四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试卷（一）(含答案)

这是一份四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试卷（一）(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、已知F是抛物线的焦点,P为抛物线C上一点.若,则点P的横坐标为( )
A.12B.16C.18D.19
3、为了进一步学习贯彻党的二十大精神,推进科普宣传教育,激发学生的学习热情,营造良好的学习氛围,不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解,某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：70,71,73,76,78,78,81,85,89,90,据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为( )
A.77B.78C.76D.80
4、如图,平行六面体中,E为中点.设,,,用基底表示向量,则( )
A.B.C.D.
5、已知,,是空间中三个不同的平面,m,n是空间中两条不同的直线,则下列结论错误的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,,则D.若,,则
6、直线与（其中,,）,在同一坐标系中的图象是图中的( )
A.B.
C.D.
7、设曲线上点到直线的距离为m,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8、已知,分别是椭圆的左､右两个焦点,若该椭圆上存在点P满足,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、方程表示曲线C,给出以下命题是真命题的有( )
A.曲线C可能为圆
B.若曲线C为双曲线,则或
C.若曲线C为椭圆,则
D.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则
10、以下命题中正确的是( )
A.若是直线l的方向向量,,则是平面的法向量
B.若,则直线平面CDE或平面CDE
C.A,B,C三点不共线,对平面ABC外任意一点O,若,则P,A,B,C四点共面
D.若是空间的一个基底,,则也是空间的一个基底
11、已知圆和圆的交点为A,B,直线与圆交于C,D两点,则下列结论正确的是( )
A.的取值范围是
B.圆上存在两点P和Q,使得
C.圆上的点到直线AB的最大距离为
D.若,则
12、如图,双曲线的左右焦点分别为和,点A、B分别在双曲线C的左、右两支上,O为坐标原点,且,则下列说法正确的有( )
A.双曲线C的离心率
B.若且,则C的渐近线方程为
C.若,则
D.若,则
三、填空题
13、甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛,假设比赛打满3局,赢得2局或3局者胜出,用计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2,3时,表示一局比赛甲获胜;否则,乙获胜.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组,产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为________________;
14、同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”,事件B表示“红色骰子的点数是偶数”,事件C表示“两枚骰子的点数相同”,事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.
①A与C互斥
②B与D对立
③A与D相互独立
④B与C相互独立
则上述说法中正确的为____________.
15、已知向量,,若与的夹角为钝角,则实数t的取值范围为_____________.
16、已知抛物线的焦点为F,,过点M作直线的垂线,垂足为Q,点P是抛物线C上的动点,则的最小值为____________.
四、解答题
17、已知直线l经过点,且与直线平行.
(1)求直线l的方程;
(2)已知圆C与y轴相切,直线l被圆C截得的弦长为,圆心在直线上,求圆C的方程.
18、2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众,调查他们每个月用在阅读上的时长,得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求x的值,并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数;
(2)用分层抽样的方法从,这两组观众中随机抽取6名观众,再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动,求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
19、已知F是抛物线的焦点,A是C上在第一象限的一点,点B在y轴上,轴,,.
(1)求C的方程;
(2)过F作斜率为k的直线与C交于M,N两点,的面积为（O为坐标原点）,求直线MN的方程.
20、作为世界乒坛本赛季收官战,首届WTT(世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛2021年12月7日在新加坡结束男女单打决赛的较量,国乒包揽双冠成为最大赢家.我市男子乒乓球队为备战下届市运会,在某训练基地进行封闭式训练,甲、乙两位队员进行对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为,乙发球甲赢的概率为,不同球的结果互不影响,已知某局甲先发球.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
21、如图,等腰梯形ABCD中,,,现以AC为折痕把折起,使点B到达点P的位置,且.
(1)证明：平面平面ACD;
(2)若M为PD上的一点,点P到平面ACM的距离为,求平面ACM与平面ACD夹角的余弦值.
