2022-2023学年四川省凉山州八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省凉山州八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下是有关环保的四个标志，从图形的整体看，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若凸n边形的每个外角都是36°，则此n边形对角线总条数是( )
A. 32B. 35C. 8D. 45
3.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A. ∠A=∠C
B. AD=CB
C. BE=DF
D. AD//BC
4.下列运算正确的是( )
A. 1a+1b=2a+bB. −a+ba−b=−1C. a÷b⋅1b=aD. ab=a−1b−1
5.要使(x2−x+5)(2x2−ax−4)展开式中不含x2项，则a的值等于( )
A. −6B. 6C. 14D. −14
6.若点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于x轴对称，则m+n的值是( )
A. −1B. −3C. 1D. 3
7.下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是( )
A. 12x+1B. x+1x2+1C. 3x+1x2D. x2−1x−1
8.如果x2−mx+16是一个完全平方式，则实数m的值是( )
A. 8B. ±4C. ±8D. 4
9.某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC( )
A. 三条边的垂直平分线的交点
B. 三个角的角平分线的交点
C. 三角形三条高的交点
D. 三角形三条中线的交点
10.如图，钝角△ABC中，∠2为钝角，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，则∠DAE与∠1、∠2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是( )
A. ∠DAE=∠2−∠1B. ∠DAE=∠2−∠12
C. ∠DAE=∠22−∠1D. ∠DAE=∠1+∠22
11.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A. 5
B. 7
C. 10
D. 3
12.将分式x+yx2+y2中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值( )
A. 扩大为原来的3倍B. 缩小为原来的13C. 不变D. 无法确定
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
13.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a−7|+(b−1)2=0，c为奇数，则c=______．
14.如果3a=5，3b=10，那么9a−b的值为______．
15.若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是______ ．
16.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是______．
17.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°°，∠C=25°，D是BC上一点，将Rt△CAB沿AD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠CDE等于______．
18.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为______
19.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
20.解方程：3x−1−x+3x2−1=0．
四、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
因式分解：
(1)a2(x−y)+16(y−x)；
(2)x2−y2+4y−4．
22.(本小题8分)
先化简，再求值：(1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1，再从1，−1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
23.(本小题8分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)在直线l上找一点P，使得△BPC的周长最小；
(3)求△A′B′C′的面积．
24.(本小题8分)
戴口罩可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．某学校在本学期开学初为九年级学生购买A、B两种口罩，经过市场调查，A的单价比B的单价少2元，花费450元购买A口罩和花费750元购买B口罩的个数相等．
(1)求A、B两种口罩的单价；
(2)若学校需购买两种口共500个，总费不超过2100元，求该校本次购买A种口罩最少有多少个？
25.(本小题8分)
先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是______；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是______；
知识拓展：
(3)根据上述规律，解关于y的方程y+y+2y+1=103．
26.(本小题8分)
如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．
求证：
(1)AD=BE；
(2)△CPQ为等边三角形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、此图案是轴对称图形，此选项符合题意；
C、此图案不是轴对称图形，不符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形的定义求解可得．
本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：360°÷36°=10，
对角线总条数为10×(10−3)2=10×72=35(条)，
故选：B．
首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数n，再求出此多边形的对角线的条数即可．
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．关键是熟悉n边形对角线的条数的规律．
3.【答案】B
【解析】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、在△ADF和△CBE中，∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB,
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
故A不符合题意；
B、在△ADF和△CBE中，AD=BC，AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故B符合题意；
C、在△ADF和△CBE中，AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
故C不符合题意；
D、∵AD/​/BC，
∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB,
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
故D不符合题意．
故选：B．
根据等式的性质由AE=CF可得AF=CE，然后利用全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．
本题考查全等三角形的判定，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、原式=bab+aab=a+bab，故此选项不符合题意；
B、原式=−(a−b)a−b=−1，故此选项符合题意；
C、原式=a⋅1b⋅1b=ab2，故此选项不符合题意；
D、ab≠a−1b−1，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据异分母分式加减法运算法则进行计算，判断A，根据分式的基本性质判断B，根据分式乘除法运算法则进行计算，判断C和D．
本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：(x2−x+5)(2x2−ax−4)
=2x4−ax3−4x2−2x3+ax2+4x+10x2−5ax−20
=2x4−(a+2)x3+(a+6)x2+(4−5a)x−20，
∵展开式中不含x2项，
∴a+6=0，
∴a=−6，
故选：A．
根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的二次项的系数为0即可．
本题考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确解答的前提，令x的二次项的系数为0是正确解答的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称点的特征是解本题的关键．
利用关于x轴对称点的特征确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
【解答】
解：∵点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于x轴对称，
∴1+m=−3，1−n=−2，
解得：m=−4，n=3，
则m+n=−1，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：A、当x=−12时，原分式没有意义，故此选项不符合题意；
B、∵无论x为何实数，x2≥0，∴x2+1恒大于等于1，∴无论x为何实数，原分式有意义，故此选项符合题意；
C、当x=0时，原分式没有意义，故此选项不符合题意；
D、当x=1时，原分式没有意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据分式有意义的条件结合偶次幂的非负性进行分析判断．
