2022-2023学年江苏省连云港市四校高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省连云港市四校高二上学期期中联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的焦距为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据题目所给椭圆方程，可求得，再由，求出，即可得解.
【详解】由椭圆方程可得：，
所以，
即，所以焦距为，
故选：B.
2．已知点，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ）
A．B．C．3D．1
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的性质，结合互相垂直两直线的斜率的性质进行求解即可.
【详解】由，所以直线的斜率为，
因为线段的垂直平分线的方程是，
所以有，
检验中点可知m=3符合题意.
故选：C
3．已知，则两圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．外离D．内含
【答案】B
【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.
【详解】由，即，
则圆心，半径为，
，即，
则圆心，半径为，
所以两圆圆心距为，
则，即两圆相交.
故选：B.
4．渐近线方程为的双曲线的离心率是
A．B．1
C．D．2
【答案】C
【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c
则该双曲线的离心率为 e，
故选C．
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
5．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线和椭圆的焦点相同,求出椭圆的焦点及,再根据双曲线的离心率求出,写出双曲线方程即可.
【详解】解:由题知在椭圆中,
焦点坐标为,
双曲线中,焦点坐标为,,
,
,,
故双曲线的方程为．
故选:A
6．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义与性质计算即可.
【详解】由题意可知椭圆的短轴长为圆柱的直径，即，
由图形可知椭圆的长轴为，
所以.
故选：D
7．若点P是以F为焦点的抛物线y2＝4x上的一个动点，B （3，2），则|PB|+|PF|的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义等于到准线的距离，数形结合即可求出答案.
【详解】抛物线的准线方程为，过点做，垂直为，
，
当且仅当，三点共线时，等号成立.
故选:B
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是基础题．
8．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线的恒过点，再将曲线转化为，可知其图象为圆的一部分，结合图形，即可求出的取值范围.
【详解】由题可知，直线可转化为，所以直线恒过点，
又因为曲线可转化为，则其表示圆心为原点，半径为的圆的上半部分，
当直线与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.
设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，需要即
.
故选：D
二、多选题
9．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
【答案】AB
【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】由题设，抛物线可化为，
∴开口向上，焦点为，准线方程为.
故选：AB
10．已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，与相交于点
D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于
【答案】ABD
【分析】对取值后运用直线方程逐项分析即可.
【详解】时，，所以，故A正确；
此时与坐标轴交于
所以D项所求面积，故D正确；
时，，
所以，，故B正确；
时，，解得，故C错误；
故选：ABD.
11．已知，，，下列命题正确的是（ ）
A．若P到A，B距离之和为6，则点P的轨迹为椭圆
B．若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线
C．椭圆上任意一点长轴端点除外与A，B连线斜率之积是
D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是A，B
【答案】AC
【分析】根据椭圆、双曲线的定义判断A、B的正误；设，利用斜率的两点式及点在抛物线上可得判断C；根据渐近线及所过的点求双曲线方程，进而确定焦点坐标判断D.
【详解】由题设知：，
若P到A，B距离之和为6，则，由椭圆定义得P的轨迹为椭圆，故A正确；
若P到A，B距离之差为3，则，故P的轨迹为双曲线的左支，故B错误；
依题意知：，是顶点，M是椭圆上任意一点，
设，则，
、MB的斜率分别是，
，故C正确；
设以为渐近线的双曲线，将代入方程得，
∴渐近线为且过的双曲线的焦点在y轴，故D错误.
故选：AC.
12．下列结论正确的是（ ）
A．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为
B．表示双曲线
C．设椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为.若为钝角，则离心率的取值范围是
D．等轴双曲线的中心为O，焦点为为上的任意一点，则恒成立.
【答案】BD
【分析】结合双曲线的渐近线方程求解即可判断A；结合判断，的范围，进而判断方程表示何种曲线，即可判断B；由题意可得，进而求解判断C；不妨设等轴双曲线的方程为，设，进而结合两点间的距离公式验证即可判断D.
【详解】对于A，由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，
则或，即或，
整理得或，所以双曲线的离心率为或，故A错误；
对于B，因为，则，，
即，，
则方程，即表示焦点在轴上的双曲线，故B正确；
对于C，因为为钝角，则，
又，则，即离心率的取值范围是，故C错误；
对于D，不妨设等轴双曲线的方程为，则，
则，，设，则，即，
所以，
，
，
所以，
因为，即，所以，即，
所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．双曲线的左焦点到其渐近线的距离为 .
