2022-2023学年江苏省淮安市五校高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省淮安市五校高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．点关于直线的对称点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设点关于直线的对称点的坐标为，利用垂直及中点在轴上这两个条件求出的值，可得结论．

【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，

则由题意可得

故答案为：B．

2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（    ）

A．(－∞，－1)

B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

D．

【答案】A

【分析】把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用，解出k的取值范围.

【详解】方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．

故选：A.

3．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据给定条件，按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解作答.

【详解】依题意，直线过原点时，直线方程为，即，

当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，

所以所求直线方程为或.

故选：C

4．圆上的点到点的距离可能为（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】B

【分析】求出圆心到点的距离，则距离在之间，选项一一比较即可.

【详解】设圆心为，半径为，坐标为，则，所以距离范围为，即，而5在此范围内，

故选：B.

5．双曲线的渐近线方程是：，则双曲线的焦距为（    ）

A．3 B．6 C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的渐近线方程是：，则求解.

【详解】因为双曲线的渐近线方程是：，

所以，，

所以焦距为.

故选：B

【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.

6．在数列中，，.若为等差数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由数列是等差数列知，先求，，从而求等差数列通项公式，再求即可．

【详解】解：，，且数列是等差数列，

，

，

，

.

故选：A

7．设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出点的坐标，设点，利用余弦定理建立关系，结合椭圆范围求解作答.

【详解】依题意，，设点，，，

，中，由余弦定理得：

，整理得，

则，化简得：，即，

于是得，即，而，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：A

8．已知抛物线在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】先求得在点处的切线的斜率，进而得到双曲线的一条渐近线的斜率求解.

【详解】解：因为，

所以时，，则，

所以在点处的切线的斜率为，

即双曲线的一条渐近线的斜率为，

所以曲线C的离心率为，

故选：C

二、多选题

9．若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】分别求出四个选项中数列对应的，再进行判断.

【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；

对，若，则，所以为递增数列，故错误；

对，若，则，所以为递减数列，故正确；

对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.

故选：.

【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

10．当时，方程表示的轨迹可以是（     ）

A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

【答案】ACD

【分析】将分为三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.

【详解】当时，.方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆.

当时，，方程化为，表示两条直线.

当时，，.方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线.

所以曲线不可能表示圆.

故选ACD.

【点睛】本小题主要考查直线、圆、椭圆和双曲线轨迹方程的特征，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

11．关于圆锥曲线下列叙述中正确的有（    ）

A．过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条

B．设是两个定点，k是非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线的一支

C．双曲线与椭圆有相同的焦点

D．以过抛物线的焦点的一条弦为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切

【答案】ACD

【分析】求出双曲线的通径及实轴长判断A；利用双曲线定义判断B；求出双曲线、椭圆的焦点坐标判断C；利用抛物线的定义判断D作答.

【详解】对于A，双曲线的实轴长为10，则过该双曲线的右焦点与两支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线只有1条，

双曲线的通径长为，则过该双曲线的右焦点与一支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线有2条，

因此过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，A正确；

对于B，当时，动点P的轨迹是一条射线，当时，动点P的轨迹是双曲线的一支，B不正确；

对于C，双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，C正确；

对于D，不妨令抛物线的焦点为F，准线为l，过点P，Q作准线l的垂线，垂足分别为，如图，

令线段的中点为M，过点M作于，因此线段是直角梯形的中位线，

则，即以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，D正确.

故选：ACD

12．已知椭圆：的左，右两焦点分别是，，其中直线l：与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（    ）

A．若，则的周长为

B．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是

C．若的中点为，则

D．弦AB长的取值范围是

【答案】ABD

【分析】根据给定的条件，利用椭圆的定义判断A；利用数量积的坐标表示列式求解判断B；利用“点差法”计算判断C；利用弦AB的意义确定弦长范围判断D作答.

【详解】对于A，由椭圆定义知，，则的周长为：

，A正确；

对于B，设，，则，

即，因此，解得，即，B正确；

对于C，由选项B知，，则，

于是得，而直线OM的斜率，因此，C不正确；

对于D，因过椭圆焦点的最短弦为椭圆的通径，其长为，过椭圆焦点的最长弦为椭圆的长轴，其长为，

而弦AB不垂直于椭圆x轴，所以弦AB长的取值范围是.

故选：ABD

三、填空题

13．以双曲线的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为____.

【答案】

【分析】求出双曲线的下焦点坐标，即为抛物线的焦点，则，代入即可.

【详解】由双曲线得：，因为双曲线的下焦点为抛物线的焦点，抛物线的焦点坐标为，设抛物线方程为，所以

故答案为：.

14．设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_______.

【答案】0（答案不唯一）

【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，则有，解出其范围即可.

