高考数学真题分项汇编（2014-2023） 专题20 三角函数及解三角形解答题（理科）（全国通用）（原卷版）

这是一份高考数学真题分项汇编（2014-2023） 专题20 三角函数及解三角形解答题（理科）（全国通用）（原卷版），共79页。试卷主要包含了在中，角所对边分別是，已知在中，，已知为锐角，，，已知函数，且，，已知，，小问7分，小问6分)，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140493599" 题型一：三角恒等变换 PAGEREF _Tc140493599 \h 1
\l "_Tc140493600" 题型二：三角函数与向量综合 PAGEREF _Tc140493600 \h 2
\l "_Tc140493601" 题型三：三角函数的图像与性质 PAGEREF _Tc140493601 \h 3
\l "_Tc140493602" 题型四：正余弦定理的应用 PAGEREF _Tc140493602 \h 6
\l "_Tc140493603" 题型五：与三角形周长、面积有关问题 PAGEREF _Tc140493603 \h 10
\l "_Tc140493604" 题型六：三角函数的建模应用 PAGEREF _Tc140493604 \h 12
\l "_Tc140493605" 题型七：结构不良型试题 PAGEREF _Tc140493605 \h 14
题型一：三角恒等变换
1．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知为锐角，，．
(1)求的值； (2)求的值．
4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值;
(2)若角满足，求 值．
5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数，且，
(1)求的值；
(2)若，，求．
6．(2014高考数学江苏·第15题)已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
题型二：三角函数与向量综合
1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量，，设函数，且的图象过点和点．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)将的图象向左平移()个单位后得到函数的图象．若图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间．
2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量
(1)若,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值．
3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)
在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：
(1)a和c的值；
(2)的值．
4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)的内角，，所对的边分别为，，．向量与
平行．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的面积．
5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知向量，，．
(1)若，求的值;
(2)若与的夹角为，求的值．
题型三：三角函数的图像与性质
1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数,其中
(1)当时,求在区间上的最大值与最小值;
(2)若,求的值．
2．(2019·浙江·第18题)设函数，．
(Ⅰ)已知，函数是偶函数，求的值；
(Ⅱ)求函数的值域．
3．(2018年高考数学上海·第18题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
设常数，函数．
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若，求方程在区间上的解．
4．(2014高考数学重庆理科·第17题)已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为．
(I)求和的值；
(II)若，求的值．
5．(2014高考数学天津理科·第15题)已知函数,．
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值．
6．(2014高考数学四川理科·第16题)已知函数
(Ⅰ)求的单调递增区间；
(Ⅱ)若是第二象限角，求的值
7．(2014高考数学福建理科·第16题)(本小题满分13分)
已知函数
(1)若，且，求的值；
(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．
8．(2015高考数学重庆理科·第18题)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分)
已知函数
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)讨论在上的单调性．
9．(2015高考数学天津理科·第15题)(本小题满分13分)已知函数，
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．
10．(2015高考数学湖北理科·第17题)(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
11．(2015高考数学福建理科·第19题)已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度．
(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．
(1)求实数m的取值范围；
(2)证明：
12．(2015高考数学北京理科·第15题)(本小题13分)已知函数．
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最小值．
13．(2017年高考数学浙江文理科·第18题)已知函数．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间．
14．(2017年高考数学山东理科·第16题)设函数,其中．已知．
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值．
15．(2016高考数学天津理科·第15题) 已知函数．
(Ⅰ)求的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论在区间上的单调性．

16．(2021年高考浙江卷·第18题)设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最大值．
17．(2014高考数学江苏·第26题)已知函数＝()，记为的导数，n∈N*．
(1)求的值；
(2)证明：对任意n∈N*，等式都成立．

