四川省内江市第六中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试题（创新班） 含答案

这是一份四川省内江市第六中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试题（创新班） 含答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
内江六中2021—2022学年（上）高23届第1次月考创新班理科数学试题考试时间：120分钟     满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分 60分）一、选择题（每题5分，共60分）1．过点且平行于的直线方程为（    ）A．   B．  C．  D．2．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，那么原平面图形的面积是（ ）A．2     B．    C．      D．3．下列命题中错误的是（    ）A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面C．如果平面平面，平面平面，，那么平面D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面4．已知直线与直线垂直，且与圆相切，切点位于第一象限，则直线的方程是（    ）．A．   B．   C．     D．5．已知圆柱中，点，，为底面圆周上的三点，为圆柱的母线，，，则点到平面的距离为（    ）A． B．1 C． D．6．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（    ）A． B． C．    D．7．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法错误的是（    ）A．              B．平面C．平面      D．与是异面直线8．关于x，y的方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1）（m∈R）表示的曲线不可能是（　　）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线9．如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（    ）A．              B．三棱锥的体积为定值C．      D．的最小值为10．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（    ） A．    B．      C．      D．11．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（    ）A．8 B． C． D．12．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．A． B． C． D．                 第Ⅱ卷 非选择题（满分 90分）二、填空题（每题5分，共20分）13．已知实数满足线性约束条件则目标函数的最大值是_______14．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．15．如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径折成直二面角（如图2）后发现，在半圆弧（不含、点）上运动时，三棱锥的外接球始终保持不变，若，，则该三棱锥外接球的表面积为______．16．如图，已知P为椭圆C：上的点，点A、B分别在直线与上，点O为坐标原点，四边形为平行四边形，若平行四边形四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．     三、解答题（共70分）17．（本小题满分10分）已知的三个顶点.（1）求过点A且垂直于的直线方程；（2）求过点B且与点A，C距离相等的直线方程.               18．（本小题满分12分）根据下列条件求圆的标准方程：（1）过两点，且它的圆心在直线上；（2）圆心在直线上，且与直线相切于点．          19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是矩形，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD；（1）求证：AF⊥平面BEG；（2）若，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值.              20．（本小题满分12分）已知的顶点，点B在x轴上移动，，且BC的中点在y轴上．（1）求C点的轨迹的方程；（2）已知轨迹上的不同两点M，N与的连线的斜率之和为4，求证：直线MN过定点．        21．（本小题满分12分）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.（1）求证：平面.（2）在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.            22．（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为，过椭圆的焦点且与轴垂直的弦的长为1.（1）求椭圆的方程；（2）如图，是椭圆的右焦点，，(不在轴上)是椭圆上关于轴对称的两点，直线交椭圆于另一点，若是外接圆的圆心，求的最小值。
             参考答案1．C设与直线平行的直线方程为，又由直线过点，代入可得，解得，即所求直线的方程为.2．B根据斜二测画法可得原图形为如图所示，因为是等腰直角三角形，根据斜二测画法可得为直角三角形，，，，所以原平面图形的面积是.故选：B.3．B4．A由题意，设直线的方程为．圆心到直线的距离为，得或（舍去），故直线的方程为．5．A如图所示，由题意知：平面，平面，∴平面平面，又面面，∴过点作，则平面，即为点到平面的距离，在△中，，故，故选：A 6．C抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，，．7．D对A，如图所示，连接，因为点为中点，所以，在正方体中易得，所以，故A正确；对B，如图所示，连接交于点，连接，与交于点，连接，在正方体中，易得，，所以四边形为平行四边形，则，又为中点，点在上，则易知点为的中心点，因为点为中点，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；对C，如图所示，连接，在正方体中，易知，所以平面，又平面，所以，又为，中点，则，又，所以，所以平面，故C正确；对D，如图所示，连接，易知：又，则，所以与共面，故D错误.8．C对于方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1），①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴；②当m＝0时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴；③当m≠1，且 m≠0时，方程即，若m＝m﹣1，即m∈∅时，方程不可能是圆；若m（m﹣1）＜0，方程表示双曲线；若m（m﹣1）＞0且m≠m﹣1，方程表示椭圆．综合可得：方程不可能是抛物线与圆．9．D由平面，可得，则由，可得平面又平面，则，所以A项命题正确；由于M，N分别为中点，可得∥因为点P在上，所以点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积由于和h都为定值所以三棱锥的体积为定值，所以B项命题正确；设，由对称性可得，则当P与C重合时，，此时，达到最小为，当交于P时，由等面积法可得，此时，达到最大为，所以C项命题正确；将平面与平面沿展成平面图，当交于P时，可得，此时为最小值，所以D项命题错误；故选D。【点睛】本题考查命题真假判断，空间几何体中直线与平面垂直，几何体的体积，以及余弦定理求夹角，以及夹角最值问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属于中档题。10．D设双曲线的方程为，则，因为AB＝BC＝CD，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入可得，解得，所以双曲线的离心率为.11．D由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，点在抛物线上，点为直线上的动点，设关于直线的对称点，作图如下，利用对称性质知：，则即点在位置时，的值最小，等于，利用两点之间距离知，则的最小值为12．B设正方体边长为，建立如图所示空间直角.则，设，则，由于使，，所以是平面的法向量，所以，由于，所以，，，所以，，由于，所以13．14．15．．由题意，如图，将半圆沿直径折成直二面角，设半圆的圆心为，可得半圆面，设外接球的球心为，则面，取的中点，则垂直平分，即为外接球的半径，且四边形为长方形，是直角三角形，所以半径，三棱锥的高不变，三棱锥外接球的半径，从而可得该三棱锥外接球的表面积．故答案为：．    16．（法一）设，则直线的方程为，直线方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，则，又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则．法二：设，由和中点相同，则，所以平行四边形性质边长平方和等于为定值，又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则．17．（1）；（2）或.18．（1）；（2）．19．（1）证明见解析；（2）.（1）因为且，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，所以平面；（2）据题意，建立空间直角坐标系如下图所示：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，设平面的一个法向量为，，由可得，取，所以，设直线与平面所成角大小为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.20．（1）；（2）证明见解析.（1）设，因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以，
由，得，
化简得，所以C点的轨迹的方程为．（2）证明：设直线MN的方程为，，，
由得，
所以，，，同理，
所以，所以，所以所以，所以，即，
所以直线MN过定点．21．（1）证明见解析；（2）存在，.（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，解得：，，，又，，即，又平面，平面.（2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为.设，则，.设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，，又平面的一个法向量为，，即，解得：或(舍去)，此时，在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为，此时.22．（1）；（2）最小值为.（1）由题知，，解得.由椭圆的对称性，不妨取椭圆的右焦点，将代入椭圆，得，所以过椭圆的焦点且与轴垂直的弦的长为，所以，又，所以，解得(负值舍去)，所以.所以椭圆的方程为.（2）由题知，直线的斜率不为0.设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去得.设，，则，，，所以，则线段的中点坐标为，.因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点.线段的垂直平分线的方程为，令，得，即.又，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.