2023-2024学年广东省深圳市宝安中学高二上学期期中测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳市宝安中学高二上学期期中测试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的运算法则、复数的相等运算即可得解.
【详解】解：由题意，∵，
∴，解得：.
故选：A.
2．已知直线与平行，则与的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两直线平行的充要条件先求出参数，即可求出直线的方程，然后由两平行线之间的距离公式即可求解.
【详解】由题意直线与平行，
因此，解得，
所以即为，
由两平行线之间的距离可知与的距离为.
故选：D.
3．向量，，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】B
【分析】设直线的方向向量，求出两个向量在直线上的投影向量，由题意可得，的关系，进而求出直线的斜率.
【详解】因为在直线l方向向量上的投影向量一定共线，
设l的方向向量为，则，
即，
整理可得：，所以，直线斜率为－1．
故选：B．
4．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可.
【详解】易知.
故选：B
5．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）

A．圆B．射线
C．长轴为4的椭圆D．长轴为2的椭圆
【答案】C
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹.
【详解】连接，
因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，
因为，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆.
故选：C
6．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分两种情况写出曲线方程，再做出图像，求出面积.
【详解】
当时，曲线为
当时，曲线
画出图像如上图，
所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积
圆的半径为，两圆对称，
故为
故选：D
7．若，设函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，，，根据对称性得出，再由基本不等式判断即可.
【详解】由题意可构造函数，，，则，分别为直线与函数，图象的交点的横坐标（如图所示），由对称性可知，即，若，可得，与题意不符，故，所以，，，可知B正确，C，D都不正确．
故选：B
8．已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切,且时,线段长度最小,然后求即可.
【详解】由圆得圆心,半径.
因为直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆包含圆.
当长度最小时,两圆内切,设中点为,则此时,
所以.
故选：A
二、多选题
9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】BD
【分析】综合应用平均数、中位数、标准差和极差的定义即可求得结果.
【详解】A中，取为 1,2,2,2,2,2,2,11，的平均数为2，的平均数为3，故A错误；
B中，的中位数等于6个数据从小到大排列后最中间2个数的平均数，的中位数为8个数据从小到大排列后最中间2个数的平均数，两者相等，故B正确；
C中，取为 1,2,2,2,2,2,2,11，的标准差为0，的标准差为，故C错误；
D中，极差为样本数据的最大值减去最小值，所以的极差不大于的极差，故D正确，
故选：BD.
10．已知点在圆上，点,，则（ ）
A．B．点到直线的距离大于2
C．点到直线的距离小于10D．当时，最大
【答案】AC
【分析】根据题意，求得圆心，半径为，结合向量的数量积的运算公式，可判定A正确；求得圆心到直线的距离为，进而求得圆心到直线的距离的最小值和最大值，可判定B错误，C正确；结合过点的直线与圆相切时，此时取得最大值或最小值，结合圆的切线的性质，求得的长，可判定D错误.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，由，可得直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最小值，所以B错误；
点到直线的距离的最大值，所以C正确；
如图所示，当过点的直线与圆相切时，此时取得最大值或最小值，
连接，可得，且，
在直角中，可得，所以D错误.
故选：AC.

11．设点，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个命题：
①点的轨迹方程为；②；
③存在4个点，使得的面积为；④.
则正确命题的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】AD
【分析】根据椭圆的定义可得的轨迹为以为焦点的椭圆可判断①；结合椭圆的定义以及共线即可判断②④,由三角形的面积即可结合椭圆的最值求解④.
【详解】对于①，由得,
所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为，①正确；
对于②④，当将代入椭圆方程中得，所以点在椭圆内，
所以，
当且仅当运动到即与轴垂直时等号成立，
，
由于，
所以，
当且仅当运动到时等号成立，故②错误④正确；
对于③，，其中为点到直线的距离，
若,，由于当点为椭圆的右顶点时，此时取最大值3，
故满足条件的点只有一个，③错误，
故选：AD.