题型四：正余弦定理的应用
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第17题)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
3．(2020年浙江省高考数学试卷·第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(I)求角B；
(II)求csA+csB+csC的取值范围．
4．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
5．(2020天津高考·第16题)在中，角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)求的值；
(Ⅲ)求的值．
6．(2020江苏高考·第16题)在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)在边上取一点，使得，求的值．
7．(2019·全国Ⅰ·理·第17题)的内角的对边分别为．设．
(1)求；
(2)若，求．
8．(2019·江苏·第15题)在中，角的对边分别为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
9．(2019·北京·理·第15题)在△ABC中，，，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求sin(B–C)的值．
10．(2018年高考数学天津(理)·第15题)在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，求和的值．
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第17题)(12分)在平面四边形中，，， ,．
(1)求; (2)若,求．
12．(2018年高考数学北京(理)·第15题)(本小题13分)在中，，，．(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求边上的高．
13．(2014高考数学陕西理科·第18题)的内角所对的边分别为．
⑴若成等差数列，证明：；
⑵若成等比数列，求的最小值．
14．(2014高考数学湖南理科·第18题)如图右,在平面四边形中,．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若求的长．
15．(2014高考数学大纲理科·第17题)ABC的内角A、B、C的对边分别为，已知，，求角．
16．(2014高考数学北京理科·第15题)如图, 在△ABC中, ∠B= , AB=8, 点D在BC边上, 且CD=2, cs∠ADC=
(1)求sin∠BAD
(2)求BD, AC的长
17．(2014高考数学安徽理科·第16题)设的内角所对边的长分别是，且．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值．
18．(2015高考数学四川理科·第19题)如图，为平面四边形的四个内角．
(1)证明：
(2)若求的值．
19．(2015高考数学湖南理科·第19题)设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
20．(2015高考数学江苏文理·第15题)在中，已知．
(1)求的长；
(2)求的值．
21．(2015高考数学安徽理科·第16题)(本小题满分12分)在中，,点D在边上，，求的长．
22．(2017年高考数学天津理科·第15题)在中,内角所对的边分别为．已知,,．
(1)求和的值;
(2)求的值．
23．(2016高考数学四川理科·第17题)在中，角所对的边分别是，且．
(1)证明：；
(2)若，求．
24．(2016高考数学山东理科·第16题)(本小题满分12分)在中，角，，的对边分别为，，，已知
(Ⅰ)证明：;
(Ⅱ)求的最小值．
25．(2016高考数学江苏文理科·第15题)在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
26．(2016高考数学北京理科·第15题)(本小题13分)在中，．
(I)求 的大小
(II)求 的最大值．
27．(2019·天津·理·第15题)在中，内角所对的边分别为．已知，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值．
题型五：与三角形周长、面积有关问题
1．(2023年全国乙卷理科·第18题)在中，已知，，．
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．
(1)若，求的面积；
(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
3．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第17题)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求周长的最大值．
4．(2022高考北京卷·第16题)在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
5．(2022年浙江省高考数学试题·第18题)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
6．(2022新高考全国II卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求面积；
(2)若，求b．
7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第17题)记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
8．(2014高考数学浙江理科·第18题)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，
(I)求角C的大小；
(II)若求的面积。
9．(2015高考数学浙江理科·第16题)(本题满分14分)在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的值．
10．(2015高考数学新课标2理科·第17题)(本题满分12分)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
11．(2015高考数学山东理科·第16题)设．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值．
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17题)的内角的对边分别为,已知的面积为．
(1)求; (2)若,,求的周长．
13．(2017年高考数学上海(文理科)·第18题)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数,．
(1)求的单调递增区间;
(2)设为锐角三角形,角所对边,角所对边,若,求的面积．
14．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)(12分)的内角的对边分别为．已知，，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(12分)的内角的对边分别为 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
16．(2017年高考数学北京理科·第15题)在中, ,．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积．
17．(2016高考数学浙江理科·第16题)(本题满分14分)在中，内角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若的面积，求角的大小．
18．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)(本题满分为12分)的内角的对边分别为，已知
(= 1 \* ROMANI)求；
(= 2 \* ROMANII)若，的面积为，求的周长．
19．(2019·全国Ⅲ·理·第18题)的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
题型六：三角函数的建模应用
1．(2014高考数学湖北理科·第17题)某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系；
，．
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？
2．(2019·上海·第19题)如图，为海岸线，为线段，弧BC为四分之一圆弧，，，，.
(1)求弧BC长度；
(2)若，求到海岸线的最短距离.(精确到)
3．(2014高考数学上海理科·第21题)如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．
(1)设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0．01米)？
(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长(结果精确到0．01米)．
4．(2019·江苏·第18题)如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥(是圆的直径)．规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路．规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点到直线的距离分别为和(为垂足)，测得，，(单位:百米)．
(1)若道路与桥垂直，求道路的长；
(2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；
(3)对规划要求下，若道路和的长度均为(单位：百米).求当最小时，两点间的距离．
5．(2018年高考数学江苏卷·第17题)(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
题型七：结构不良型试题
1．(2023年北京卷·第17题)设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．(2021高考北京·第16题)在中，，．
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：周长为；
条件③：的面积为；
5．(2020北京高考·第17题)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
(Ⅰ)的值：
(Ⅱ)和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140493599" 题型一：三角恒等变换 PAGEREF _Tc140493599 \h 1
\l "_Tc140493600" 题型二：三角函数与向量综合 PAGEREF _Tc140493600 \h 4
\l "_Tc140493601" 题型三：三角函数的图像与性质 PAGEREF _Tc140493601 \h 8
\l "_Tc140493602" 题型四：正余弦定理的应用 PAGEREF _Tc140493602 \h 20
\l "_Tc140493603" 题型五：与三角形周长、面积有关问题 PAGEREF _Tc140493603 \h 38
\l "_Tc140493604" 题型六：三角函数的建模应用 PAGEREF _Tc140493604 \h 50
\l "_Tc140493605" 题型七：结构不良型试题 PAGEREF _Tc140493605 \h 56
题型一：三角恒等变换
1．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
解析：(1)由正弦定理可得，，即，解得：；
(2)由余弦定理可得，，即，
解得：或(舍去)．
(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
解析：(1)，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
．
(2)由(1)知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
．
3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知为锐角，，．
(1)求的值； (2)求的值．
【答案】解析：(1)因为，，所以．
因为，，
因此．
(2)因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此，．
因为，所以，
因此，．
4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值;
(2)若角满足，求 值．
【答案】(1) ；(2)或．
【解析】(1)由角终边过点得所以．
(2)由角终边过点得，
由得．
由得
当时，；
当时，
所以或．
5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数，且，
(1)求的值；
(2)若，，求．
【答案】解：(1)依题意有，所以
(2)由(1)得，
，
6．(2014高考数学江苏·第15题)已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)； (2)
解析：(1)因为α∈，sinα＝，所以csα＝．
故sin＝sincsα＋cssinα＝．
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcsα＝，
cs2α＝1－2sin2α＝1－，
所以cs＝．
题型二：三角函数与向量综合
1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量，，设函数，且的图象过点和点．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)将的图象向左平移()个单位后得到函数的图象．若图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间．
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
解析：(Ⅰ)已知，
过点

