2023-2024学年广东省惠州市龙门县高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省惠州市龙门县高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，若平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用法向量和平面内直线的方向向量之间的关系求解即可.
【详解】由得：
，
面的一个法向量为，
所以，
即，
解得，
所以，
故选：C．
2．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线方程确定直线斜率，由倾斜角与斜率的关系即可得倾斜角大小.
【详解】直线，即，
所以直线的斜率为，
又直线的倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为.
故选：D.
3．已知，，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．-2
【答案】C
【分析】利用向量垂直时数量积等于零，通过向量数量积的坐标表示建立方程求解即可.
【详解】因为，，又，
所以，
解得，
故选：
4．甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记甲乙两人通过考试分别为事件，则有，，所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通过的概率是多少．
【详解】记甲乙两人通过考试分别为事件，
则有，，
所求的事件可表示为，
．
故选：C．
5．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币次，事件必发生次
B．抛掷硬币次，事件不可能发生次
C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
6．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）．
A．只有2次出现反面B．至少2次出现正面
C．有2次或3次出现正面D．有2次或3次出现反面
【答案】D
【分析】根据对立事件定义判断．
【详解】连续抛掷一枚硬币3次，正面出现的次数有，因此事件“至少2次出现正面”的对立事件是“正面出现0次或1次”即“有2次或3次出现反面”，
故选：D．
7．已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理建立方程组求解即可.
【详解】依题意可知，
设向量在基底下的坐标为，
即，
则，
由空间向量基本定理得，
，解得，
故选：B．
8．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】
设直线的斜率为，倾斜角为，，
，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，
因为，所以.
故选：B.
二、多选题
9．若为空间的一个基底，则下列各项中不能构成基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BCD
【分析】由基底的定义即可逐一判断.
【详解】对于A选项：假设，，共面，则，
则，即共面，
又已知为空间的一个基底，故共面不成立，
所以假设不成立，即，，不共面，能构成基底，故A选项不符合题意；
对于B选项：因为，所以向量，，共面，
故不能构成基底，故B选项符合题意；
对于C选项：因为，所以向量，，共面，
故不能构成基底，故C选项符合题意；
对于D选项：因为，所以向量，，共面，
故不能构成基底，故D选项符合题意.
故选：BCD.
10．设、为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由互斥事件的定义可得，利用互斥事件的概率加法公式可判断A选项；利用并事件的概率公式可判断B选项；由积事件的概率公式可判断C选项；由并事件的概率公式和对立事件的概率公式可判断D选项.
【详解】因为、为两个互斥的事件，则，
则，，AC都对；
，B错；
，D对.
故选：ACD.
11．直线的方程为：，则（ ）
A．直线斜率必定存在
B．直线恒过定点
C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
D．时直线的倾斜角为
【答案】BC
【分析】当时，斜率不存在，即可判断A，直接求出直线l恒过的定点，即可判断B，时，直线，求出在轴，轴上截距，进而可求出直线l与两坐标轴围成的三角形面积，即可判断C，时，直线斜率为，可得倾斜角，即可判断D.
【详解】当时，直线，此时斜率不存在，故A错误；
直线，即，直线l恒过定点，故B正确；
时，直线，在轴，轴上截距分别为，此时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为，故C正确.
时，直线，此时斜率为，倾斜角为，故D错误；
故选：BC
12．如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是（ ）

A．异面直线与所成的角为
B．直线与平面所成的角为
C．平面与平面的夹角为
D．点到面的距离为
【答案】ABD
【分析】A选项，证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解；B选项，证明⊥平面，故可取为平面的法向量，利用线面角的向量求解公式进行求解；C选项，求出两平面的法向量，利用相关公式求出两平面夹角；D选项，利用点到平面的距离公式求出答案.
【详解】A选项，因为平面，平面，
所以，，
又四边形为正方形，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设直线与所成的角大小为，则，
故，A正确；
B选项，因为四边形为正方形，所以⊥，
又平面，平面，故，
因为，平面，
所以⊥平面，故可取为平面的法向量，
设直线与平面所成的角大小为，
则，
故直线与平面所成的角为，B正确；

