专题8.1 马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023 年新高考I卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押题卷”挽回了一些颜面。
2023年新高考I卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教A版选择性必修三 P91 页 拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教A版选择性必修三 P49 页），可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。
基本原理
虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者
（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：
2023·新高考Ⅰ卷T21
乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
2019·全国Ⅰ卷
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
（1）求X的分布列.
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中， . 假设，.
①证明：为等比数列；
②求，并根据的值解释这种试验方案的合理性.
【解析】（1）X的所有可能取值为－1，0，1.
，，，
所以X的分布列为
（2）①证明 由（1）得，，.
因此，故，则.
又因为，所以为公比为4，首项为的等比数列.
② 由①得
.
由于，故，
所以.
表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
课本原题：人教A版数学《选择性必修三》P91
甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求次传球后球在甲手中的概率．
【解析】
记第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球后球在甲手中的概率为，
开始时球在甲手中，则．
若第次传球后球在甲手中，则第次传球后球不在甲手中，即第次传球后球在乙或丙手中，
所以第次传球后球不在甲手中的概率为，又乙或丙在第次把球传到甲手上的概率为，
于是有，即，，
于是数列是首项为，公比为得等比数列，
所以，所以.
重点题型·归类精讲
（2024届·武汉高三开学考）有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记为从第个箱子中取出黄球的概率.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）分第一次取出黄球和绿球两种情况，再由互斥事件概率加法公式计算可得答案；
（2）由题意可得，可得答案.
【详解】（1）从第二个箱子取出黄球的概率，
从第三个箱子取出黄球的概率；
（2）由题意可知，，
即，又，
.
2024届·山东省实验中学高三第一次诊断
某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
(1)求的值，并探究数列的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【答案】(1)，
(2)第二次，证明见解析
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，
（2）根据，即可对分奇偶性求解.
【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，，综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，
①直接写出的值；
②求与的关系式，并求.
【答案】(1)分布列见解析
(2)①，，；②；
【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求
再由数列知识，由递推公式求得通项公式.
【详解】（1）可能取值为，
；；
所以随机变量的分布列为
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为，
则有
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
即，
所以，且
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
2023届惠州一模
为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复.
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为
（Ⅰ）证明：为等比数列；（Ⅱ）证明：当时，.
【解析】（1）设“第1天选择米饭套餐”，“第2天选择米饭套餐”，则“第1天不选择米饭套餐”，于是，，，，，
由全概率公式；
（2）（Ⅰ）设“第天选择米饭套餐”，则，，
，，
，
所以，是以为首项，为公比的等比数列。
（Ⅱ），
当为大于1的奇数时，；
当为正偶数时，；
综上所述，当时，.
2023届佛山二模·16
有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 .
【答案】记事件表示从第个盒子中取出白球，则，，
，
，
，
，，，
是以为首项，为公比的等比数列，，
.
2023·唐山调研
甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲手中的概率为，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】表示第次传球后球在甲手中的概率，所以，A选项正确.
表示第次传球后球在甲手中的概率，则，B选项错误.
，即，C选项正确.
，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以所以，
，D选项错误.
2024届武汉高三九月调研T16
甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ； ．
【答案】 ，
【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，结合题意，利用列举法和分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：
①：甲甲甲甲，其概率为
②：甲甲乙甲，其概率为
③：甲乙甲甲，其概率为
④：甲乙丙甲，其概率为
所以投掷3次后，球在甲手中的概率为.
记当投掷次骰子后，球在甲手中的概率为，
再三次投掷后，即投掷次，球仍在甲手中的概率为，
则，即，即
又因为，
当时，；当时，；
当时，，
所以.
2024届·湖北荆荆恩高三9月起点联考·21
甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为.
(1)求；
(2)设，证明：；
(3)求的数学期望的值.
【答案】(1)，
(2)证明见解析，(3)2
【分析】（1）交换后甲盒有黑球，说明两个盒子相互交换个白球或者交换个黑球，若交换后甲盒有黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球；
（2）根据全概率公式进行求解；
（3）根据（2）的结论和期望公式进行求解即可.
