2023-2024学年北京市第五中学高一上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第五中学高一上学期11月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由子集的定义判断.
【详解】集合，，M中的所有元素都是N中的元素，可得.
故选：D
2．下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数特征逐一判断即可.
【详解】对于A，在和单调递减，不是定义域的减函数，故A错误；
对于B，定义域，又因为，所以在定义域内是奇函数，结合一次函数特征可知，为减函数，故B正确；
对于C，定义域，又因为，所以在定义域内是偶函数，故C错误；
对于D，定义域，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：B
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.
【详解】由，即.
故选：A
4．函数的零点必落在区间
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得，，，根据函数零点存在性定理可得出答案．
【详解】由题得，，
而，
根据函数零点存在性定理可得函数在区间上存在零点．
故答案为B.
【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．
5．已知实数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式性质可知A错误，利用特殊值代入可得BC不一定成立，根据不等式性质可证明D正确.
【详解】由题意可知，但不一定成立，即不一定成立，A错误；
不妨取，此时，即不一定成立，B错误；
当时，显然，此时不一定成立，C错误；
由可知，又，所以，即；即D正确.
故选：D
6．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＝4m，则m的值是（ ）
A．2B．－1
C．2或－1D．不存在
【答案】A
【分析】根据一元二次方程两个不相等的实数根有即可得m的范围，又由＝4m结合根与系数关系求参数m的值，由m范围确定最终值即可
【详解】由题知：且，解得m >－1且m ≠ 0
又由，
∴，解得m＝2或－1
综上，知：m＝2
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次函数的零点，利用一元二次方程根的个数并结合判别式、根与系数关系，列不等式组求参数范围，列方程求参数值，最后由范围确定最终参数值
7．若关于x的不等式 对于任意恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】变换得到，利用均值不等式计算，得到答案.
【详解】，即，，故，
则，，当且仅当，时等号成立，故.
故选：A
8．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
【答案】B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
9．“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ）
A．“存在a，，使得且”
B．“存在a，，使得且”
C．“存在，使得”
D．“存在，使得”
【答案】B
【分析】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项.
【详解】若函数在区间是增函数，
即任意，使得且，
则若函数在区间不是增函数，
即存在，使得且.
故选：B
10．如图，给定菱形ABCD，点P从A出发，沿在菱形的边上运动，运动到C停止，点P关于AC的对称点为Q，PQ与AC相交于点M，R为菱形ABCD边上的动点（不与P，Q重合），当时，面积的最大值为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分和两种情况讨论面积的最大值，然后根据解析式判断图象即可.
【详解】
连接交于点，
当时，点在点处时面积最大，此时，
当时，点在点处面积最大，此时，
且为定值，为定值，设，，
所以关于的函数为.
故选：C.
二、填空题
11．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】由对数函数的真数大于零和分式的分母不为零，列不等式组可得答案
【详解】解：由题意得
，解得或，
所以函数的定义域为，
故答案为：
12．计算： ．
【答案】/
【分析】根据对数运算法则计算即可.
【详解】.
故答案为：
13．已知函数是上是减函数，则a的取值范围
【答案】
【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值.
【详解】函数是上的减函数，
所以，
解得.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：分段函数在上是单调函数，除了保证在各段内单调性一致，还要注意在接口处单调.
三、双空题（新）
14．已知函数，则的值域是 ；若存在实数使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的值域即可求得的值域，由题意可得，由，进而可求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
所以函数的值域为，
因为存在实数使得，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：；.
四、填空题
15．已知函数，给出以下四个结论：
①存在实数a，函数无最小值；
②对任意实数a，函数都有零点；
③当时，函数在上单调递增；
④对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①，当时，，
的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.
②，由于，
当时，；当时，，
所以对任意实数a，函数都有零点，②正确.
③当时，，
，即函数在上不是单调递增函数，③错误.
④，当时，，
当时，，
画出的图象如下图所示，
由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，④正确.
