2023-2024学年北京市第五十五中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第五十五中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知数列是一个等差数列，，公差，则其首项（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求出.
【详解】∵，公差，
则.
故选：A.
2．下列求导数运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据初等函数的导数公式即可判断.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确；
故选：D.
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的方程求出的值，代入渐近线方程即可.
【详解】因为双曲线，所以,
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
4．某物体的位移（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是
A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒
【答案】B
【分析】根据导数的物理意义，求导后代入即可.
【详解】由得： 当时，
即该物体在时的瞬时速度为：米/秒
本题正确结果：
【点睛】本题考查导数的物理意义，属于基础题.
5．已知空间三点，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知求出，进而根据数量积以及模的坐标运算，即可求出答案.
【详解】由已知可得，，
所以.
又，
所以．
故选：C.
6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可.
【详解】因为，所以.
因为，所以.
因为，
所以.
故选：D.
7．设等比数列的的前项和是，则“”是“”的
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先化解，再根据公比范围以及不等式性质确定选项.
【详解】设等比数列的的公比为，则，所以，
即“”是“”的充要条件，选A.
【点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题.
8．2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（ ）
A．21寸B．20.5寸C．20寸D．19.5寸
【答案】A
【分析】由题意可得日影长可构成等差数列，且可求出，从而可求出大雪、寒露的日影长之和为.
【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，
所以日影长可构成等差数列，
因为冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5，
所以，则，得，
所以大雪、寒露的日影长之和为（寸），
故选：A
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线斜率小于零
B．函数在区间上单调递增
C．函数在处取得极大值
D．函数在区间内至多有两个零点
【答案】D
【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.
【详解】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A错误；在，故在区间上单调递减，故B错误，在的左右两侧，故不是极值点，故C错误，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D正确；
故选：D
10．如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．存在点，使
B．三棱锥的体积随动点变化而变化
C．直线与所成的角不可能等于
D．存在点，使平面
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量来表达出，，，从而判断AC选项；求出平面的法向量，判断与的关系，判断D选项；B选项可以判断出∥平面，从而得到到平面的距离不变，所以为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥的体积不随动点变化而变化，B选项错误.
【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，，，，，，因为为线段上运动，设（），则，，若，则（），则有，显然无解，故A错误；
因为∥AC，平面，平面，故∥平面，因为为线段上运动，故到平面的距离不变，所以为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥的体积不随动点变化而变化，B错误；
，设直线与所成角为，则，令，解得：，故当E为中点时，此时直线与所成的角为60°，故C错误；
设平面的法向量为，则，令得：，故，因为当时，即，故平面，故D正确.
故选：D
二、填空题
11．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品现在从这5名学生中随机抽取3人、则抽到的3人中有人喜欢甜品的概率为 ．
【答案】
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】名喜欢甜品的编号；名不喜欢甜品的编号，
从中任取人，基本事件有：，
，共个.
抽到的3人中有人喜欢甜品的事件有：，
，共个.
所以抽到的3人中有人喜欢甜品的概率为.
故答案为：
12．求直线与直线的夹角为 .
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：．
13．已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】利用椭圆定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到椭圆的离心率.
【详解】由题知，，解得，
，
由椭圆的定义知：，解得，
所以椭圆的离心率．
故答案为：．
14．已知点M（4，2），F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当|PM|+|PF|最小时，点P的坐标为 ．
【答案】（2，2）
【分析】设直线l为抛物线的准线，其方程为：x=-，过点P作PA⊥l，垂足为A点，则|PA|=|PF|，当三点A，P，M共线时，|PM|+|PF|取得最小值|AM|，进而得解．
【详解】如图所示，设直线l为抛物线的准线，其方程为：x=-，
过点P作PA⊥l，垂足为A点，则|PA|=|PF|，
∴当三点A，P，M共线时，
当|PM|+|PF|取得最小值|AM|，|AM|=4-（-）=．
把y=2代入抛物线方程可得：，解得x=2．
∴P（2，2）
故答案为（2，2）．
【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（图1）庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡， 前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶四面斜坡， 也称“四阿顶”；（图2）是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等， 已知，则
【答案】3
【分析】取的中点，连接，过点作面于点，过点作面于点；根据题意分析出点在直线上，然后根据即可求出的长.
