04向量在几何中的应用（用向量证明线段垂直）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用

这是一份04向量在几何中的应用（用向量证明线段垂直）-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在中，若，则的形状是（ ）
A．为钝角的三角形
B．为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．为直角的直角三角形
2．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ）
A．B．C．13D．26
3．若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
4．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
5．若为所在平面内一点,且满足,,则的形状为
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
6．在中，分别是内角所对的边，若
（其中,且则的形状是
A．有一个角为的等腰三角形B．正三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
7．若分别为四边形所在边的中点，且，则四边形是（ ）
A．梯形B．菱形
C．矩形D．正方形
8．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
二、多选题
9．如图，的外心为O，三条高线交于一点H，与的延长线交于点I，与的延长线交于点J，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，其中，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，的面积最大D．当时，
11．在中，，，若是直角三角形，则k的值可以是（ ）
A．B．C．D．
12．点O在所在的平面内,则以下说法正确的有
A．若,则点O为的重心
B．若,则点O为的垂心
C．若,则点O为的外心
D．若,则点O为的内心
三、填空题
13．在四边形中，，则四边形的形状是 .
14．写出直线的一个法向量 ．
15．在中，若，则的形状是 三角形.
16．在三角形所在平面内有一点满足,则点是三角形的 .
四、解答题
17．如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.

18．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.
(1)用向量的方法证明；
(2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
19．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
20．如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
参考答案：
1．D
【分析】由条件求得，可得，故，由此可得的形状．
【详解】在中，，，
，则为直角三角形，
故选：D．
2．C
【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解.
【详解】∵，∴AC⊥BD，
所以四边形ABCD面积为：.
故选：C.
3．C
【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，同理证明即可求解.
【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，故是的内心.
故选：C.
4．C
【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可.
【详解】∵
.
∴，
∴是直角三角形.
故选：C.
5．C
【详解】,点M在底边BC的中垂线上，又,所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以ABC的形状为等腰三角形.
6．D
【详解】试题分析：在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵；
∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c；
∴延长AF交BC的中点于O，则：S△ABC＝，b=c；
∴；∴；∴；
∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形．
考点：平面向量数量积的运算
7．C
【分析】结合图像，由得，再由中位线定理可得，又易知四边形是平行四边形，故四边形是矩形.
【详解】根据题意，如图，得
因为，所以，则，
又分别为四边形所在边的中点，
所以，，故，
又由中位线定理易知，，，，，
所以， ，则四边形是平行四边形，
故四边形是矩形.
故选：C.
.
8．B
【分析】由已知平方可得，得出可判断.
【详解】，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
9．ABCD
【分析】利用四点共圆可得A的正误，过点B作圆O的切线，可证，从而可判断B的正误，同理可判断C的正误，利用向量的方法可得，，，据此可得，从而可证，故可判断D的正误.
【详解】如图，连接.
对于选项A，因为A，C，D，F四点共圆，故，选项A正确．
对于选项B，C，如图，过点B作圆O的切线，则．
因为，
所以与平行，故，选项B正确，同理选项C正确.
对于选项D，
因为，故，
而
，
故，
同理由可得，
由可得，
由可得，
由可得，
所以，
所以，
同理，
所以，故，
所以，
故即，因此，选项D正确．
故选：ABCD
10．ABC
【分析】利用条件及向量的加法运算可判断AC，利用数量积可判断BD.
【详解】∵，
∴即，
∴当时，，故A正确；
由可得，故B正确；
当时，，D与C重合，的面积最大，故C正确；
当时，，
∴
，故D错误.
故选：ABC.
11．BCD
【解析】由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.
【详解】若为直角，则即
解得
若为直角，则即
解得
若为直角，则，即
解得
综合可得，的值可能为
故选：
【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.
12．AC
【解析】逐项进行分析即可.
【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；
选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；
选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；
选项D，由得，
∴，即，
∴．同理可证，
∴，，，即点O是的垂心；
故选：AC．
【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．
13．矩形
【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行.
【详解】由可知,进而，
由可得且，所以四边形为矩形，
故答案为：矩形
14．答案不唯一
【分析】先求出直线的方向向量，利用法向量与方向向量垂直即可求解.
【详解】在直线 上取两个点（1,1），（2,3），
则向量 这条直线的一个方向向量，
设一个法向量为 ，则 ，令 则b=-1，
，
故答案为： （答案为不唯一）.
15．直角
【分析】根据向量运算法则将变形为即可求解
【详解】由，即，所以，三角形为直角三角形
故答案为：直角
【点睛】本题考查利用向量的基本运算判断三角形形状，属于基础题
16．垂心
【分析】根据向量运算,用表示出向量,可得,从而可得.
【详解】因为,,
所以
整理得,,即;
同理可得,.
所以可知为垂心.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算，三角形垂心的向量表示，考查转化化归思想.
17．证明见解析
【分析】根据平面向量的运算性质设，，转化求解，结合平面向量的数量积运算即可证明结论.
【详解】证明：如图，

设，，
则，，，，
∴，
∴，∴.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证；
（2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.
（方法一）由题意可知，设，则，
，，，
得，，
所以，
故，即.
（方法二）由题意可知，，，设，
则，得，
得，，
所以，
故，即.
（2）由题意得，则，
设，则，，
由（1）得，，
所以，
由，得，当，即时，.
故的最大值为.
19．证明见解析
【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【详解】∵·＝·＝2－2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
20．证明见解析
【分析】以为基底，表示，，结合向量的运算可知，进而证得结论.
【详解】
因为，所以，即，故.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的应用，证明垂直，解题的关键是以为基底，表示，，结合向量的运算可知，利用向量的数量积即可得证.