福建省龙岩第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题（含答案）

龙岩一中2022-2023学年第一次月考

高一数学试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）．

A．1    B．2    C．3    D．4

2．已知命题，，则为（    ）．

A．，    B．，

C．，    D．，

3．若，则下列结论一定成立的是（    ）．

A．   B．   C．   D．

4．函数的图象大致是（    ）．

A．B．C．D．

5．“”的一个必要不充分条件是（    ）．

A．   B．   C．   D．

6．若，则有（    ）．

A．最小值   B．最小值   C．最大值   D．最大值

7．对于函数，下列说法正确的是（    ）．

A．若，，则函数的最小值为

B．若，，则函数的单调递增区间

C．若，，则函数是奇函数

D．若，，则函数是单调函数

8．已知函数．若，则实数m的取值范围是（    ）．

A．      B．

C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）．

A．     B．

C．       D．

10．下列四个命题中的假命题为（    ）．

A．，

B．所有素数都是奇数

C．“为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件

D．命题，命题，则p是q的充分不必要条件

11．下列对应中是函数的是（    ）．

A．，其中，，

B．，其中，，

C．，其中y为不大于x的最大整数，，

D．，其中，，

12．对于定义在D函数若满足：

①对任意的，；

②对任意的，存在，使得．

则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（    ）．

A．    B．

C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．如果不等式的解集，则a的取值范围是_________．

14．已知集合，，则______．

15．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________．

16．设表示不大于x的最大整数，则下列说法不正确的是______．

①   ②

③  ④的解集是

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知集合，集合．

（1）求，；

（2）求的所有子集，并求出它的非空真子集的个数．

18．（本小题满分12分）

已知函数（其中）．

（1）当时，解关于x的不等式；

（2）若的解集为R，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）用单调性定义证明在上单调递减，并求出其最大值与最小值；

（2）若在上的最大值为m，且，求的最小值．

20．（本小题满分12分）

某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元．（注：利润＝销售收入－生产投入－促销费用）

（1）将y表示为x的函数；

（2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？

21．（本小题满分12分）

已知是定义在R上的函数，且，时，．

（1）求函数的解析式；

（2）设，且在R上单调递减，求m的取值范围．

22．（本小题满分12分）

定义函数与在区间I上是同步的：对，都有不等式恒成立．

（1）函数与在区间上同步，求实数b的取值范围；

（2）设，函数与在以a，b为端点的开区间上同步，求的最大值．

龙岩一中2022-2023学年第一次月考高一数学试题

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．AC  10．BCD 11．AC  12．ABC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．  14．  15．．8   16．①③④

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

（1）解得，

所以；． 5分

（2）的子集为，，，，非空真子集有2个．  10分

18．（本小题满分12分）

（1）当时，由得，

，解得，  4分

所以不等式的解集为． （5分）

（2）依题意恒成立，

即恒成立， （6分）

当时，不恒成立，不符合题意． 7分

当，不恒成立，不符合题意．  8分

当时，要使恒成立，

则需，，  10分

，解得． 12分

所以a的取值范围是． 12分

19．（本小题满分12分）

（1）解：设，是区间上的任意两个实数，且，

则  1分

  3分

因为，且，所以，，

所以，即，

所以函数在上单调递减， 4分

所以，．  6分

（2）解：由（1）知在上的最大值为，

所以，

所以，

因为，，所以，，

所以， 10分

当且仅当，且，即，时等号成立，

所以的最小值为3．  12分

20．（本小题满分12分）

（1）由题意知当时，，代入

则，解得，．  2分

利润， 4分

又因为，

所以，． 6分

（2）由（1）知，  8分

因为时，，

因为，当且仅当时等号成立． 10分

所以， 

故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元． 12分

21．（本小题满分12分）

（1）由题意，任取，则，故有，

因为是定义在R上的函数，且，

即函数是定义在R上的奇函数， 2分

∴时，，

又时，，即， 4分

所以．  6分

（2）当时，，在单调递减， 7分

又当时，，且在R上单调递减，  8分

所以， 10分

解得，

即m的取值范围为．  12分

22．（本小题满分12分）

因为，且，

故， 2分

所以恒成立，即，故． 4分

（2）①当时，∵和在上是同步的，

∴，在上恒成立，

即，，恒成立，

∵，∴，，

∴，，∴，

∴  6分

②当时，

∵和在上是同步的，

∴，在上恒成立，

即，，恒成立，

∵，∴，，

∴，，∴，

∴，∴． 8分

③当时，∵和在上是同步的，

∴，在上恒成立，

即，，恒成立，

∵，而时，，不符合题意．  10分

④当时，由题意，，恒成立，

∴，∴，∴，

综上可知的最大值为．  12分