中分类讨论，而后得到的解析式，通过函数解析式求出最小值，再解不等式即可.
【详解】（1）方法1：因为，
由题意得，即，
所以时，
即，
所以，，
对于任意设，所以，
因为，又，
所以
而，所以，所以，
所以函数在区间上是单调递减的.
方法2：因为，
由题意得，即，
所以时，
即，
所以，，
因为，所以函数图像的对称轴方程为，
因为，所以，即，
所以函数在上是单调递减的.
（2）设，，
因为函数对称轴为，
①当即时，在上单调递减，
，
②当即时，
，
③当即时，
，
④当即时，在上单调递增，
，
综上可得：
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
对，恒成立，只需即可，解得，
所以a的取值范围是.
24．(1)是“启迪”函数，不是“启迪”函数；理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案；
（2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，再验证不具有性质，进而得到答案；
（3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即．
【详解】（1）函数是“启迪”函数，不是“启迪”函数，说明如下：
，
，
对任意，都有，
所以是“启迪”函数，
，，
所以，
所以不是“启迪”函数；
（2）若函数是“启迪”函数，则有，即，
于是，结合知，
因此；
若，不妨设，
由可知：
（记作*），其中，
只要k充分大时，将大于1，
考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立，
综上所述必有，即.
再由，，从而，而，
当时，，，
而，显然两者不恒相等（比如时）
综上所述，不存在以及使得是“启迪”函数；
（3）由函数是“启迪”函数，以及（2）可知，
由函数是以为周期的周期函数，有，
即，也即，
由，及题设可知，
在的值域为
当时，当及时，
均有，
这与零点唯一性矛盾，因此或，
当时，，在的值域为，
此时，
于是在上的值域为，
由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同，
因而，即.