提优点9　概率与数列(含马尔可夫链问题)

这是一份提优点9　概率与数列(含马尔可夫链问题)，共5页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。
1.(2023·华师大附中压轴卷)长江十年禁渔计划全面施行，渔民老张积极配合政府工作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资，并看中了两种为期60天(视作2个月)的稳健型(不会亏损)理财方案.
方案一：年化率2.4%，且有10%的可能只收回本金；
方案二：年化率3.0%，且有20%的可能只收回本金；
已知老张对每期的投资本金固定(都为10万元)，且第一次投资时选择了方案一，在每期结束后，老张不间断地进行下一期投资，并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资.
(1)设第i次投资(i＝1，2，3，…，n)选择方案一的概率为Pi，求P4；
(2)求一年后老张可获得总利润的期望(精确到1元).
注：若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资，则该次投资获利ω＝2.4%×eq \f(5,12)×1 000＝10元.
2.(2023·杭州一模)中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办.
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下：
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1.
①求P3，P4，并证明：eq \b\lc\{\rc\)(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(1,3)))为等比数列；
②比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小.
参考公式：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量.
参考数据：
3.(2023·惠州一模)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为eq \f(2,3)，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为eq \f(1,4)，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为eq \f(1,2)，如此往复.
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn.
证明：①eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(2,5)))为等比数列；
②当n≥2时，Pn≤eq \f(5,12).
二、创新拓展练
4.(2023·荆州统测)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1 000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6∶7∶8.
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
①求该同学有购买意向的概率；
②如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).
喜爱篮球
不喜爱篮球
合计
男生
65
35
100
女生
25
75
100
合计
90
110
200
α＝P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828