解得．
(Ⅱ)
左移后得到
设的对称轴为，解得
，解得

的单调增区间为
2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量
(1)若,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3;时,取得最小值,为．
解析:解:(1)因为,,,
所以．
若,则,与矛盾,故．
于是．又,所以．
(2)．
因为,所以,
从而．
于是,当,即时,取到最大值3;
当,即时,取到最小值．
3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)
在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：
(1)a和c的值；
(2)的值．
【答案】
(1)a=3，c=2；(2)
解析：(1)，，，即①，由余弦定理可得
，化简整理得②，①②联立，解得，a=3，c=2；
(2)，
因为a=3，，c=2，由余弦定理可得，，
．
解析2：
(2)在△ABC中，，根据正弦定理可得
，，为锐角，，
．
4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)的内角，，所对的边分别为，，．向量与
平行．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的面积．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
分析：(Ⅰ)先利用可得，再利用正弦定理可得的值，进而可得的值；(Ⅱ)由余弦定理可得的值，进而利用三角形的面积公式可得的面积．
解析：(Ⅰ)因为，所以，
由正弦定理，得
又，从而，由于，所以
(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得
而得，即
因为，所以．故的面积为．
解法二：由正弦定理，得，从而，
又由，知，所以．
故
所以的面积为．
5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知向量，，．
(1)若，求的值;
(2)若与的夹角为，求的值．
【答案】解析：(1)，，且，
(2)
题型三：三角函数的图像与性质
1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数,其中
(1)当时,求在区间上的最大值与最小值;
(2)若,求的值．
【答案】(1)最大值为最小值为-1． (2)
分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当时,,再结合基本三角函数性质求最值:因为,从而,故在上的最大值为最小值为-1．(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可． 由得,又知解得
解析:解(1)当时,

