2023-2024学年广东省惠州市龙门县高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省惠州市龙门县高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合关系即可判断.
【详解】因为，
所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用根式和分式有意义即可求解.
【详解】要使有意义，只需要，解得且，
所以的定义域为.
故选：D.
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用集合的并运算求集合.
【详解】由题设.
故选：D
4．已知，且，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，
故选：D
5．已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，不等式两边同时乘以，则，故B正确；
对于C，，
因为，所以，
所以，即，故C错误；
对于D，因为，
因为，所以，，，故D正确.
故选：C.
6．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出幂函数代入点的坐标待定，进而求值.
【详解】设幂函数，由已知幂函数的图象过点，
则，解得，
则，故.
故选：A.
7．关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D． 或
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解，即可求解.
【详解】由可得；
若，则不等式解集为空集；
若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为2、3，则；
若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为；所以；
综上或，
故选：A
8．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，
解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
二、多选题
9．下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应，
选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，
其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.
故选：ACD
10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，两函数的解析式不同，所以不是同一函数；
对于B，两函数的定义域都相同为，其次，所以是同一函数；
对于C，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数；
对于D，两函数的定义域相同都为，且解析式相同，所以是同一函数.
故选：BD
11．下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2B．若，的最小值为3
C．的最小值为2D．函数的最大值是0
【答案】BD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，当时，，故的最小值不是2，A错误，
对于B，，则，，
当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C，由于，而，当且仅当时取等号，但是无实数根，所以取不到等号，故C错误，
对于D，当时，，，故，因此，
当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：BD
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为B．的定义域为
C．，D．为偶函数
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式结合函数的定义域、值域和奇偶性逐一判断即可．
【详解】因为函数，所以函数的定义域为，值域为，故A错误，B正确；
因为或且0与1均为有理数，所以或，故C正确；
函数，故为偶函数，D正确．
故选：BCD
三、填空题
13．“，不等式”的否定是 .
【答案】.
【分析】根据存在量词命题的否定形式书写即可.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，“，不等式”的否定是
“.”
故答案为：“.”
14．设函数则 .
【答案】1
【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.
【详解】当时，，
则.
故答案为：1
15．已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则 .
【答案】1
【分析】根据偶函数的性质即可求得答案.
【详解】由题意是定义在R上的偶函数，且当时，，
则，
故答案为：1
16．函数的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】作出的图像，根据图像即可求出结果.
【详解】由，得到或，
函数的图像如图所示，
由图知，函数的单调递减区间为，
故答案为：.

四、解答题
17．设集合，.
(1)当时，求.
(2)若，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入相应集合，并结合交集与并集的概念即可求解.
（2）由题意，这里要注意对集合分两种情形讨论：集合为空集或者集合不为空集，然后相应去求解即可.
【详解】（1）当时, ,
又因为，
所以
（2）若,则分以下两种情形讨论：
情形一：当集合为空集时，有，
解不等式得.
情形二：当集合不为空集时，由以上情形以可知，此时首先有，其次若要保证，在数轴上画出集合如下图所示：

由图可知，解得；结合可知.
综合以上两种情形可知：m的取值范围为.
18．已知不等式的解集为或（其中）．
(1)求实数，的值；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据不等式与对应方程的根的关系求解；(2)分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可得的解集为或，
则且1和为方程的两个根．
则，解得．
（2）不等式化为，
转化为，即
所以，解集为．
19．已知二次函数，．
(1)求m的值；
(2)求在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，得对称轴列出方程，即可求解；
（2）根据二次函数的图象与性质即可求解.
【详解】（1）由二次函数，
因为，函数对称轴为，则，解得.
（2）由（1）知，图象开口向上，对称轴为，
则，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
故在区间上的最小值为.
20．已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)根据定义证明函数在区间上单调递增..
【答案】(1)为奇函数
(2)证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明；
（2）设，且，利用作差法证明
【详解】（1）函数在定义域内为奇函数
证明如下：由已知可得，函数的定义域
对于，则，
所以为奇函数.
（2），且，则
∵，且，
∴，，
∴即
所以在区间上单调递增.
21．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式并画出其图像；

(2)设函数在上的最大值为，求.
【答案】(1)；图象见解析；
(2)
【分析】（1）利用奇函数的定义即可求函数的解析式，并可以画出图象，
（2）对进行分类讨论，由图象即可求出函数的最大值．
【详解】（1）由是定义在上的奇函数，可得，
当时，，
那么，则，
所以
函数的解析式为，图象如下：

（2）由图象可知：
当时，在上单调递增，；
时，令，解得，
当时， ；
当时， .
所以.
22．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】（1）先由函数的奇偶性得到，然后由求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（3）将，转化为，利用单调性求解.
【详解】（1）由题意可得，解得
所以，经检验满足奇函数.
（2）设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数在上是增函数．
（3），
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为．