本题考查分式有意义的条件，理解偶次幂的非负性，掌握分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵x2−mx+16是一个完全平方式，
∴x2−mx+16=(x±4)2=x2±8x+16，
∴m=±8．
故选：C．
由完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，即可求解．
本题考查完全平方式，关键是掌握完全平方公式．
9.【答案】A
【解析】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该安装在△ABC三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10.【答案】B
【解析】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°，
∴∠DAC=90°−∠1，
∵∠BAC+∠2+∠1=180°，
∴∠BAC=180°−∠1−∠2，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC=12(180°−∠1−∠2)，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=90°−∠1−12(180°−∠1−∠2)=∠2−∠12，
故选：B．
由直角三角形的性质可得∠DAC=90°−∠1，利用三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得∠CAE=12∠BAC=12(180°−∠1−∠2)，再根据∠DAE=∠DAC−∠CAE可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的中线，高线，角平分线，求解∠DAC，∠CAE的度数是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：作EF⊥BC于F，
因为BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
所以EF=DE=2，
所以△BCE的面积=12BC·EF=5．
故选：A．
作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE=2，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：将分式x+yx2+y2中x与y的值同时扩大为原来的3倍得：
3x+3y(3x)2+(3y)2=3(x+y)9(x2+y2)=x+yx2+y2×13，
故选：B．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
13.【答案】7
【解析】解：∵a，b满足|a−7|+(b−1)2=0，
∴a−7=0，b−1=0，
解得a=7，b=1，
∵7−1=6，7+1=8，
∴6又∵c为奇数，
∴c=7．
故答案为：7．
根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
本题考查三角形三边的关系，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，熟练掌握三角形三边的关系．
14.【答案】14
【解析】解：∵3n=5，3b=10，
∴9a−b=(3a−b)2=(3a÷3b)2=(12)2=14，
故答案为：14．
利用同底数幂的除法法则进行计算即可．
此题主要考查了同底数幂的除法，关键是掌握am÷an=am−n(a≠0,m,n是正整数，m>n)．
15.【答案】x>−2且x≠1
【解析】解：原式=x+2(x−1)2，
∴x+2>0且x≠1，
∴x>−2且x≠1．
故答案为：x>−2且x≠1．
由分式的分母不等于0，得到x+2>0且x≠1，即可得到答案．
本题考查分式，关键是注意分式的分母不等于0．
16.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为(n−2)×180°解答．
根据内角和定理180°⋅(n−2)即可求得．
【解答】
解：∵多边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，
∴(n−2)×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
17.【答案】40°
【解析】解：∵∠C=25°，∠CAB=90°，
∴∠B=65°，
由题意可知：∠AED=∠B=65°，
∴∠CDE=∠AED−∠C=40°
故答案为：40°
根据轴对称的性质以及三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形的内角和定理，本题属于基础题型．
18.【答案】360°
【解析】解：如图，
∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为：360°．
根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
19.【答案】15
【解析】【分析】
本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，故有PM=P1M，PN=P2N，再利用三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：∵P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，
∴PM=P1M，PN=P2N.
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．
故答案为15．
20.【答案】解：方程的两边同乘(x−1)(x+1)，得
3x+3−x−3=0，
解得x=0．
检验：把x=0代入(x−1)(x+1)=−1≠0．
∴原方程的解为：x=0．
【解析】观察可得最简公分母是(x−1)(x+1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程和不等式组的解法，注：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．(3)不等式组的解集的四种解法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
21.【答案】解：(1)a2(x−y)+16(y−x)
=a2(x−y)−16(x−y)
=(x−y)(a2−16)
=(x−y)(a+4)(a−4)；
(2)x2−y2+4y−4
=x2−(y2−4y+4)
=x2−(y−2)2
=(x+y−2)(x−y+2)．
【解析】(1)先提取公因式(x−y)，再利用平方差公式继续分解；
(2)先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止
22.【答案】解：(1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1
=2x+1⋅(x+1)22(x−1)
=x+1x−1，
∵x+1≠0，x2+2x+1≠0，2x−2≠0，
解得：x≠−1，x≠1，
∴当x=2时，
原式=2+12−1
=3．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式的中分母不能为0，从而选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；

(2)如图，点P即为所求；

(3)△A′B′C′的面积=3×4−12×1×2−12×3×2−12×4×2=4．
【解析】(1)根据轴对称的性质即可在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)连接B′C交直线l一点P，即可使得△BPC的周长最小；
(3)根据网格利用割补法即可求△A′B′C′的面积．
本题考查了作图−轴对称变换，勾股定理，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
24.【答案】解：(1)设A种口罩的单价为x元，则B种口罩的单价为(x+2)元，
由题意得：450x=750x+2，
解得：x=3，
经检验，x=3是原方程的解，且符合题意，
则x+2=5，
答：A种口罩的单价是3元，B种口罩的单价是5元．
(2)设购买A种口罩m个，则购买B种口罩(500−m)个，
依题意得：3m+5(500−m)≤2100，
解得：m≥200．
答：该校本次购买A种口罩最少有200个．
【解析】(1)设A种口罩的单价为x元，则B种口罩的单价为(x+2)元，由题意：花费450元购买A口罩和花费750元购买B口罩的个数相等．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买A种口罩m个，则购买B种口罩(500−m)个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】x1=5，x2=15 x1=a，x2=1a
【解析】解：(1)根据题意得：x1=5，x2=15；
故答案为：x1=5，x2=15；
(2)根据题意得：x1=a，x2=1a；
故答案为：x1=a，x2=1a；
(3)方程变形为y+1+1y+1=3+13，
∴y+1=3或y+1=13，
解得：y1=2，y2=−23．
(1)观察上述方程的解的特点确定出所求方程的解即可；
(2)观察上述方程的解的特点确定出所求方程的解即可；
(3)方程变形后，利用得出的规律确定出方程的解即可．
此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
26.【答案】证明：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
(2)∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°−60°−60°=60°，
∴∠ACP=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP=∠BCQ，∠CAP=∠CBQ，AC=BC，
∴△ACP≌△BCQ(AAS)，
∴AP=BQ，CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形．
【解析】(1)根据全等三角形的判定和性质证明即可；
(2)根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可．
本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．