07向量在几何中的应用(向量与几何最值)-2024届高考数学重要模型专练(平面向量专题-全国通用)
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这是一份07向量在几何中的应用(向量与几何最值)-2024届高考数学重要模型专练(平面向量专题-全国通用),共23页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.如图,在四边形中,已知,,,点在边上,则的最小值为( )
A.B.C.D.
2.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知,P为弧AC上的一点,且,则的值为( )
A.B.
C.D.
3.如图,已知是半径为2,圆心角为的扇形,点分别在上,且,点是圆弧上的动点(包括端点),则的最小值为( )
A.B.C.D.
4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF,内部圆的圆心为该正六边形的中心О,圆О的半径为1,点P在圆О上运动,则的最小值为( )
A.-1B.-2C.1D.2
5.如图所示,△ABC是边长为8的等边三角形,P为AC边上的一个动点,EF是以B为圆心,3为半径的圆的直径,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.如图,2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”.在平面直角坐标系中,圆和外切也形成一个8字形状,若,为圆M上两点,B为两圆圆周上任一点(不同于点A,P),则的最大值为( ).
A.B.C.D.
7.圆的直径弦,点在弦上,则的最小值是( )
A.B.C.D.
8.如图,在矩形ABCD中,,E为边AB上的任意一点(包含端点),O为AC的中点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多选题
9.定义空间两个非零向量的一种运算:,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A.B.
C.若,则D.
10.如图,已知扇形OAB的半径为1,,点C、D分别为线段OA、OB上的动点,且,点E为上的任意一点,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为0B.的最小值为
C.的最大值为1D.的最小值为0
11.如图,在直角三角形中,,点在以为圆心且与边相切的圆上,则( )
A.点所在圆的半径为2B.点所在圆的半径为1
C.的最大值为14D.的最大值为16
三、填空题
12.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 .
13.设点P在单位圆的内接正八边形的边上,则的取值范围是 .
14.折扇又名“撒扇”、“纸扇”,是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子,如图1.其展开几何图是如图2的扇形,其中,,,点在上,则的最小值是 .
15.如图,在平面四边形中,,,,.若为线段中点,则 ;若为线段(含端点)上的动点,则的最小值为 .
16.如图,在△ABC中,,,,为的中点,在平面中,将线段绕点旋转得到线段.设为线段上的点,则的最小值为 .
17.如图,正方形ABCD的边长为2,P为CD边上的一个动点,则的取值范围是 .
四、解答题
18.如图,在中,,,为上一点,且满足,若的面积为.
(1)求的值;
(2)求的最小值.
19.如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形,其中正六边形边长为2.
(1)设,求的值;
(2)若点在边上运动(包括端点),则求的最大值.
20.如图,在中,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设点在以为圆心,为半径的圆弧上运动,且,其中. 求的最大值.
参考答案:
1.A
【分析】方法一:利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系,然后利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算律将问题转化为二次函数形式求向量数量积的最值;
方法二:利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系,然后建立平面直角坐标系,将问题转化为向量数量积的坐标表示,得出二次函数,最后利用二次函数性质求出向量数量积的最值即可;
方法三:同方法二一样,但是选择另外的边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,将问题转化为平面向量坐标形式求解即可;
【详解】解法一 由,,,
得,,
所以,,
.
设,则,所以
,
当且仅当时,取得最小值.
解法二: 由,,,
得,,
所以,,
,,
连接,交于点,则易知,
建立如图所示的平面直角坐标系,
则,,,,
所以.
设,
则,
所以,
,,
则
,
当且仅当时,取得最小值.
解法三 由,,,
得,,
所以,,
,,
如图,
分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系,
所以,.
因为点在边上,
所以设,
所以,,
所以
,
当且仅当时,取得最小值.
故选:A.
2.C
【分析】根据数量积的坐标运算即可求解.
【详解】如图所示,
以B为坐标原点,直线BC为x轴,过点B且垂直于BC的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则,,由,得,所以,,所以.
故选:C.
3.A
【分析】以为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,设,则,利用平面向量的坐标运算得,结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图,以为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系
则,设,则,
所以,
因为,所以,又,则,所以,当且仅当时,等号成立
则的最大值为,所以的最大值为,即的最小值为.
故选:A.
4.D
【分析】建立平面直角坐标系,设点,利用平面向量的数量积和三角函数的性质即可求解.
【详解】如图以为坐标原点,所在直线为轴,的垂直平分线所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设点,
由题意知,,,则,,
所以,当,即时取最小值,
故选:D.
5.C
【分析】利用已知条件,把用基底表示,再利用向量数量积公式可得,再根据的范围便可求出的取值范围.
【详解】如图可知,,,
因为是的中点,所以,
所以,
即,
所以,
由条件可得,,,
因为P为AC边上的一个动点,
故当P为AC中点时,最小,此时,
当P为A或C时,最大,,
所以,
所以,又因为,
所以.
故选:C.
6.C
【分析】先用待定系数法求出圆M的方程,进而得到,数形结合得到当与直线PA垂直的直线l和圆N相切,切点为B,且直线l的纵截距大于0时,最大,利用点到直线距离公式得到,结合向量投影求出最值.
【详解】根据题意可得,解得,,故圆M的方程为.
,
画图分析可知当与直线PA垂直的直线l和圆N相切,切点为B,且直线l的纵截距大于0时,最大.
直线的斜率为1,设l的方程为,由圆心到直线l的距离为,
解得或(舍去).
故l的方程为,其与直线PA:的交点坐标为,
所以,所以,
即的最大值为.