因为,从而
故在上的最大值为最小值为-1．
(2)由得,又知解得
2．(2019·浙江·第18题)设函数，．
(Ⅰ)已知，函数是偶函数，求的值；
(Ⅱ)求函数的值域．
【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
【解析】(Ⅰ)解法一：因为是偶函数，所以，对任意实数都有，
即，故，所以，又，
因此，或．
解法二：根据诱导公式，，，因为是偶函数，，
所以
(Ⅱ)
．因此，函数的值域是．
3．(2018年高考数学上海·第18题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
设常数，函数．
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若，求方程在区间上的解．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)显然定义域为．
由题意得，即．
化简得：，对于任意成立，则．
(2)由条件得，解得．
所以，化简得．
因为，所以．
所以，，，．解得，，，．
另解：或．
解得或．因为，所以对赋值．
当时，，；当时，，．
4．(2014高考数学重庆理科·第17题)已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为．
(I)求和的值；
(II)若，求的值．
【答案】(I)
(2)
解析：(Ⅰ)由题意最小正周期为，从而。又图象关于对称，故，而
(Ⅱ)由(Ⅰ)得。所以，
，故，
于是
5．(2014高考数学天津理科·第15题)已知函数,．
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),．
解析:(Ⅰ)由已知,有
所以的最小正周期为．
(Ⅱ)因为在区间上是减函数,在区间上是增函数,而,,,所以,函数在闭区间上的最大值为,最小值为．
6．(2014高考数学四川理科·第16题)已知函数
(Ⅰ)求的单调递增区间；
(Ⅱ)若是第二象限角，求的值
【答案】解析：(Ⅰ)因为函数的单调递增区间为，．
由，，得，．
所以，函数的单调递增区间为，
(Ⅱ)由已知，有，
所以
即
当时，由是第二象限角，知，．
此时，．
当时，有．
由是第二象限角，知，此时．
综上所述，或．
7．(2014高考数学福建理科·第16题)(本小题满分13分)
已知函数
(1)若，且，求的值；
(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．
【答案】解析：解法一：( = 1 \* ROMAN I)因为，所以．
所以，
( = 2 \* ROMAN II)因为，
所以周期，
由，得，
所以的单调递增区间为，
解法二：，
( = 1 \* ROMAN I)因为所以，
( = 2 \* ROMAN II)周期，
由，得，
所以的单调递增区间为．
8．(2015高考数学重庆理科·第18题)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分)
已知函数
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)讨论在上的单调性．
【答案】(1)最小正周期为，最大值为；
(2)在上单调递增；在上单调递减．
分析：三角函数问题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一次式，即为形式，然后根据正弦函数的性质求得结论，本题利用诱导公式、倍角公式、两角差的正弦公式可把函数转化为，这样根据正弦函数性质可得(1)周期为，最大值为；(2)由已知条件得，而正弦函数在和上分别是增函数和减函数，因此可得单调区间．
解析：(1)
,
因此的最小正周期为，最大值为．
(2)当时，有，从而
当时,即时，单调递增，
当时,即时，单调递减，
综上可知，在上单调递增；在上单调递减．
9．(2015高考数学天津理科·第15题)(本小题满分13分)已知函数，
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ),．
解析：(Ⅰ)由已知，有
．
所以的最小正周期．
(Ⅱ)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，
，所以在区间上的最大值为，最小值为．
10．(2015高考数学湖北理科·第17题)(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【答案】解析：(Ⅰ)根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：
且函数表达式为．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，得．
因为的对称中心为，．
令，解得，．
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，．由可知，当时，取得最小值．
11．(2015高考数学福建理科·第19题)已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度．
(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．
(1)求实数m的取值范围；
(2)证明：
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)(1)；(2)详见解析．
解析：解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为
(2)1)
(其中)
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是．
2)因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，．
当时，
当时,
所以
解法二：(1)同解法一．
(2)1)同解法一．
2)因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，．
当时，
当时,
所以
于是
12．(2015高考数学北京理科·第15题)(本小题13分)已知函数．
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最小值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：
解析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为形式，再利用周期公式求出周期，第二步由于则可求出，借助正弦函数图象找出在这个范围内当，即时，取得最小值为：．
解析：
(Ⅰ)的最小正周期为；
(Ⅱ)，当时，取得最小值为：
13．(2017年高考数学浙江文理科·第18题)已知函数．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间．
【答案】 (1)2;(2)
【解析】(1)





