2023-2024学年上海市虹口区虹口高级中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市虹口区虹口高级中学高一上学期期中数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，集合，则 .
【答案】
【分析】应用集合的交运算求结果.
【详解】由题设.
故答案为：
2．如果，那么”是 命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】直接根据不等式的性质即可得出结论.
【详解】解：因为，则，
所以，
所以如果，那么”是真命题.
故答案为：真.
3．已知，则实数 .
【答案】
【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可.
【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性；
当时，由上不符合，而时，此时集合为.
综上，.
故答案为：
4．已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ；
【答案】
【分析】根据充分、必要条件分析可知：是的真子集，结合包含关系分析求解.
【详解】由题意可知：是的真子集，
则且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
5．对数表达式中的的取值范围是
【答案】
【分析】根据对数的定义可得，解不等式组即可求解.
【详解】由题意可得，解得且，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查了对数式的定义，对数的底数大于零且不等于 、真数大于零，属于基础题.
6．若正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为16.
故答案为：16
7．用反证法证明“，若，则”时，应先假设 ．
【答案】或，
【分析】根据结论否定即可求解.
【详解】用反证法证明时，需要先假设所证命题的否定，由于的否定为或，
故答案为：或，
8．已知集合，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解一元二次不等式得到，利用并集结果得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】或，
因为，所以，解得，
实数的取值范围是.
故答案为：
9．已知，，则 （用，表示）
【答案】
【分析】先得到，利用换底公式、对数运算等知识求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
，
所以.
故答案为：
10．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为 .
【答案】
【解析】根据、是关于的方程的两个实数根，由，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.
【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，
所以，解得 ，
所以，
则 ，
，
，
，
所以的最小值为，
故答案为：
11．若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则 .
【答案】
【解析】先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果.
【详解】由得或，
方程的判别式为，
方程的判别式为，
显然，
又集合中有且只有3个元素，
所以方程和共三个根，
且只能方程有两个根，方程有一个根；
即，即；
所以方程可化为，解得或，
方程可化为，解得，
则，
又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以，
解得，
则，因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.
12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为 ．（填写序号）
①②
③④
【答案】①③
【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项.
【详解】由题意可知，
由 可知 ，即，
所以；在中，，即
当时，点重合， ，此时，所以①正确；
在中，可得即，
所以，
由于，所以，
当时，,此时，所以③正确；
由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明，
故答案为：①③．
二、单选题
13．如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对于ABC：取特值代入验证即可；对于D：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A、B：例如，满足，但，故A、B错误；
对于选项C：若，则，故C错误；
对于选项D：因为，且，所以，故D正确；
故选：D.
14．若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．、是奇数且B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且D．、是偶数，且
【答案】C
【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果.
【详解】将分数指数式化为根式，，
由定义域为，值域为知为奇数，为偶数，故排除A、D，
又由幂函数，当时，图像在第一象限的部分下凸，
当时，图像在第一象限的部分上凸.
故选：C
【点睛】本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题.
15．若，下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．
【详解】由，，，，知：
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故错误；
对于，，故错误．
故选：．
16．已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A．不存在有序数组，使得
B．存在唯一有序数组，使得
C．有且只有两组有序数组，使得
D．存在无穷多组有序数组，使得
【答案】D
【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．
【详解】由题意不等式的解集为，
即的解集是，
则不等式的解是或，不等式的解集是，
设，，，
所以，，
和是方程的两根，
则，，
又，
所以是的一根，
所以存在无数对，使得．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．
三、解答题
17．若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】首先分和两种情况讨论，利用函数图象的特征列出式子求得结果．
【详解】当时，恒成立，
当时，利用二次函数图象知，则
解得，
所以实数a的取值范围是．
【点晴】思路点睛：解题时一定注意对的分类讨论，不能忘记的情况，同时，要结合二次函数图象及方程根的情况，应该开口向下，判别式小于零，列出满足的条件求解．
18．（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析.
【解析】（1）利用反证法即可证明.
（2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
【详解】（1）证明：假设，，，
则，这与矛盾，
所以a，b，c中至少有一个小于.
（2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于，
反之不一定成立，例如：，，，则，
所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件.
【点睛】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题.
19．已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
【解析】不等式选讲.
20．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．
(1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【答案】(1)长为，宽为
(2)长为，宽为
【分析】（1）先求得每间虎笼面积的表达式，然后利用基本不等式求得最大值.
（2）先求得钢筋网总长的表达式，然后利用基本不等式求得最小值.
【详解】（1）设长为，宽为，则，
所以，
当且仅当时等号成立，
即长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大.
（2）设长为，宽为，则，
所以，
当且仅当时等号成立，
即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.
21．已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}
【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.
【详解】（1）当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或}；
当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝{x|（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．
因为＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，
所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，
此时A＝{x|－4