【答案】
【分析】由双曲线方程得焦点与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由双曲线，得，则，
解得，则左焦点，
渐近线方程为：.
由对称性，不妨取其中一条渐近线，即，
则左焦点到渐近线的距离.
故答案为：.
14．以点为圆心，并且与轴相切的圆的标准方程是 .
【答案】
【分析】利用圆的定义及点到直线的距离计算即可.
【详解】由题意可知到轴的距离为，
故该圆的标准方程为：.
故答案为：
15．已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，两点，若，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】如图所示，F（1，0）．由|AF|＝4，可得xA+1＝4，解得xA，代入抛物线方程可得yA．可得点A的坐标．
【详解】如图所示，F（1，0）．
∵|AF|＝4，∴xA+1＝4，解得xA＝3．
代入抛物线方程可得，或．
故点的坐标为或
故答案为或
【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
四、双空题
16．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
五、解答题
17．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直．
问题：已知直线过点M（3，5），且______．
(1)求的方程；
(2)若与圆相交于点A、B，求弦AB的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；
(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.
【详解】（1）选条件①：
∵直线过点(3，5)及(－1，2)，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
选条件②：
∵直线的斜率为，
直线与直线平行，∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为；
即；
选条件③：
∵直线的斜率为，
直线与直线垂直，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
（2）
圆心为(2，3)，半径为2，
圆心到直线的距离为
∴．
18．已知双曲线的焦点为，且渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)在双曲线上找一点，满足，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由焦点坐标与渐近线方程，建立等量关系待定系数；
（2）由与点在双曲线上联立方程组求解点坐标.
【详解】（1）由，得，设双曲线标准方程为，
由渐近线方程知，，则，
则，解得，
故双曲线方程为；
（2）由得，则有①，
又点在双曲线上，则有②，
联立①②消解得，则.
故的值为.
19．平面内动点到点的距离与到直线距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线的定义可得答案；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理可得答案.
【详解】（1）因为点到点的距离与到直线距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，其方程为.
（2）设直线的方程为，
联立，得，
，.
20．设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为.
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据椭圆的几何意义可知，求出，可得椭圆标准方程；（2）先算出直线的方程，联立方程组求得，，可以得到的值，再根据求得面积.
【详解】（1）设椭圆的方程为，由题意，，
椭圆的方程为.
（2）左焦点，右焦点，设，
则直线的方程为.由，消,，
.
.
【点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题，处理曲线与直线相交的问题时通常要把直线与曲线联立，得到一个关于交点坐标的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积和两根之和，再结合所求的结论寻找联系.
21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中.
(1)若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；
(2)若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程.
(3)在（2）的条件下，若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】（1）根据，，得到，再利用椭圆的定义求得a即可；
（2）根据，，得到，再利用双曲线的定义求得a即可；
（3）由，消去y得，再分和，利用判别式法求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
又因为，，
所以，则，
所以，
所以椭圆的标准方程为： ；
（2）因为，
所以，
又因为，，
所以，则，
所以，
所以双曲线的标准方程为： ；
（3）由，消去得，
当，即时，符合题意；
当，即时，，
解得，即，
综上：直线与双曲线只有一个公共点时，实数的值为：和.
22．已知椭圆的离心率，且与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上点作椭圆的弦，，若，的中点分别为，，若平行于，则，斜率之和是否为定值？
【答案】（1）（2），斜率之和是为定值0.
【分析】由离心率可得,,由椭圆与直线相切,联立方程,得到关于的一元二次方程的判别式为0,即,进而求出即可.
因为直线平行于，所以,设直线的方程，，，联立方程,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理求出的值,代入,化简求解即可.
【详解】（1）根据题意知,，即，
由，消去可得，
因为椭圆与直线相切，
所以判断式，
解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，的中点分别为，，直线平行于，
所以，
设直线的方程，，，
联立方程，解得，
由韦达定理可得,，，
由中点坐标公式可得,，，
，
所以，斜率之和是为定值0.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及与圆锥曲线相关的定值问题;重点考查学生的运算求解能力和转化与化归的能力;属于中档题、常考题型.