2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解.
【详解】因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由离心率求得即得渐近线方程．
【详解】，，，
故选：B
3．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围．
【详解】当时，两直线分别为：，，
两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
或，
综上所述，是两直线平行的充分不必要条件．
故选：A
4．是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1B．1C．9D．9或2
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者，又，所以，
故选：C
5．已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（-3，1）B．（-，-）C．（，）D．（-，）
【答案】D
【分析】利用圆心到直线的距离列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线，
由于圆与直线相交，
所以，解得.
故选：D
6．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在为直径的圆上，即，根据得到离心率范围.
【详解】，故在为直径的圆上，即，
圆在椭圆内部，故，，故.
故选：B.
7．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.
【详解】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.
故选：C.
8．已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，直线，
可变形可得，
联立，解得，则直线恒过定点，记为，
圆的圆心为，半径，则，
又为圆的弦，设的中点为，则有，
所以，
易知，记，则，，
所以的面积
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的面积的最大值为.
故选：D.
二、多选题
9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．
故选：BC.
10．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若双曲线上一点满足，则的周长为28
B．渐近线方程为
C．若从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
D．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
【答案】AC
【分析】计算，得到A正确，渐近线方程为，B错误，最短距离为，C正确，计算离心率得到D错误，得到答案.
【详解】双曲线的焦点分别为，，
对选项A：，，故，，
的周长为，正确；
对选项B：双曲线的渐近线方程为，错误；
对选项C：从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为，正确；
对选项D：双曲线离心率为，椭圆的离心率，错误；
故选：AC.
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角的范围是
C．方程表示的曲线是双曲线
D．曲线与曲线恰有三条公切线，则
【答案】BD
【分析】代入验证知A错误，确定得到B正确，轨迹为两条射线，C错误，确定两圆外切，根据圆心距与半径的关系得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：将代入验证不成立，错误；
对选项B：直线的斜率为，
直线倾斜角为，，，则，正确；
对选项C：，
表示到点和的距离之差的绝对值为，轨迹为两条射线，错误；
对选项D：，，
两圆有三条公切线，故两圆外切，故，解得，正确；
故选：BD
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．满足为等腰三角形的点只有2个
D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据已知椭圆的焦点以及通经，建立方程，解得标准方程；
对于A，利用动点的位置变化，研究的取值范围，可得答案；
对于B，根据椭圆的几何性质以及三角形余弦定理，建立方程，可得答案；
对于C，利用分类讨论，建立方程，求动点坐标，可得答案；
对于D，利用余弦定理结合的取值范围，结合不等式性质，可得答案.
【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，则，
将代入，则，解得，则，，
由，则，即，将其代入，可得，
化简可得，由，解的，所以.
对于A，当点为椭圆的上顶点时，最大，如下图：

由椭圆，则，，在中，，
易知此时，所以的取值范围为，故A正确；
对于B，根据题意可作图如下：

设，，则，，
在中，根据余弦定理，则，
所以，整理可得，
则，故B正确；
对于C，设，，则，，
当时，为等腰三角形，易知此时的坐标为或，
当时，为等腰三角形，此时，设，
则，消去化简可得，
由，则方程有解，故C错误；
对于D，设，，则，
则，
在中，根据余弦定理可得：，
则，
化简可得，由选项A可知，
则，，所以，
解得，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为 ．
【答案】
【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出，进而可得双曲线的标准方程．
【详解】由椭圆方程，可得焦点为
设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则
故，所以，
所以双曲线的标准方程为：
故答案为：
14．求圆上的动点到直线距离的最大值 ．
【答案】
【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解.
【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为.
故答案为：.
15．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值.
【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点与点，
于是点与点也是双曲线的两个焦点，
因此，最后使用基本不等式中“1”的代换，
于是就有（当且仅当时取等号），
因此的最小值为9．
故答案为：9
16．月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，当取得最大值时的值为 ．
【答案】/
【分析】根据相切得到切线方程为，当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，据此得到方程组，解得答案.
【详解】如图所示：切线斜率存在，设切线为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
切线方程为，
当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，则，
圆心在切线的左上方，故，即，
，解得，（舍去负值）.
故答案为：.
四、解答题
17．已知菱形中，，，边所在直线过点．求：
(1)边所在直线的方程；
(2)对角线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；
（2）由互相垂直的直线斜率间关系，以及中点，利用点斜式可得直线方程.
【详解】（1）由已知得直线，
又，
边所在直线的方程为：，
即
（2）由已知得与互相垂直平分，
又，且中点为，
，
所在直线方程为：，
即.
18．已知圆.
(1)从圆外一点向圆引切线，求切线方程；
(2)若圆与圆C相交于两点，求线段的长.
【答案】(1)或
(2)4
【分析】（1）当斜率存在时，用点斜式设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得k的值，可得切线方程．当斜率不存在时，易得切线方程，从而得出结论；
（2）把两个圆的方程相减可得直线的方程，可判断圆心在直线上，刚好是圆的直径，得解.
【详解】（1）由题圆的方程可化为，
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，于是，
解得，切线方程为，
当切线的斜率不存在时，得切线方程为，
综上，切线方程为或.
（2）把两圆方程相减可得直线的方程：，
圆心刚好在直线上，则是圆的直径，
故.

19．如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理确定，根据线面垂直得到，得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）中，，即，
满足，故，
平面，平面，故，
又，平面，故平面；
（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，
平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，取得到，
平面与平面夹角的平面角为锐角，
故余弦值为.
20．已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析即可得解；
（2）联立直线与曲线的方程，利用弦长公式求得，再利用点线距离求得到直线的距离，从而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．
（2）依题意，直线的方程为，即，
联立，消去，得，
易知，设，则，
所以，
而到直线的距离为，
所以的面积为.
21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率和焦距得到，，得到椭圆方程；
（2）考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，代入计算得到答案.
【详解】（1）由题可得，解得，可得 ，椭圆的方程为；
（2）①当直线斜率为0时，；
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，，
，则，,
故，，
；
综上所述：.
22．已知椭圆的左焦点为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）确定焦点得到，解得，，得到椭圆方程.
（2）考虑斜率存在和不存在的情况，设出直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定中点坐标得到直线的方程，取代入计算得到答案.
【详解】（1）椭圆的左焦点为，，则右焦点为，点在椭圆上，
取得到，即，又，
解得，，（舍去负值），故椭圆方程为，
（2）当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，，，
则，整理得到，
，
故，，即，

同理可得：，则，
故直线的方程为：，
取，
.
故直线过定点.
当有直线斜率不存在时，为轴，过点.
综上所述：直线必过定点
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.