12．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ）
A．若，则平面ACDB．当最小时，
C．若，则D．当最大时，
【答案】BCD
【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于：若，则点即为点，进而可得结果；对于、：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断；对于：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断.
【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面，
又N在侧面上（包含边界），设，且，
于是
，
而，则，且，
对于，若，则，点即为点，显然平面，错误；
过作，垂足为，得，，

由平面，平面，得，而，平面，
则平面，因此，
对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确；
对于，若，则，即点在线段上（包括端点），
由平面，平面，得，正确；
对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时，
于是，正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．若方程表示椭圆，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，且可得．
【详解】方程表示椭圆⇔，解得且.
所以m的取值范围是
故答案为：.
14．在平行六面体中，，，，，则 ．
【答案】
【分析】利用空间向量的数量积计算即可.
【详解】由题意可知，
所以
.
故答案为：.
15．已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为 ．（写出其中之一即可）
【答案】或
【分析】先求出圆的方程，再求A，B两点的坐标，最后求直线方程即可.
【详解】易知，圆的半径平方为，
故圆的方程为，
两圆方程作差得，与联立得或
不妨令，
所以直线PA或PB的方程为或
故答案为：或 .
四、双空题
16．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式即可求出点的轨迹方程；根据三角函数得到临界值时点的横坐标，即可得到的取值范围.
【详解】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则， ，
设成功点，则，即，
化简得，因为点在矩形场地内，所以，
所以点的轨迹方程是.
当与圆相切时，则有，
所以，所以，又，
若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为，
所以的取值范围是.
故答案为：；.
五、解答题
17．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求的值；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换得到，计算得到答案.
（2）根据面积公式得到，根据余弦定理得到，整理得到答案.
【详解】（1），则
即，
因为，则，所以，
，则．
（2），得，
又，得，
所以，即，又，，所以，
所以周长是.
18．已知直线：和圆C：.
(1)直线恒过一定点M，求出点M坐标；
(2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长.
【答案】(1)
(2)当时，直线被圆C所截得的弦长最短，弦长为
【分析】（1）将直线化为，联立，即可求解定点坐标；
（2）根据圆的性质知时，直线l被圆C所截得的弦长最短，利用几何法求解弦长即可.
【详解】（1）由得，
因为，所以有，解得，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）由得，
所以，半径，当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有即，解得，
化为，
所以，所以，此时直线l的方程为即，
所以点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为.
19．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.
(1)已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
(2)已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的法向量，由即可证明；
（2）设且，利用向量法求出点到面的距离，即可求出，在由空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
20．（1）证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
已知：如图，，，，．求证：；
（2）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
如图，四边形是平行四边形.求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）取直线的方向向量，直线a，b的方向向量，，取平面内的任意一条直线，且其方向向量为，用向量，表示，证明即可；
（2）建立平面直角坐标系，设出各顶点坐标，表示出，，，，运算即可得证.
【详解】（1）证明：如图，取直线的方向向量，直线a，b的方向向量，，
因为，，
所以，，
因为，所以向量，不共线，
设直线为平面内的任意一条直线，且其方向向量为，
则存在x，，使得，
从而，
所以，
即直线与平面内的任意一条直线垂直，故．
（2）证明：如图，四边形是平行四边形．以顶点A为原点，边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在中，点A的坐标是，设点B的坐标为，点D的坐标为，由平行四边形的性质，得点C的坐标为．
由两点间的距离公式，得
，，，．
所以，
．
所以，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
21．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切．
(1)求圆的标准方程．
(2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)5
【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程；
（2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值；
（3）由（2）知，，故所求转化为、、三点共线问题．
【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
故圆的标准方程为；
（2）假设存在定点，设，
设，则，
则，
当，即舍去）时，为定值，且定值为，
故存在定点使得为定值， 的坐标为；

（3）由（2）知，故，从而，
当且仅当、、三点共线时，最小，
且．
所以的最小值为5.
22．马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
(1)当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；
(2)经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)应该把点取在距离点米处
【分析】（1）利用平面几何的知识依次求得，从而利用勾股定理证得与，再利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，利用（1）中结论得到各点的坐标，再求得平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示，结合基本不等式求得直线和平面所成角的正弦值最大时的值，由此得解.
【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，
故应该把点取在距离点米处.
【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为，；
②直线与平面所成的角为，；
③二面角的大小为，