C选项，设平面的法向量为，
则，令得，
故，
平面的法向量为，
故，
故平面与平面的夹角不为，C错误；
D选项，由C选项知，平面的法向量为，
故点到面的距离，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知，，则向量在向量上的投影向量是 ．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义直接计算求解．
【详解】向量在向量上的投影向量为，
故答案为：．
14．直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求得直线的倾斜角的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
又因为，
所以，.
故答案为：.
15．如图，由到的电路中有4个元件，分别为，，，，若，，，能正常工作的概率都是，记“到的电路是通路”，求 .
【答案】
【分析】由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】设“正常工作”，“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”
由于“到的电路是通路”等价于“正常工作”或“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”，即
，
由于事件互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，
可得
故答案为：
16．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.则这个二面角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据条件，将二面角的余弦值转化成两向量的夹角，再利用条件即可求出结果.
【详解】因为，，
设二面角为，
则由图知，，又，
则，
即，所以，
故答案为：.
四、解答题
17．已知向量，，，计算下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量模的运算即可得到答案；
（2）根据空间向量的夹角运算即可得到答案．
【详解】（1）由题意，，
则．
（2）由题意，．
18．已知直线，，分别求的取值范围，使得：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行关系可直接构造方程组求得结果；
（2）由垂直关系可直接构造方程求得结果.
【详解】（1）解：因为直线，满足，
所以，即，解得.
所以，当时，.
（2）解：因为直线，满足，
所以，解得.
所以，当时，.
19．已知三角形的三个顶点，，．
(1)求AC边所在直线的一般方程；
(2)求AC边上的高所在直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可；
（2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程.
【详解】（1）三角形的三个顶点，，．
则直线AC的方程为，
化为一般方程是；
（2）AC边所在直线的斜率为，
则有AC边上的高所在直线的斜率为，
所以AC边上的高所在直线的方程为，
即．
20．面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为:，求
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们能研制出疫苗的概率；
(3)至多有一个机构研制出疫苗的概率.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.
（3）利用互斥事件的加法公式、相互独立事件的乘法公式计算得解.
【详解】（1）“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件D，“B机构在一定时期研制出疫苗”为事件E，
“C机构在一定时期研制出疫苗”为事件F，显然事件相互独立，且，
都研制出疫苗的事件为，则,
所以他们都研制出疫苗的概率为.
（2）能研制出疫苗的事件为，其对立事件是都没有研制出疫苗的事件，
则，
所以他们能研制出疫苗的概率是.
（3）至多有一个机构研制出疫苗的事件为，则，
则
，
所以至多有一个机构研制出疫苗的概率是.
21．如图，在正方体中，E为的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求点D到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【分析】（1）由四边形为平行四边形证得，进而证得平面.
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量求点D到平面的距离.
【详解】（1）在正方体中，，且，
于是四边形为平行四边形，即，又平面，平面，
所以平面.
（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
点D到平面的距离，
所以点D到平面的距离为.
22．在正方体中，设，分别为棱，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，通过证明，证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，或用定义法求二面角的余弦值.
【详解】（1）连接交于，连接，，.

在正方体中，，，四边形是平行四边形，
所以，.
正方形中，，故是的中点，
所以，且，
在中，，分别是，的中点，
所以，且，
所以，且，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面.
（2）法一：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设正方体的棱长为2，故，，，，.
在正方体中，平面，故是平面的一个法向量.
设是平面的法向量，，，
故即
取，则
所以是平面的一个法向量.
故，
设二面角的大小为，
据图可知，，
所以二面角的余弦值为.
法二：取的中点，的中点，连接，，.

在正方体中，，，
又，分别是，的中点，故，，
四边形是平行四边形，所以，
又，，故，，
因为，平面，所以平面，
又平面，故.
在正方形中，，
在中，，分别是，的中点，故，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
不妨设正方体的棱长为2，
在中，，，
故，所以，
所以二面角的余弦值为.