提优点9　概率与数列(含马尔可夫链问题)

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1.概率统计与数列的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年高考追逐的热点，主要是概率统计与数列的证明、求通项、求和等.
2.马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是X1，…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态是条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt).
【类型突破】
类型一 概率与数列
例1 (2023·青岛适考三)甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为eq \f(3,4)，eq \f(2,3).
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立.记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn＝aPn－1＋bPn－2＋cPn－3(n≥4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
规律方法 (1)证明数列的单调性关键是证明相邻两项的差为正数或负数，若数列为递推数列，则需注意寻找相邻项的关系.
(2)证明数列为等差、等比数列，关键是依据概率统计知识，得到数列的通项公式或递推式，利用等差、等比数列的的定义证明.
训练1 (2023·长春三监)国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为eq \f(2,3)，答对第二题的概率为eq \f(1,2)，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：
①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛；②若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学答对第一题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束.
(1)若随机变量Xn表示n名同学在第Xn轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答.令随机变量Yn表示n名挑战者在第Yn轮比赛结束.
①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；
②证明：E(Yn)单调递增，且小于3.
类型二 马尔可夫链模型
例2 (2023·茂名二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.求：
(1)X1的分布列；
(2)数列{an}的通项公式；
(3)Xn的期望.
规律方法 (1)马尔克夫链模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关；
(2)写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式，进而解决有关问题.
训练2 (2023·杭州二模改编)假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为A(A∈N*，A