所以
(2)设的最小正周期为,则;
的单调减区间为,
所以由,得,
得
所以的单调递增区间为
【考点】本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力．
14．(2017年高考数学山东理科·第16题)设函数,其中．已知．
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值．
【答案】(1);(2)时,取得最小值．
【分析】(1)利用两角和与差的三角函数化简到,由题设知及可得;(2)由(1)得从而,根据得到,进一步求最小值．
【解析】
(1)

由
又,所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以．
因为,
所以,
当,即时,取得最小值．
15．(2016高考数学天津理科·第15题) 已知函数．
(Ⅰ)求的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论在区间上的单调性．

【答案】(Ⅰ)定义域,
(Ⅱ)函数在上单调增，在上单调减
解析：(Ⅰ)
．
∴的定义域,
(Ⅱ)，，设，
∵在时单调递减，在时单调递增
由解得，由解得
∴函数在上单调增，在上单调减
16．(2021年高考浙江卷·第18题)设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最大值．
【答案】(1)；(2)．
解析:(1)由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
(2)由题意，
，
由可得，所以当即时，函数取最大值．
17．(2014高考数学江苏·第26题)已知函数＝()，记为的导数，n∈N*．
(1)求的值；
(2)证明：对任意n∈N*，等式都成立．
【答案】解析： (1)解：由已知，
故，
所以，即＋．
(2)证明一(官方解法)：由已知得：，等式两边分别对求导：，
即，类似可得：
，
，
．
下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立．
(ⅰ)当时，由上可知等式成立；
(ⅱ)假设当时等式成立，即．
因为，
，
所以．
因此当时，等式成立．
综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式对所有的都成立．
令，可得．
所以．
解法二：令
所以，
又
故
所以，即，命题得证．
题型四：正余弦定理的应用
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第17题)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2)．
解析：(1)
方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以．
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以．
(2)
方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】解析：
(1)由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，∴，得证．
(2)由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，．
3．(2020年浙江省高考数学试卷·第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(I)求角B；
(II)求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】(I)；(II)
解析：(I)由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故．
(II)结合(1)的结论有：
．
由可得：，，
则，．
即的取值范围是
4．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
解析：(1)因为，即，
而，所以；
(2)由(1)知，，所以，
而， 所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
5．(2020天津高考·第16题)在中，角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)求的值；
(Ⅲ)求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得
，又因为，所以；
(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；
(Ⅲ)由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以．
6．(2020江苏高考·第16题)在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)在边上取一点，使得，求的值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由余弦定理得，所以．
由正弦定理得．
(2)由于，，所以．
由于，所以，所以
所以
．
由于，所以．
所以．
【点评】本题主要考查解三角形。
7．(2019·全国Ⅰ·理·第17题)的内角的对边分别为．设．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】解析：(1)由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．因为，所以．
(2)由(1)知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
8．(2019·江苏·第15题)在中，角的对边分别为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
由余弦定理，得，即.
所以.
(2)因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
9．(2019·北京·理·第15题)在△ABC中，，，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求sin(B–C)的值．
【答案】(Ⅰ)由题可知，，，由余弦定理得：，
解得：．
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，
结合正弦定理可得：，
很明显角C为锐角，故，
故．
10．(2018年高考数学天津(理)·第15题)在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，求和的值．
【答案】(1)解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．
(2)解：在中，由余弦定理及，，有，故．
由，可得．因为，故．
因此，
所以，
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第17题)(12分)在平面四边形中，，， ,．
(1)求; (2)若,求．
【答案】解析：(1)在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
由题设知，，所以．
(2)由题设及(1)知，．
在中，由余弦定理得
．
所以．
12．(2018年高考数学北京(理)·第15题)(本小题13分)在中，，，．(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求边上的高．
【答案】(共13分)解：(Ⅰ)在中，
由正弦定理得