【详解】取的中点，连接，
过点作面于点，过点作面于点，作于点，连接，
因为底面是矩形，所以，
又因为面，面，所以面，
又因为面，面面，
所以，
因为面，面都与底面所成的角相等，
所以点在直线上，且，，
根据三垂线定理可得，为面与面所成的角，为面与面所成的角，
所以，又为公共边，
所以，所以，
同理，
所以.
故答案为：3.
16．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，
给出下列四个结论：
①的最小值是4；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点，使得；
④△面积的最大值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值.
【详解】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确；
设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确；
为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误；
当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.
三、问答题
17．已知是公差为正数的等差数列，，且是与的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和；
(3)求的前n项和的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过计算等差数列的首项和公差，从而求得.
（2）利用等差数列前项和公式求得.
（3）根据二次函数的性质求得的最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由于是与的等比中项，
所以，
所以，
解得，
所以.
（2）由（1）得
（3）由（2）得，根据二次函数的性质可知，
当时，取得最小值.
四、解答题
18．如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在上是否存在一点E，使得与BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
(3)存在，使得与BP垂直，此时
【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
（3）利用向量法确定符合题意的点的位置.
【详解】（1）连接，由于分别是的中点，所以，
由于，所以，所以四点共面，
由于，所以四边形是平行四边形，
所以，由于平面，平面，
所以平面.
（2）若，所以在直三棱柱中，
可以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则.
直线与平面所成
（3），，
，
设上是否存在一点，使得与垂直，
设，
则，
则，
由，
解得，所以存在，使得与BP垂直，此时.
五、问答题
19．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小．
【答案】(1)
(2)∠PFQ＝90°
【分析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为．求出、．利用向量的数量积，转化求解即可．
【详解】（1）由题意得
解得a＝2，c＝1，
从而，
所以椭圆C的方程为．
（2）
当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），
则，，故，即∠PFQ＝90°．
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．
联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．
由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．
直线MA的方程为，
令x＝4，得，即，同理可得．
所以，．
因为
0，所以∠PFQ＝90°．
综上，∠PFQ＝90°．
六、证明题
20．已知函数，．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的最大值；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程；
（2）根据导数判断函数的单调性，进而可得最大值；
（3）若证，需证，分别计算函数与的最值.
【详解】（1）由，
得，所以曲线在处的切线方程：；
（2）由，可知：
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
所以当时，函数取得最大值是；
（3）由（1）知，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由（2）知，时，取得最大值，
故，
取最小值时与取最大值时值不同，故．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21．若数列满足：，且，则称为一个数列．对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列．
(1)若数列中，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个数列，为的伴随数列
①证明：“为常数列”是“为等比数列的充要条件；
②求的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明详见解析；②
【分析】（1）根据伴随数列的知识求得正确答案.
（2）①根据伴随数列、常数列、等比数列、充要条件等知识证得结论成立.
②对的取值进行分类讨论，利用放缩法求得正确答案.
【详解】（1）.
（2）①，充分性：若数列为常数列，
因为，所以，
所以，
又因为，所以伴随数列是以为首项，
以为公比的等比数列.
必要性：（反证法）假设数列是等比数列，而数列不是常数列.
所以数列中存在等于的项，设第一个等于零的项为，其中，
所以，得等比数列的公比为，
又，得等比数列的公比，与“的公比为”矛盾，
所以当数列是等比数列时，数列是常数列.
综上所述，“为常数列”是“为等比数列的充要条件.
②，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
所以或或，且，所以，
所以，
当时，.
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.