【详解】（1）由题可知： ，
（2）次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知：


，
即
（3），
又 ，
即
2022年2月6日，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，；(2)①证明见解析；②
【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
（2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，满足.
【详解】（1）解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，X的分布列为：
期望．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：
期望．
（2）解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．
②由①可知，，，故．
2023·济南开学考
甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.
规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束.
（1）记两人抛掷骰子的总次数为，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；
（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率.
【解析】
（1）依题意，抛掷骰子一次获胜的概率，的可能值为1，2，3，4，
，，
，
所以的分布列为：
期望；
（2）设甲抛掷第次骰子且不获胜的事件的概率为，，
当时，，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，，当时，甲抛掷第次骰子且获胜的事件的概率为，显然当时，满足上式，所以甲恰好抛次骰子并获得胜利的概率为，.
2023届·杭州二模
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为元，赌博过程为如图所示的数轴．当赌徒手中有n元时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
（1）请直接写出与的数值；
（2）证明是一个等差数列，并写出公差；
（3）当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义.
【解答】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记事件“赌徒有n元是最后输光的”，事件“赌徒有n元下一场赢”，
由全概率公式，，即，
所以，所以是一个等差数列．
设，则，故，得.
（3）由，即，，当时，，当，，当时，，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会有100%的概率输光.
校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到。记开始传球的人为第 1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即.
（1）求；
（2）证明: 数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.
【解析】
（1）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故.
（2）第次触球为甲的概率为，
则当时，第次触球为甲的概率为，第次触球不是甲的概率为，
则，从而，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
，，，
，故第19次触球者是甲的概率大.
2023届·河北省衡水中学三调
学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为．
(1)求的值；
(2)证明：是等比数列；
(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．
【详解】（1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为；
1号传2号传4号其概率为；1号传3号传4号其概率为，
因此．
（2）解：依题意篮球传到第号，再传给号其概率为；
篮球传到第号，再传给号其概率为，因此有，
可得，且，
所以是首先为，公比为的等比数列．
（3）解：，，，，
，，
由累加法，可得
，
所以，，
所以号投篮命中的概率为
号投篮命中的概率为，
因为，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率
2023届·茂名一模
马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；(2)求数列的通项公式；(3)求的期望.
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)1
【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，进而求出.
【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
重庆市2023届高三下学期3月月度质量检测
篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院．1891年，春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（James Naismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练．现有甲、乙、丙3名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲手里的概率为pn，第n次传球之前球在乙手里的概率为qn，显然p1=1，q1=0．
(1)求p3＋2q3的值；
(2)比较p8，q8的大小．
【答案】(1)1(2)
【分析】（1）分析传球的过程，求出和，即可求出；（2）由题意知，即可得到，判断出成首项为，公比为的等比数列，求出，同理求出，可以比较出．
【详解】（1）第3次传球之前，球在甲手中的情形何分为：甲→乙→甲或甲→丙→甲
所以，第3次传球之前，球在乙手里的情形仅有：甲→丙→乙
所以，所以.
（2）（2）由题意知，整理得：
所以，，所以成首项为，公比为的等比数列，
又
同理成首项为，公比为的等比数列，
所以
因为，，，，所以
2023届·江苏省盐城中学高三三模
2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.
(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为，
①当时，请直接写出数学期望与的关系；
②求出关于的表达式.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)①；②.
【分析】（1）根据给定条件，求出的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）①按第次射出是空包弹和实弹求出对应的概率及空包弹数，进而求出即可；②利用构造法求出数列的通项公式作答.
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为
的数学期望，
显然，
两式相减得
，
所以.
（2）①第次射击后，包含两种情况：第次射出空包弹和第次射出实弹，
第次射击前，剩余空包弹的期望是，
若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为，
若第次射出实弹，则此时对应的概率为，此时空包弹的数量为，
所以.
②当时，弹巢中有发空包弹，即，
由，得，
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，而当时，满足上式，
所以.
X
－1
0
1
P
1
2
3
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
1
2
3
4
0
1
2
0
1
2
…
…