2023-2024学年四川省绵阳市南山中学实验学校高二上学期期末模拟数学试题（五）含答案

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1. 已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求解出的斜率，然后根据求解出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为，
所以且，
所以，
故选：C.
2. 已知椭圆C：焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于k的不等式求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得.
故选：A
3. 已知直线与直线间的距离为，则（ ）
A. 或B.
C. 或11D. 6或
【答案】A
【解析】
【分析】运用两条平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】直线可化为，
所以，解得或．
故选：A
4. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 7.5B. 8C. 8.5D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】计算得，然后由第8个数据和第9个数据求平均数可得.
【详解】因为，
所以第80百分位数是.
故选：C
5. 设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 圆
【答案】A
【解析】
【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹.
【详解】解：
设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，
圆与圆外切，与直线相切
，到直线的距离
，即动点到定点的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.
故选：A
6. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角；
【详解】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，所以，，
所以，
故选：A.
7. 当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A. B. 4C. D. －4
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线所过定点，根据与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，，求解即可.
【详解】因为圆的圆心为,半径，
又直线，化为，
则直线过定点，
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，
解得.
故选：.
8. 已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知.
【详解】设，
抛物线，则，
焦点恰好是的重心，
则，
故．
故选：A．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故D错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：设，
则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；
故选：BC
10. 直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况讨论，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得解.
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
依题意直线的斜率存在，
若直线过坐标原点，设直线为，即，则，解得，
所以直线的方程为或；
若直线不过坐标原点，设直线为（），即，
则，解得（舍去）或，
所以直线的方程为，
综上可得直线的方程为或或.
故选：ACD
11. 对于一个古典概型的样本空间和事件，若，则（ ）
A. 事件与事件互斥B.
C. 事件与事件相互独立D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件计算，判断B选项，再根据判断C选项，通过计算D选项，通过判断C选项.
【详解】因为，，，
所以，又，则，所以，B正确；
因为，所以事件与事件相互独立，C正确；
所以，D正确；
因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误.
故选：BCD
12. 已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为B. 直线一定过抛物线的焦点
C. 线段长的最小值为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A、B、D；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线与圆相交于两点，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再用直线与圆相交的弦长公式即得.
【详解】设圆心到直线的距离为，因为，所以.
故答案为：4.
14. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据勾股定理得到，确定，中，根据余弦定理得到，得到离心率.
【详解】不妨取为上顶点，如图所示：
则，设，则，则，
整理得到，，
中，根据余弦定理：，
整理得到，即.
故答案为：.
15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，离心率为，经过的直线与该椭圆相交于P，Q两点（其中点在P第一象限），且，若的周长为，则该椭圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，求得的周长与的周长之比为，得到的周长为10，结合椭圆的定义，得到， 结合，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的离心率为，可得
因为，所以，
又因为，因此的周长与的周长之比为，
因为的周长为，所以的周长为10，
由椭圆的定义，可得，
结合，解得，于是，
故椭圆的标准方程为．
故答案为：．

16. 已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在轴的上方），则______．
【答案】
【解析】
【分析】求出直线AB的方程及点A，B的横坐标，再利用抛物线定义计算作答.
【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为：，
直线AB的方程为：，由消去y并整理得：，解得，，
依题意，点A的横坐标，点B的横坐标，
由抛物线定义得：.
故答案为：
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17. 长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：

（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.
【答案】（1）平均分约为66.8；第71百分位数为75；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平均数定义计算出平均数，再判断出第71百分位数位于，设出未知数，得到方程，求出百分位数；
（2）求出第5组和第6组的人数，利用列举法求解概率.
【小问1详解】
，
所以本次考试成绩的平均分约为66.8；
因为成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
所以第71百分位数位于，
设其为，则，
解得，所以第71百分位数为75；
【小问2详解】
第5组的人数为：人，可记为，，，；
第6组的人数为：人，可记为，，；
则从中任取2人，有，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，共21种情况，
其中至少有1人成绩优秀的情况有，，，，，，
，，，，，，，，共15种情况.
所以至少有1人成绩优秀的概率.
18. 在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点
（1）用向量，，表示向量；
（2）求；
（3）求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算即可求解；
（2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可；
（3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解.
【小问1详解】
如图，

.
【小问2详解】
,
.
【小问3详解】
.
19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【答案】（1）派甲参赛赢得比赛的概率更大
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据对立事件概率公式进行求解即可.
【小问1详解】
设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
则表示“甲赢得比赛”， ，
表示“乙赢得比赛“，
因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．
【小问2详解】
设表示“甲赢得比赛”， 表示“乙赢得比赛”，
，，
因此“两人中至少有一个赢得比赛”的概率为
．
20. 已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于、两点，
（i）若，求直线的方程；
（ii）求弦最短时直线的方程.
【答案】（1）
（2）①或；②.
【解析】
【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果；
②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：①当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即.
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点．
（1）记平面交于点，求证：平面；
（2）是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点为线段上靠近点的三等分点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明平面，利用线面平行的性质可证得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）连接、、，推导出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：因为四边形为菱形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，则，
因为平面，平面，因此，平面.
【小问2详解】
解：连接、、，
因为为等边三角形，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为四边形是边长为的菱形，则，
又因为，则为等边三角形，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，
，
则，
取，则，，所以，，
由题意可得，
整理可得，即，因为，解得，
故当点为线段上靠近点的三等分点时，二面角的正弦值为.
22. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根据中点坐标设出点，再代入抛物线，求出的值即可；
（2）先设出直线与两点，联立后得到韦达定理，求出中点坐标，结合韦达定理求出直线中点到准线距离的最值，最后求出直线方程即可.
【小问1详解】
依题意得，焦点到准线的距离不大于3，所以，
设，由的中点坐标为，
得，解得，
因为在抛物线，所以
即，解得或（舍），
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
如图所示，

根据题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设中点，
由，
，
，
所以，
则
所以，
又因为的中点到准线的距离等于，
所以当最小时，的中点到准线的距离最短.
因为，
当且仅当时，解得，则.
所以直线的方程为或.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于理解中点到准线的距离的最小值本质上是中点纵坐标的最小值，然后应用均值不等式求最值即可.