2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，四象限内B. 图象经过点，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知ab=32，那么下列等式中正确的是( )
A. a+bb=53B. a−bb=13C. 2a=3bD. a2=b3
2.对于反比例函数y=2023x，下列说法正确的是( )
A. 图象分布在第二、四象限内B. 图象经过点(−1,−2023)
C. y随x的增大而减小D. x<0时，y随x的增大而增大
3.如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体( )
A. 主视图改变，俯视图改变
B. 左视图改变，俯视图改变
C. 俯视图不变，左视图改变
D. 主视图不变，左视图不变
4.下列命题中，真命题是( )
A. 所有的平行四边形都相似B. 所有的矩形都相似
C. 所有的菱形都相似D. 所有的正方形都相似
5.建平县某中学九年级各班举行篮球比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛10场，设共有x个班参赛，根据题意可列方程为( )
A. x(x−1)2=10B. x(x−1)=10C. x(x+1)2=10D. x(x+1)=10
6.如图，△ABC中，∠A=76∘，AB=8，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
7.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为( )
A. 23B. 12C. 13D. 14
8.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A. 当∠ABC=90∘，▱ABCD是矩形B. 当AC=BD，▱ABCD是矩形
C. 当AB=BC，▱ABCD是菱形D. 当AC⊥BD，▱ABCD是正方形
9.如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP⋅AB；④AB⋅CP=AP⋅CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是( )
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③
10.关于x的函数y=k(x+1)和y=kx(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.共抗疫情，是每个人的责任，某次我县进行全民静态核酸检测，某乡镇现有人口24503人，全部参加检测，设立y个检测点，每个监测点平均可检测x人，写出y与x的函数关系______ .
12.若关于x的一元二次方程x2−3x+k=0没有实数根，则k的取值范围是______.
13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,3)，B(−6,3)，以原点O为位似中心，在同一象限内把线段AB缩短为原来的13，得到线段CD，其中点C对应点A，点D对应点B，则点D的坐标为______.
14.反比例函数y=−4x，当y<4时，x的取值范围是______ .
15.在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD上的点M处，折痕为PE，此时PD=3，则MP的长为______ .
16.如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点(AP1三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2−8x+1=0；
(2)3x(x−1)=2−2x.
18.(本小题8分)
如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，画出它的左视图并求其面积．
19.(本小题8分)
已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)请求出这个反比例函数的解析式；
(2)蓄电池的电压是多少？
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
20.(本小题8分)
已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度).
①画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
②以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
③△A3B3C3与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点，位似比为3：2，若M(a,b)为线段A1C1上任一点，写出点M对应点M2的坐标.
21.(本小题8分)
(1)有20名志愿者参加公益活动，其中男生有8名，女生有12名．若从这20名志愿者中随机选取1名作为联络员，求选到女生的概率；
(2)若该活动的某项工程只在甲、乙2人中选1人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将4张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放在桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
22.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，AB=4，BC=6，CE=2，求CF的长度.
23.(本小题8分)
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F在BC上，∠EAF=∠DAE.
(1)求证：AF=BC+FC；
(2)已知正方形的边长为4，求AF的长.
25.(本小题8分)
如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点A(1,m).
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ab=32，
∴a+bb=3+22=52；a−bb=3−22=12，2a=3b；a3=b2.
故选：C.
根据比例的性质对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
2.【答案】B
【解析】A.因为y=2023x，k=2023>0，所以它的图象分布在第一、三象限，故本选项错误；
B.因为−1×(−2023)=2023=k，所以反比例函数y=2023x图象经过点(−1,−2023)，故本选项正确；
因为反比例函数y=2023x，k=2023>0，图象分布在第一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，即当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而减小，C，D选项错误；
故选：B.
直接利用反比例函数y=kx(k>0)的图象和性质逐项判断即可；
本题考查了反比例函数图象的性质：①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
3.【答案】D
【解析】解：将正方体①移走前的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，正方体①移走后的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，没有改变．
将正方体①移走前的左视图为：第一层有一个正方形，第二层有两个正方形，正方体①移走后的左视图为：第一层有一个正方形，第二层有两个正方形，没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图为：第一层有四个正方形，第二层有两个正方形，正方体①移走后的俯视图为：第一层有四个正方形，第二层有两个正方形，发生改变．
故选：D.
分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断．
本题考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：所有正方形都相似，故D符合题意；
故选：D.
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】A
【解析】解：∵共有x个班参赛，
∴每个班需要比赛(x−1)场，
又∵每两个班之间都要赛一场，共赛10场，
∴x(x−1)2=10，
故选：A.
共有x个班参赛，每个班需要比赛(x−1)场，再根据每两个班之间都要赛一场，可知x(x−1)2=10.
本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据比赛规则找出等量关系．
6.【答案】C
【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6−2=4，8−5=3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C.