综上所述，正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④
五、问答题
16．已知集合,,，其中．
(1)若；
(2)若，求的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别计算出集合、，再求出集合的补集，结合交集的运算即可得；
（2）结合并集的运算即可得.
【详解】（1）由，即，解得或，
即或，则，
由，则，解得，即，
则；
（2）由或，，
若，则，
即的取值集合为.
17．求关于x的不等式的解集.
【答案】答案见解析
【分析】分、、三种情况求解即可.
【详解】当时，原不等式为，该不等式的解集为.
当时，，原不等式可化为.
①若，则，原不等式的解集为或；
②若，则，原不等式的解集为或.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或.
六、证明题
18．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由解出，可确定函数的解析式；
（2）用定义证明函数的单调性；
（3）利用奇偶性和单调性解不等式.
【详解】（1）由题意，得，
∴（经检验符合题意），故．
（2）证明 任取，且，
则．
∵，∴，，．
又，∴．∴，即，
∴在上是增函数．
（3）由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数，
，∴，∴，
解得．∴不等式的解集为．
七、问答题
19．已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)若对于恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用对数函数的定义与性质结合复合函数的单调性求值域即可；
（2）利用复合函数的单调性求参数即可；
（3）利用对数函数的单调性，分离参数结合基本不等式计算即可.
【详解】（1）时，，
可知，
易知在上单调递增，在上单调递减，
又单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
即，故的值域为；
（2）易知定义域内单调递增，在上单调递减，
所以要满足题意需；
（3）由，，
整理得：时，恒成立，
易知，当且仅当时取得最大值，即.
故最小值为.
20．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（W/cm2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝dB）来度量，为了描述声强级D（dB）与声强I（W/cm2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:
现有以下三种函数模型供选择:，，.
(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:；
(3)已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由.
【答案】(1)，理由见解析，
(2)，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；
（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①处的值；由已知可得时，可得，进而可求出当时的值，进而求出②处的值；
（3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得，代入关系式，即可判断与的大小关系.
【详解】（1）选择.
由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是
同一个常数，所以不应该选择一次函数；
同时当自变量增加量为时，函数值的增加量从变为，后又缩小为，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；
故应选择.
由已知可得，即，解得，
所以解析式为.
（2）由（1）知，
令，可得，，故①处应填；
又当时，，
故②处应填.
（3）解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，
由已知，
故有，
所以，
因此，即，所以.
八、证明题
21．已知整数，集合，对于中的任意两个元素，，定义A与B之间的距离为．若且，则称是是中的一个等距序列．
(1)若，判断是否是中的一个等距序列？
(2)设A，B，C是中的等距序列，求证：为偶数；
(3)设是中的等距序列，且，，．求m的最小值．
【答案】(1)不是中的一个等距序列
(2)见解析
(3)7
【分析】（1）算出与验证不相等；
（2）结果为来讨论；
（3）分析从变成经过变换次数的规律，根据知道每次需要变换几个对应坐标.
【详解】（1）
所以不是中的一个等距序列
（2）设
把分别称作的第一个，第二个，第三个坐标，若则中有个对应坐标不相同，
例如当时，说明中有个对应坐标不相同，其中
就是符合的一种情况.
① 当得，所以是偶数
② 当，
则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，
所以中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.
③ 当
则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，
所以中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.
④ 当
则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，
所以中有个对应坐标不相同，即则，满足为偶数.
综上：A，B，C是中的等距序列，则为偶数
（3）根据第二问可得，则说明中有个对应坐标不相同
由变换到需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从变成经过奇数次变化，
所以从变到至少经过次变换，每个坐标变换5次，故的最小值为.
组别
1
2
3
4
5
6
7
声强I（W/cm2）
10-11
2×10-11
3×10-11
4×10-11
10-10
①
9×10-7
声强级D（dB）
10
13.01
14.77
16.02
20
40
②