22、已知椭圆过点,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知C的下顶点为A,不过A的直线l与C交于点E,F,线段EF的中点为G,若,试问直线l是否经过定点？若经过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
参考答案
1、答案：D
解析：直线方程可整理为,所以直线的斜率为,倾斜角为.
故选：D.
2、答案：C
解析：由抛物线,可得,所以准线方程为,
如图所示,设点其中,且
过点P作,垂足为A,
由抛物线的定义得,点P到抛物线的准线l的距离等于20,即,
所以,解得,即点P的横坐标为18.
故选：C.
3、答案：A
解析：因共10个数据,则,故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数,即.
故选：A.
4、答案：B
解析：.
故选：B.
5、答案：A
解析：对于A,如图,在长方体中,设平面为平面,平面为平面,
平面为平面,显然满足,但是平面与平面不平行,故A错误;
对于B,根据面面平行的传递性,若,则成立,故B正确;
对于C,若,则,又,所以,故C正确;
对于D,设直线m,n的方向向量分别为,若,,
则平面,的一个法向量分别为,且,所以,故D正确.
故选：A.
6、答案：B
解析：直线,即,且与y轴交于点,
直线,即,且与y轴交于点,
对于A：直线中,,直线中,,且,
则,所以的倾斜角大于的倾斜角,不符合题意,故A错误;
对于B：直线中,,直线中,,且,
则,所以的倾斜角大于的倾斜角,符合题意,故B正确;
对于C：直线中,,直线中,,矛盾,故C错误;
对于D：直线中,,直线中,,矛盾,故D错误;
故选：B.
7、答案：B
解析：曲线,其中,,即,,
曲线方程可化为, 其中,,即曲线的轨迹是一个半圆.
因为圆心到直线的距离,
故半圆上一点到直线的最小距离,
半圆上点到直线的距离最大,
则m的取值范围为,
故选：B.
8、答案：A
解析：由,分别是椭圆的左、右两个焦点,
则,当点P位于短轴端点时,取最大值,
要使C上存在点P满足,则的最大值大于或等于,
即点P位于短轴端点时,大于或等于,
则,解得.
故选：A.
9、答案：AB
解析：当,即时,方程为,为圆,A正确
当,即或时,方程为双曲型,B正确;
当,即且时,方程为椭圆,C错误;
当,即时,方程为焦点在x轴上的椭圆,D错误;
故选：AB.
10、答案：BCD
解析：对于A,当时,,显然不是平面的法向量,A错误;
对于B,由,得向量,,共面,即平面CDE,
因此直线平面CDE或平面CDE,B正确;
对于C,由,得,因此P,A,B,C四点共面,C正确;
对于D,由是空间的一个基底,得、、不共面,
若、、共面,则存在实数t,s,使得,即有,
于是、、共面与、、不共面矛盾,因此、、不共面,
所以也是空间的一个基底,D正确.
故选：BCD.
11、答案：AC
解析：A选项：圆的标准方程为,
圆心为,半径为,因为直线与圆交于C,D两点,
所以圆到直线l的距离为,即,解得,
所以的取值范围是,故A正确;
B选项：圆的标准方程为,
圆心,半径,根据两圆的方程有直线AB方程为,
圆到直线AB的距离为,所以,
圆上任意两点P,Q,,故B错误;
C选项：圆上的点到直线AB的距离的最大值为,故C正确;
D选项：因为,所以为等边三角形,
圆到直线CD的距离为,所以,
故或,故D错误.
故选：AC.
12、答案：ACD
解析：对于A,,两渐近线夹角小于,,
,A正确;
对于B,时,为等腰直角三角形,,
又点B在双曲线上,代入双曲线方程得即,,
渐近线方程为,B错误;
对于C,在双曲线上取B关于原点的对称点M,连接,,,.
,,
又,.
又,O为BM中点,,必有M,,A三点共线,
AO为角平分线,,C正确;
对于D,在AB上取一点N使得,,,
,,又,,
,,D正确.
