2022-2023学年江苏省连云港市锦屏高级中学等四校高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年江苏省连云港市锦屏高级中学等四校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．函数的最小正周期（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦型函数的周期公式即可求解.

【详解】由题意可知，

所以函数的最小正周期为.

故选：B.

2．已知，求（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两角差的正切公式计算可得.

【详解】因为，所以.

故选：A

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数的商数关系即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

4．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由正弦定理即可求出.

【详解】因为所以.

由正弦定理可得，

则.

故选：C.

5．若向量与平行，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量平行得到，故，计算得到答案.

【详解】向量与平行，则，故，

所以，

所以，

所以.

故选：C

【点睛】此题考查向量共线定理的应用，考查了向量的坐标运算，考查向量的模的求法，属于基础题

6．设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可.

【详解】对于A选项：设，是不共线的两个向量，,无解,与不共线，与可以构成一组基底；

对于B选项：设，是不共线的两个向量，,无解，与不共线，与可以构成一组基底；

对于C选项：设，是不共线的两个向量，，，与共线，与不能构成一组基底；

对于D选项：设，是不共线的两个向量，,无解, 与不共线，与可以构成一组基底；

故选：C

7．已知向量，，其中，则“x=2”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据，，由，求得x，再利用充分、必要条件的定义判断.

【详解】已知，，

若，则，

解得或，

所以 “x=2”是“”的充分不必要条件，

故选：A

8．若，且，那么是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】化简，结合余弦定理可得，再利用正余弦定理对化简可得，从而可判断出的形状

【详解】由，得，

化简得，

所以由余弦定理得，

因为，所以，

因为，

所以由正余弦定理角化边得，化简得，

所以，

所以为等边三角形，

故选：B

二、多选题

9．已知点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A．的坐标为

B．，其中

C．线段的中点坐标为

D．

【答案】ABD

【分析】根据向量线性运算的坐标表示以及向量模长计算公式判断每个选项.

【详解】由向量的坐标表示可得，A正确；

，，

所以，B正确；

的中点坐标为，故C错误；

因为，所以，D正确.

故选：ABD

10．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项.

【详解】对于A选项，，所以A正确；

对于B选项，，所以B不正确；

对于C选项，，所以C不正确；

对于D选项，，所以D正确；

故选：AD.

11．已知，，下列结论正确的是（       ）

A．与同向共线的单位向量是

B．与的夹角余弦值为

C．向量在向量上的投影向量为

D．

【答案】ACD

【分析】根据单位向量的求法判断A，由向量夹角公式判断B，根据向量投影的求法判断C，利用数量积判断D.

【详解】，故A正确；

，故B错误；

向量在向量上的投影向量为，故C正确；

由，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．点是函数图象的一个对称中心

C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为奇函数

D．函数在区间上单调递减.

【答案】ABD

【分析】根据已知条件及降幂公式及两角和的余弦公式，结合三角函数的平移变换及余弦三角函数的性质即可求解.

【详解】，

对于A，由题意可知,所以函数的最小正周期为，故A正确；

对于B，当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；

对于C，将函数图象向左平移个单位长度，得，则的图象关于轴对称，故C错误；

对于D，因为，令，在时单调递减，则函数在区间上单调递减，故D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．在中，内角所对的边分别为则的面积是__________.

【答案】/

【分析】根据三角形面积公式计算.

【详解】由三角形面积公式得，.

故答案为：

14．已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.

【详解】因为，且与的夹角为锐角,

所以，且，解得且，

所以实数的范围是.

故答案为：.

15．若，则 ______．

【答案】

【分析】利用角的关系，建立函数值的关系求解．

【详解】已知，且，则，故．

【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．

四、双空题

16．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是.现有满足，且的面积是，则的周长为________，边中线的长为_________

【答案】     /    

【分析】由正弦定理得出三边关系，再由面积公式求出各边得出周长，再利用即可求出中线的长.

【详解】因为，由正弦定理可得，

设，

则由题可得，解得，

则的周长为，

因为为中线，中，，设，

则，解得或.

又在三角形中，，所以.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知向量与的夹角为，求

(1)

(2)

【答案】(1)4

(2)-12

【分析】（1）由数量积的定义代入即可得出答案；

（2）由数量积的运算律代入化简即可得出答案.

【详解】（1）因为量与的夹角为，

所以.

（2）由（1）知，，

.

18．已知，是第三象限角，，求

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及同角三角函数的商数关系及两角和的正切公式即可求解.

【详解】（1），，

，

是第三象限角，，

，

.

（2）由（1）知，，，，

，，

.

19．已知，为锐角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；

（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.

【详解】（1）因为为锐角，，所以，

则；

（2）由于，为锐角，则，

又，所以

.

20．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，即可求解；

（2），从而即可求解.

【详解】（1）因为在菱形中，.

故，

故，所以.

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，

故，.

所以.

故①式.

故.

21．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)试判断函数在区间上的单调性.

【答案】(1)

(2)在上递增，在上递减

【分析】（1）由图形可直接得出A，利用公式即可得出，再把代入即可求得；

（2）令，结合，即可求解.

【详解】（1）由题意可知，，

，得，解得.

，即，，，

所以，故.

（2）令，解得，；

结合，得出在上递增，在上递减.

22．如图，已知半圆的直径，点在的延长线上，为半圆上的一个动点，以为边作等边三角形，且点与圆心分别在的两侧，记.

(1)当时，求四边形面积；

(2)求当取何值时，四边形的面积？并求出这个最大值.

【答案】(1)

(2)，最大值为

【分析】（1）先根据余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解；

（2）先根据余弦定理求出，再根据三角形的面积公式结合辅助角公式及三角函数的性质即可得解.

【详解】（1）在中，由余弦定理得

，

四边形的面积为

；

（2）在中，

由余弦定理得，

所以四边形的面积为

，

因为，所以，

当，即时，，

所以四边形面积的最大值为.