故选:C
【点睛】平面向量解决几何最值问题,通常有两种思路:
①形化,即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行求解;
②数化,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域,不等式的解集,方程有解等问题,然后利用函数,不等式,方程的有关知识进行求解.
7.D
【分析】根据平面向量的线性运算法则,得到,再由圆的性质,得到的最小值,即可得出结果.
【详解】由题意可得,
,
为使最小,只需,根据圆的性质可得,此时为中点时,
又,因此,
所以的最小值为.
故选:D.
8.A
【分析】法一:设,然后用,分别表示出,,从而由平面向量的数量积运算并结合的范围求得结果;
法二:以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设,然后求出,,从而由向量的坐标运算并结合m的范围求得结果.
【详解】法一:设,
因为O为AC的中点,所以,
所以.又,
所以,
因为,所以,
所以;
法二:以A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,
则,,,设,
所以,,所以.
因为,所以,
即.
故选:A.
9.BD
【分析】A选项,可举出反例,当不共线且为负数时,;B选项,根据定义得到B正确;C选项,根据题意得到共线;D选项,结合正弦函数的值域得到D正确.
【详解】对于A,,,
若不共线,且为负数,则,而,
此时,故A错误;
对于B,由定义知,,故B正确;
对于C,若,则,共线,故C错误;
对于D,由定义知,又,
故,当且仅当时,等号成立,故D正确.
故选:BD
10.BCD
【分析】以为原点建立如图所示的直角坐标系,得,,设,则,求出,利用的范围可判断A;
求出、的坐标,由,利用的范围可判断B;设,可得,求出、,由,利用 、、,的范围可判断CD.
【详解】
以为原点建立如图所示的直角坐标系,所以,,
设,则,,
,所以,
因为,所以,所以,
所以,的最小值为,故A错误;
,,
所以,
因为,所以,所以,
所以,,
的最小值为,故B正确;
设,又,所以,可得,
,,
所以
,其中,
又,所以,所以,,
,,所以,
的最小值为0,故CD正确.
故选:BCD.
11.AC
【分析】斜边BC上的高即为圆的半径;把求的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求的最大值,从而判断出P,M,A三点共线,且P,M在点A的两侧时取最大值.
【详解】设AB 的中点为M,过A作AH垂直BC于点H,因为,所以,,
所以由,得,所以圆的半径为2,即点所在圆的半径为2,所以选项A正确,B错误;
因为,,,
所以
,
所以当P,M,A三点共线,且P,M在点A的两侧时,取最大值,且最大值为,
所以的最大值为,所以选项C正确,D错误.
故选:AC.
12.2
【详解】
所以最大值为2
13.
【分析】根据正八边形的结构特征,分别以圆心为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,即可求出各顶点的坐标,设,再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到,然后利用即可解出.
【详解】以圆心为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示:
则,,设,于是,
因为,所以,故的取值范围是.
故答案为:.
14.
【分析】若为中点,由、,应用向量数量积的运算律化简得,根据位置关系求最小值.
【详解】如下图,,
若为中点,且,则,
则,
要使其最小,只需共线,
此时,由图知此时.
故答案为:.
15. /5.25
【分析】根据题意,建立平面直角坐标系,求出各点的坐标,结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出.
【详解】因为,,所以为等边三角形,
因为,,所以在和中,,,
则,得,,
因为在中,,则,得,又,所以,
以为原点,以 所在的直线为轴,以所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
,,,,,,
则;
设,,,
则,
因为,所以时,的最小值为.
故答案为:;.
16.
【分析】根据题意,,,利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】连接MD,则,,
所以,
由于为等腰直角三角形,为线段上的点,
所以
因此,
所以,即的最小值为.
故答案为:.
17.
【分析】以为原点,建立合适的直角坐标系,设,,计算出,根据二次函数的性质则得到其范围.
【详解】以为原点,,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则,设,其中,
则,
,
当时,有最小值3,
当或2时,有最大值为4,
的取值范围为.
故答案为:.
18.(1);(2)
【解析】(1)建立如图所示直角坐标系,设,,求出,的坐标,可知由,,三点共线,即,列方程即可求出的值;
(2)由(1)得,由面积可得,利用基本不等式可得最小值.
【详解】(1)建立如图所示直角坐标系,设,,
则,,
由得,
故,
由得,
所以,
因为,,三点共线,所以,
所以,
解得.
(2)由(1)得,
因为,
所以,
所以,
所以,当且仅当,时取得等号.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查三角形面积公式,属于中档题.
19.(1)-3
(2)12
【分析】(1)根据向量的加减法运算,可得答案;
(2)建立平面直角坐标系,求得相关各点坐标,表示出P点坐标,进而表示出,求得其模的表达式,结合二次函数的性质,求得答案.
【详解】(1)由题意得:两个正六边形全等, ,
则,
故由,可得 ;
(2)如图,以O为坐标原点,FC为x轴,OI为y轴建立平面直角坐标系,
则,则 ,
由于直线OD的方程为 ,故设P点坐标为 ,
则 ,
所以,
则,
由于,此时函数为增函数,
故当时,取到最大值为144,
所以的最大值为12.
20.(Ⅰ) ;(Ⅱ)1.
【分析】(I)建立坐标系,求出向量坐标,代入数量积公式计算;
(II)利用向量坐标运算,得到三角函数,根据三角函数求出最大值.
【详解】(Ⅰ)
.
(Ⅱ)建立如图所示的平面直角坐标系,则,.
设,,
由,
得.
所以.
所以,,
,
因为,.
所以,当,即时,的最大值为.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算,向量的坐标运算,正弦型函数的图象与性质,属于中档题.
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