(Ⅱ)在中，
如图所示，在中，，，
边上的高为．

13．(2014高考数学陕西理科·第18题)的内角所对的边分别为．
⑴若成等差数列，证明：；
⑵若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)详见解析;(2)．
解析: ⑴因为成等差数列，且，所以 ，
由正弦定理得，
因为 ，
所以；
⑵由成等比数列有，
由余弦定理有，
当且仅当时等号成立， (1)详见解析;(2)．
所以的最小值为。
14．(2014高考数学湖南理科·第18题)如图右,在平面四边形中,．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若求的长．
【答案】(1); (2)
解析:解:(1)由关于的余弦定理可得
,所以．
(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再有正弦的和差角公式可得
,再由的正弦定理可得
．
15．(2014高考数学大纲理科·第17题)ABC的内角A、B、C的对边分别为，已知，，求角．
【答案】
解析：根据正弦定理，由
因为，所以
所以
因为，所以
由三角形的内角和可得．
16．(2014高考数学北京理科·第15题)如图, 在△ABC中, ∠B= , AB=8, 点D在BC边上, 且CD=2, cs∠ADC=
(1)求sin∠BAD
(2)求BD, AC的长
【答案】解析：(Ⅰ)在中,因为,所以．
所以


(Ⅱ)在中,由正弦定理得：

在中,由余弦定理得


所以
17．(2014高考数学安徽理科·第16题)设的内角所对边的长分别是，且．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值．
【答案】解：(Ⅰ)因为，所以．
由正、余弦定理得．
因为，，所以，．
(Ⅱ)由余弦定理得．
由于，所以．
故．
18．(2015高考数学四川理科·第19题)如图，为平面四边形的四个内角．
(1)证明：
(2)若求的值．
【答案】(1)详见解析；(2)．
解析：(1)．
(2)由，得．
由(1)，有
连结BD，
在中，有，
在中，有，
所以 ，
则，
于是．
连结AC，同理可得
，
于是．
所以．
考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想．
19．(2015高考数学湖南理科·第19题)设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)详见解析；(2)．
分析：(1)利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为，再结合条件从而得证；(2)利用(1)中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解．
解析：(1)由及正弦定理，得，∴，即，
又为钝角，因此，故，即；(2)由(1)知，
，∴，于是
，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是．
20．(2015高考数学江苏文理·第15题)在中，已知．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
分析：(1)已知两边及夹角求第三边，应用余弦定理，可得的长，(2)利用(1)的结果，则由余弦定理先求出角C的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值．
解析：(1)由余弦定理知，，
所以．
(2)由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此．
21．(2015高考数学安徽理科·第16题)(本小题满分12分)在中，,点D在边上，，求的长．
【答案】
分析：根据题意，设出的内角所对边的长分别是，由余弦定理求出的长度，再由正弦定理求出角的大小，在中．利用正弦定理即可求出的长度．
解析：如图，
设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得
，所以．
又由正弦定理得．
由题设知，所以．
在中，由正弦定理得．
22．(2017年高考数学天津理科·第15题)在中,内角所对的边分别为．已知,,．
(1)求和的值;
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解:在中,因为,故由,可得．由已知及余弦定理,有,所以．
由正弦定理,得．
所以,的值为,的值为．
(2)解:由(Ⅰ)及,得,所以,
．故
【考点】(1)正余弦定理的应用(2)二倍角和和差角公式的运用．
【点评】在运用余弦定理的时候注意选择公式,一般来说由知道的角来选择公式．
23．(2016高考数学四川理科·第17题)在中，角所对的边分别是，且．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】【官方解答】根据正弦定理，可设
则，代入
则有
在三角形中，则
所以
(2)
由余弦定理，所以
由(1)
所以，所以．
【民间解析】(1)由正弦定理知
(2)
由余弦定理，所以
由(1)．
24．(2016高考数学山东理科·第16题)(本小题满分12分)在中，角，，的对边分别为，，，已知
(Ⅰ)证明：;
(Ⅱ)求的最小值．
【答案】由题意知，
化简得，
即．因为,所以．
从而．由正弦定理得．
由知,所以,
当且仅当时，等号成立．故 的最小值为．
25．(2016高考数学江苏文理科·第15题)在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)．
【官方解答】(1)因为， ，所以
由正弦定理知，所以．
(2)在中，，所以，
于是，
又，，故．
因为，所以．
因此，．
民间解答：(1)，为三角形的内角
，即：；
(2)，
又为三角形的内角
．
26．(2016高考数学北京理科·第15题)(本小题13分)在中，．
(I)求 的大小
(II)求 的最大值．
【答案】(1)；(2)最大值为1．
【官方解答】(Ⅰ)由余弦定理及题设得．
又因为，所以．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知．
,
因为，所以当时，取得最大值．
【民间解答】⑴ ∵
∴，∴
∴
⑵∵，∴
∴
∵，∴，∴，∴最大值为1．
上式最大值为1
27．(2019·天津·理·第15题)在中，内角所对的边分别为．已知，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值．
【答案】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．
(Ⅰ)解：在中，由正弦定理，得，又由，得
，即．又因为，得到，．
由余弦定理可得．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可得，
从而，，