故选：ACD.
13、答案：0.65
解析：由题意得甲获胜的情况有:423,123,423,114,332,152,342,
512,125,432,334,151,314,共13种,
所以估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：0.65.
14、答案：①④
解析：若表示(红,蓝)的点数组合,则所有可能组合有：
,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,.
事件A的组合有,,,共4种;
事件B的组合有,,,,,,,,,,,,,,,,,共18种;
事件C的组合有,,,,,共6种;
事件D的组合有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共27种;
事件AD的组合有,,,故;
事件BC的组合有,,故;
综上,A与C互斥,B与D不对立,,,,,
所以,.A与D不相互独立、B与C相互独立.
故答案为：①④.
15、答案：
解析：由;
由.
综上：且.
故答案为：.
16、答案：
解析：由得,
所以直线过点.
连接AM,则,由题意知点Q在以AM为直径的圆上,
设,所以点Q的轨迹方程为（不包含点）,
记圆的圆心为,过点Q,P,N分别作准线的垂线,垂足分别为B,D,S,连接DQ,
则,
当且仅当B,P,Q,N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立,所以的最小值为.
故答案为;
17、答案：(1)
(2).
解析：（1）因为直线l与直线平行,所以直线l的斜率为-1,
则直线l的方程为,
化简可得.
即直线l的方程为
（2）设圆C的方程为,则,
因为圆C与y轴相切,所以,
又圆心C到l的距离,所以,
即,
解得,.
故圆C的方程为.
18、答案：(1),平均数为65.2;
(2).
解析：（1）由频率分布直方图得：,解得,
阅读时长在区间,,,,内的频率分别为0.08,0.32,.40,0.16,0.04,
所以阅读时长的平均数.
（2）由频率分布直方图,得数据在,两组内的频率比为,
则在内抽取人,记为,在内抽取人,记为,,,
从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：
,,,,,,,,,
,,,,,共15个,
其中抽取的人都在内的有,,,,,共6个,
所以所抽取2人都在内的概率.
19、答案：(1)
(2)或.
解析：（1）由题知,,
由抛物线的定义知,,
,C的方程为.
（2）由（1）知,设,,
直线MN的方程为,代入,整理得,
由题易知,,,
,
O到直线MN的距离为,
,解得,
直线MN的方程为或.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）设甲发球甲赢为事件A,乙发球甲赢为事件B,该局打4个球甲赢为事件C,
由题知,,, ,
,
该局打4个球甲赢的概率为.
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D,乙赢为事件E,打5个球结束为事件F,易知D,E为互斥事件,
,,,
,
,
,
该局打5个球结束的概率为.
21、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：在梯形ABCD中,取AD中点N,连接CN,
,,四边形ABCN为平行四边形,,
,;
,,PA,平面PAC,平面PAC,
平面ACD,平面平面ACD.
（2）分别取中点,连接,
,为中点,,
又平面平面ACD,平面平面,平面PAC,
平面ACD,
O,G分别为AC,AD中点,,平面PAG,
则以O为坐标原点,,,正方向为x,y,z轴的正方向,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
,,,,,
设,
则,
设平面ACM的法向量,
则,
令,解得：,,;
点P到平面ACM的距离,解得：,;
平面轴,平面ACD的一个法向量,
,
所以,平面ACD与平面ACM夹角的余弦值为.
22、答案：(1)
(2)过定点,
解析：（1）依题意,得又,解得
所以椭圆方程为.
（2）因为,
所以,
又G为线段EF的中点,所以,因此.
根据题意可知直线l的斜率一定存在,设l的方程为,,
联立消去y,
得,
根据韦达定理可得,
因为,
所以
,
所以,
整理得,解得或.
又直线l不经过点,所以舍去,
于是直线l的方程为,恒过定点,该点在椭圆C内,满足,
所以直线l恒过定点,定点坐标为.