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用概率公式求解即可，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【解答】
解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
∴P(两次都是红球)=14.
故选D.
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC=90∘，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB=BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D.
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断D.
本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】
解：①、当∠ACP=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，∴①符合题意；
②、当∠APC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，∴②符合题意；
③、当AC2=AP⋅AB，
即AC：AB=AP：AC，
∵∠A=∠A
∴△APC∽△ACB，∴③符合题意；
④、∵当AB⋅CP=AP⋅CB，即PC：BC=AP：AB，
而∠PAC=∠CAB，
∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④不符合题意；
故选D.
10.【答案】D
【解析】解：当k>0时，反比例函数图象经过一，三象限，一次函数图象经过第一、二、三象限，故A、C错误；
当k<0时，反比例函数图象经过第二、四象限，一次函数图象经过第二、三、四象限，故B错误，D正确.
故选D.
本题考查反比例函数的图象和一次函数的图象.
对k分类讨论，得到反比例函数和一次函数图象经过的象限，即可得解．
11.【答案】y=24503x
【解析】解：由题意得，xy=24503，
∴y=24503x，
故答案为：y=24503x.
根据y个监测点，每个监测点检测x人，一共检测了24503人，即可得到答案．
本题考查了求反比例函数解析式，正确理解题意得到xy=24503是解题的关键．
12.【答案】k>94
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+k=0没有实数根，
∴Δ=(−3)2−4×1×k=9−4k<0，
∴k的取值范围为k>94.
故答案为：k>94.
根据关于x的一元二次方程x2−，3x+k=0没有实数根，得出Δ=9−4k<0，再进行计算即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
13.【答案】(−2,1)
【解析】解：∵点A(−1,3)，B(−6,3)，以原点O为位似中心，在同一象限把线段AB缩短为原来的13，得到线段CD，点D与点B对应，
∴点D的横坐标为：−6×13=−2，纵坐标=3×13=1，
故答案为：(−2,1).
直接利用位似图形的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
14.【答案】x<−1或x>0
【解析】解：∵反比例数y=−4x，
∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，y随x增大而增大，
函数图象在第二象限时，当y=4时，4=−4x，
解得x=−1，
函数图象在第四象限时，y<0，
故当y<4时，x<−1或x>0，
故答案为：x<−1或x>0.
由反比例函数解析式可得函数图象所在象限，进而求解．
本题考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．
15.【答案】5
【解析】解：根据折叠的性质和矩形性质可得：PD=PH=3，AB=CD=MH=4，∠H=∠D=90∘，
∴MP= PH2+MH2= 32+42=5，
故答案为：5.
根据折叠的性质和矩形的性质可得PD=PH=3，AB=CD=MH=4，∠H=∠D=90∘，然后利用勾股定理即可求解．
本题考查了折叠的性质和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握和运用折叠的性质是解决本题的关键．
16.【答案】(3− 52)n
【解析】解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点(AP1∴BP1= 5−12AB，
∴AP1=AB−BP1=AB− 5−12AB=3− 52AB=3− 52，
∵点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2∴P1P2= 5−12AP1，
∴AP2=AP1−P1P2=AP1− 5−12AP1=3− 52AP1=(3− 52)2，
同理可得AP3=(3− 52)3，
∴APn的长度=(3− 52)n.
故答案为(3− 52)n.
根据黄金分割的定义的BP1= 5−12AB，则AP1=AB−BP1=3− 52AB=3− 52，利用同样的方法可得到AP2=3− 52AP1=(3− 52)2，AP3=(3− 52)3，按此规律易得APn的长度=(3− 52)n.
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
17.【答案】解：(1)x2−8x+1=0，
x2−8x=−1，
x2−8x+16=−1+16，即(x−4)2=15，
∴x−4=± 15，
∴x1=4+ 15，x2=4− 15；
(2)3x(x−1)=2−2x，
3x(x−1)+2(x−1)=0，
(x−1)(3x+2)=0，
∴x−1=0或3x+2=0，
∴x1=1，x2=−23.
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18.【答案】解：如图所示：
其面积为：125×6=725.
【解析】直接利用几何体的形状得出左视图，再利用其高度得出左视图的面积．
此题主要考查了作三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
19.【答案】解：(1)电流I是电阻R的反比例函数，设I=kR，
∵图象经过(8,6)，
∴6=k8，
解得k=6×8=48，
∴I=48R；
(2)蓄电池的电压是6×8=48(V)；
(3)∵I≤10，I=48R，
∴48R≤10，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
【解析】(1)先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=kR，将点(8,6)，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
(2)根据电压=电流×电阻即可求解；
(3)将I≤10代入(1)中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
20.【答案】解：①如图，△A1B1C1为所作；
②如图，△A2B2C2为所作；
③点M对应点M2的坐标为(32a,32b)或(−32a,−32b).