故．
题型五：与三角形周长、面积有关问题
1．(2023年全国乙卷理科·第18题)在中，已知，，．
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
解析：(1)由余弦定理可得：
，
则，，
．
(2)由三角形面积公式可得，
则．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．
(1)若，求的面积；
(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】解析:(1)因为，则，则，故，，
，所以，锐角，则，
因此，；
(2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故．
3．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第17题)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求周长的最大值．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)由正弦定理可得：，
，
，
(2)由余弦定理得：，
即．
(当且仅当时取等号)，
，
解得：(当且仅当时取等号)，
周长，周长的最大值为．
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．
4．(2022高考北京卷·第16题)在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】解析:因为，则，由已知可得，
可得，因此，．
解：由三角形的面积公式可得，解得．
由余弦定理可得，，
所以，的周长为．
5．(2022年浙江省高考数学试题·第18题)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】解析:(1)由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
6．(2022新高考全国II卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)由正弦定理得：，则，则，．
7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第17题)记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析 (2)14
解析：【小问1详解】
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
【小问2详解】
解：因为，
由(1)得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为．
8．(2014高考数学浙江理科·第18题)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，
(I)求角C的大小；
(II)若求的面积。
【答案】解析：( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)由题意得，，即，
，由得，，又，得，即，所以；
( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．
9．(2015高考数学浙江理科·第16题)(本题满分14分)在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的值．
【答案】(1)；(2)．
解析：
(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式
子作三角恒等变形即可求解；(2)根据条件首先求得的值，再结合正弦定理以及三角
形面积的计算公式即可求解．
解析：(1)由及正弦定理得，
∴，又由，即，得，
解得；(2)由，得，，
又∵，∴，由正弦定理得，
又∵，，∴，故．
10．(2015高考数学新课标2理科·第17题)(本题满分12分)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
【答案】
解析：(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得．
(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得
，．
．由(Ⅰ)知，所以．
11．(2015高考数学山东理科·第16题)设．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值．
【答案】(Ⅰ)单调递增区间是；
单调递减区间是
(Ⅱ) 面积的最大值为
分析：(Ⅰ)首先利用二倍角公式化简函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；
(Ⅱ)首先由 结合(Ⅰ)的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值．
解析：(Ⅰ)由题意知
由 可得
由 可得
所以函数 的单调递增区间是 ；
单调递减区间是
(Ⅱ)由 得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理： 可得：
即： 当且仅当时等号成立．
因此
所以面积的最大值为
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17题)的内角的对边分别为,已知的面积为．
(1)求; (2)若,,求的周长．
【答案】(1);(2)的周长为．
【分析】(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和,计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而可求出的周长．
【解析】(1)由题设得,即．
由正弦定理得．
故．
(2)由题设及(1)得,即．
所以,故．
由题设得,即．
由余弦定理得,即,得．
故的周长为．
13．(2017年高考数学上海(文理科)·第18题)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数,．
(1)求的单调递增区间;
(2)设为锐角三角形,角所对边,角所对边,若,求的面积．
【答案】(1),,单调递增区间为;
(2),∴或,
根据锐角三角形,,∴,．
14．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)(12分)的内角的对边分别为．已知，，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由可得,因为,故．
由余弦定理可知:即
整理可得,解得(舍去)或．
(2)法一:设,则在中,由勾股定理可得