【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点,

,即.

设，,

由,可得,

又因为在椭圆上,即,

所以,要使得成立的点恰好是4个,则,解得,

所以的值可以是任意一个值，

故答案为：0(答案不唯一)

15．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.

【答案】28

【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作答.

【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，

即有，则，因此，即，有，

于是得数列的通项为，，由得：，

所以数列的第10项是数列的第28项.

故答案为：28

16．已知P为上的点，过点P作圆O：的切线，切点为M、N，若使得的点P有8个，则m的取值范围是_______.

【答案】.

【分析】根据给定条件，结合圆的切线的性质求出，再借助对称性将问题转化为线段与以点O为圆心，为半径的圆有两个公共点（除线段端点外）求解作答.

【详解】因过点P的圆O：的切线（M、N为切点），满足，因此有，

则有，点P在以点O为圆心，2为半径的圆上，而点P在上，

曲线是以点为顶点的正方形，圆与曲线都关于x轴、y轴成轴对称，

要符合条件的点P有8个，则线段与圆有两个公共点（除线段端点外），

于是得点都在圆外，且直线与圆相交，

因此，而，解得，

所以m的取值范围是.

故答案为：

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.

四、解答题

17．过点作直线，使它被两直线和所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程.

【答案】x＋4y－4＝0.

【详解】(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组xA＝，xB＝，∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，

即有＋＝0，解得k＝－.故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.

(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，

而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)．

故所求直线方程为x＋4y－4＝0.

18．已知数列满足，设．

(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；

(2)若是数列的前项和，求的通项公式．

【答案】(1)数列是等差数列,理由见解析

(2)

【分析】（1）根据条件可得，即，即可作出判断；

（2）利用（1）的结论，可求得 的表达式，继而利用求得答案.

【详解】（1）由可得： ，

故由可知，，

故数列为等差数列；

（2）由（1）知，数列为首项 ，公差为2的等差数列，

故 ，即，

由于是数列的前项和，故，

当 时， ，

适合上式，

故 .

19．已知圆C：.

(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；

(2)从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先由配方法求得圆C的标准方程，得到圆心，半径为，再由题设条件设得直线l为，再利用相切得到关于的方程，从而求得直线l的一般式方程；

（2）利用圆的切线长的性质及，得到，再利用两点距离公式代入化简，即可求得点P的轨迹方程.

【详解】（1）由配方得，所以圆C的圆心，半径为，

因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为，即，

则由直线l与圆C相切得，解得或，

∴直线l的方程为或.

（2）由圆上切点的性质知，

又因为，所以，

所以，整理得，

故点P的轨迹方程为.

20．给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.

（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；

（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.

【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析

【解析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；

（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.

【详解】解：（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.

又因为抛物线的准线方程为：，

所以条件④不适合题意，

当选择条件③时，，

此时适合题意，

故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；

（2）假设总有，

由题意得直线的斜率不为，

设直线的方程为，

由得

设，

所以恒成立，，，

则，

所以，

所以，

综上所述，无论如何变化，总有.

【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

21．已知双曲线:,直线:,,为双曲线的两个焦点,与双曲线的一条渐近线平行且过其中一个焦点．

（1）求双曲线的方程;

（2）设与的交点为,求的角平分线所在直线的方程.

【答案】（1）（2）

【分析】(1)依题意,双曲线的渐近线方程为,焦点坐标为,,即可求双曲线的方程;

(2)设与的交点为,求出的坐标,利用夹角公式,即可求的角平分线所在直线的方程．

【详解】(1) 与双曲线的一条渐近线平行且过其中一个焦点

双曲线的渐近线方程为,焦点坐标为,,

双曲线方程为；

(2)联立双曲线和直线得:

解得: 故

显然的角平分线所在直线斜率存在,且,

,,

根据角分线性质可得:

,解得

为所求．

即:

【点睛】本题考查了求双曲线方程和角平分线所在直线的方程.解题关键掌握双曲线方程几何性质和角分线性质,考查了分析能力和计算能力.

22．已知椭圆（ ）右焦点为，是C上一点，点B与A关于原点O对称， 的面积为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线，且交椭圆C于点D，E，证明：直线AD与BE的斜率乘积为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)根据椭圆的对称性可知 ，据此算出c，再根据椭圆的几何性质即可算出a，b；

(2)根据条件设定直线DE的方程，，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出D，E坐标之间的关系，再根据斜率公式计算即可.

【详解】（1）设其中，则 ，即，

又点在曲线C上，所以，将代入，整理得

，解得，或（舍），所以，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）由题意， ，，设，，直线方程为：，，

联立直线DE与椭圆方程，消去y得，，

当，即且时，

，，

   ，

所以

，即是定值；

综上，椭圆方程为： .