【解析】①利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
②延长BA到A2使BA2=2BA，延长BC到C2使BC2=2BC，则△A2B2C2满足条件；
③根据以原点为为似中心的点的坐标特征，把M点的横纵坐标分别乘以32或−32可得到点M2的坐标．
本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
21.【答案】解：(1)P(选到女生)=1212+8=35；
(2)画树状图如下：
∵共有12种等可能的情况，和为偶数的情况有4种，奇数的情况有8种，
∴P(奇数)=812=23，P(偶数)=412=13，
∵P(奇数)≠P(偶数)，
∴不公平．
【解析】(1)选到女生的概率用女生的人数除以总人数即可．
(2)先画出树状图，结合树状图分别求出两人获胜概率，是否公平就要看两人获胜概率是否相同．若相同，则公平，否则就不公平．
本题主要考查了概率的求法和根据树状图求概率，掌握每种概率的求法和树状图的画法是解题的关键．
22.【答案】解：过O作OM//CB，交DC于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，DC=AB=4，
∵DM：MC=DO：OB，
∴DM=MC=12DC=2，
∴OM是△DBC的中位线，
∴OM=12BC=3，
∵CE=2，
∴CE=CM，
∵EF：FO=EC：CM，
∴FE=OF，
∴CF是△EOM的中位线，
∴FC=12OM=1.5.
∴CF的长是1.5.
【解析】过O作OM//CB，交DC于M，由条件可以证明OM是△DBC的中位线，FC是△EOM的中位线，应用三角形中位线定理，即可求出FC的长
本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是通过辅助线构造三角形的中位线．
23.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50(1−a)2=32，
解得：a=1.8(舍)，a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
(2)设每千克应涨价x元，由题意，得
(10+x)(500−20x)=6000，
整理，得x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10，
因为要尽快减少库存，所以x=5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【解析】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到隐含的相等关系，列出方程，解答即可．
(1)设每次降价的百分率为a，(1−a)2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
(2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
24.【答案】(1)证明：延长AE和BC交于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DA，AD//BC，∠ADC=∠ECM，
∵E是CD边的中点，
∴DE=EC，
在△ADE和△MCE中，
∵∠ADE=∠MCE，DE=CE，∠AED=∠MEC，
∴△ADE≌△MCE(ASA)，
∴AD=MC，∠DAE=∠CME，
∴MC=BC，
∵∠EAF=∠DAE，
∴∠CME=∠EAF，
∴AF=FM，
∵FM=FC+MC=FC+BC，
∴AF=FC+BC；
(2)解：设FC=x，BF=4−x，
由(1)知AF=FC+BC=4+x，
在Rt△ABF中 AB2+BF2=AF2，
42+(4−x)2=(4+x)2，
解得 x=1，
∴AF=BC+FC=4+1=5.
【解析】(1)延长AE和BC交于M，首先根据正方形的性质可得BC=DA，AD//BC，∠ADC=∠ECM，根据E是CD边的中点，可得DE=EC，即可证得△ADE≌△MCE(ASA)，AD=MC，∠DAE=∠CME，再根据等腰三角形的性质，可证得AF=FM，据此即可证得结论；
(2)设FC=x，BF=4−x，由(1)知AF=FC+BC=4+x，根据勾股定理即可得方程，即可求得x的值，据此即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)把将A(1,m)代入y=2x中得：m=2×1=2，
∴A(1,2)，
将A(1,2)代入y=kx中得：k=xy=2×1=2，
∴m=2，k=2；
(2)∵直线y=2x和y=2x交于点A、B，
∴A和B关于原点成中心对称，
∴B(−1,−2)，
设点D的坐标为(t,0)，
∴AD2=(t−1)2+22，BD2=(t+1)2+22，AB2=(−1−1)2+(−2−2)2=20；
当∠BAD=90∘时，则AB2+AD2=BD2，
∴(t−1)2+22+20=(t+1)2+22，
解得t=5，
∴点D的坐标为(5,0)；
当∠BDA=90∘时，则AB2=AD2+BD2，
∴20=(t+1)2+22+(t−1)2+22，
∴2t2=10，
解得t=± 5，
∴点D的坐标为( 5,0)或(− 5,0)，
当∠ABD=90∘时，则AD2=BD2+AB2，
∴(t−1)2+22=(t+1)2+22+20，
解得t=−5，
∴点D的坐标为(−5,0)；
综上所述，x轴上是否存在一点D(5,0)或( 5,0)或(− 5,0)或(−5,0)使得△ABD为直角三角形．
【解析】(1)先把点A坐标代入直线解析式中求出m的值即可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
(2)先由对称性求出点B的坐标，设点D的坐标为(t,0)，利用勾股定理求出AD2=(t−1)2+22，BD2=(t+1)2+22，AB2=20；再分当∠BAD=90∘时，当∠BDA=90∘时，当∠ABD=90∘时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．