在中,有
由余弦定理可得
即即
所以,解得
所以．
法二:依题意易知
又因为,
所以
所以．
法三:∵,
由余弦定理．
∵,即为直角三角形,
则,得．
由勾股定理．
又,则,
．
15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(12分)的内角的对边分别为 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
【答案】(1)；(2)．
【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．
【试题分析】在第(Ⅰ)中，利用三角形内角和定理可知，将转化为角的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简，结合求出；②利用二倍角公式，化简，两边约去，求得，进而求得．在第(Ⅱ)中，利用(Ⅰ)中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．
(Ⅰ)
【基本解法1】
由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
【基本解法2】
由题设及，所以，又，所以，
(Ⅱ)由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
16．(2017年高考数学北京理科·第15题)在中, ,．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积．
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)根据正弦定理求的值;(Ⅱ)根据条件可知根据(Ⅰ)的结果求,再利用求解,最后利用三角形的面积．
解:(Ⅰ)在中,因为,
所以有正弦定理得．
(Ⅱ)因为,所以,
由余弦定理得,
解得或(舍)
所以的面积．
17．(2016高考数学浙江理科·第16题)(本题满分14分)在中，内角所对的边分别为．已知．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若的面积，求角的大小．
【答案】【命题意图】本题主要考查三角恒等变换、三角形内角和定理及正弦定理的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力．
解析：(Ⅰ)由正弦定理得，故
，于是．又，故，
所以或，因此(舍去)或，所以．
(Ⅱ)由得，故有，因为，得．
又，，所以．当时，；当时，．综上，或．
18．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)(本题满分为12分)的内角的对边分别为，已知
(= 1 \* ROMANI)求；
(= 2 \* ROMANII)若，的面积为，求的周长．
【答案】 (= 1 \* ROMANI)；(= 2 \* ROMANII)
【官方解答】(= 1 \* ROMANI)由已知及正弦定理得：
即 故 ∴
可得 ∴
(= 2 \* ROMANII)由已知得， 又所以
由已知及余定理得：，，从而
∴周长为．
【民间解答】(= 1 \* ROMANI)
由正弦定理得：
∵， ∴
∴， ∵ ∴
(= 2 \* ROMANII)由余弦定理得：，，
∴ ∴ ，
∴周长为
19．(2019·全国Ⅲ·理·第18题)的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1);(2)．
【官方解析】
(1)由题设及正弦定理得，
因为，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此．
(2)由题设及(1)知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，．由(1)知，
所以，故，从而．
因此面积的取值范围是．
【点评】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解)，最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题．
题型六：三角函数的建模应用
1．(2014高考数学湖北理科·第17题)某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系；
，．
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．
解析：(1)因为，又，所以，，当时，；当时，；于是在上取得最大值12，取得最小值8．
(2)依题意，当时实验室需要降温．由(1)得，所以，即，又，因此，即，故在10时至18时实验室需要降温．
2．(2019·上海·第19题)如图，为海岸线，为线段，弧BC为四分之一圆弧，，，，.
(1)求弧BC长度；
(2)若，求到海岸线的最短距离.(精确到)
【答案】(1)km；(2)35.752km
【解析】(1)依题意：，弧BC所在圆的半径
弧BC长度为：km
(2)根据正弦定理：，求得：，
∴
km