2023-2024学年辽宁省辽东教学共同体高一上学期期中联合考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省辽东教学共同体高一上学期期中联合考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】集合，，
所以，
故选：A
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得.
【详解】因为函数的定义域为,
所以要使有意义,
只需 ,解得:或,
所以函数的定义域为.
故选C.
【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题.
3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题可得恒成立，由即可求出.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
4．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】首先，一次函数和都是递增函数，当时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.
【详解】当时，函数单调递增
所以，解得
当时，是单调递增函数，
所以，
当时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，
所以，
解之得：，
综上所述：实数a的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：已知分段函数的单调性求参数的范围，要注意除了各分支函数的单调性之外，还要注意分段点处的函数值的大小比较.
5．当时，函数和的图像只可能是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由一次函数的图像判断出a、b的符号，结合指数函数的图像一一进行判断可得答案.
【详解】解：A项，由一次函数的图像可知此时函数为减函数，故A项正确；
B项，由一次函数的图像可知此时函数为增函数，故B项错误；
C项，由一次函数的图像可知，此时函数为的直线，故C项错误；
D项，由一次函数的图像可知，，此时函数为增函数，故D项错误；
故选A.
【点睛】本题主要考查指数函数的图像特征，相对简单，由直线得出a、b的范围对指数函数进行判断是解题的关键.
6．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由偶函数的性质可得，函数在上单调递减，结合函数性质解不等式即可.
【详解】因为为的偶函数，又，在上单调递增，
所以，函数在上单调递减，
所以当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又当或或时，，
所以的解集为，
故选：A.
7．若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】的零点即方程的根，设，则，先解方程的根t，再根据图像数形结合的解的个数即可.
【详解】函数，的零点即的根，
设，则，先解方程的根t，再计算的解.
时得；时得.
如图所示，函数的图像，

方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，故的零点有4个.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.
8．已知函数，若对所有，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，由此可令，判断其单调性和奇偶性，进而将不等式化为得到，结合恒成立问题以及一次函数性质，即可求得答案.
【详解】由可得，
令，满足，
即为奇函数，且为单调递减函数，
由可得，
即，即，
对所有，都有成立，
即对所有，都有成立，即，
故需满足或 ，解得或，
故实数的取值范围是，
故选：A.
二、多选题
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．若，则“”是“x，y至少有一个大于1”的充分不必要条件
B．
C．的充要条件是
D．命题“”的否定形式是“”
【答案】AD
【分析】根据充分与必要条件的性质，结合全称与特称命题的性质与否定判断即可.
【详解】对A，“”可以推出“x，y至少有一个大于1”，但“x，y至少有一个大于1”不能推出“”故A正确；
对B，当时，，故B错误；
对C，当时，满足，但不成立，故C错误；
对D，由含有一个量词的否定可得D是正确的.
故选：AD
10．若，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，
由，得，
所以，且，
即，．
故选：AB
11．关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上是增函数D．的图象关于原点对称
【答案】ABD
【分析】由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断A；化简，讨论，，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断B；由，可判断C；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断D；
【详解】对于A，由，解得且，
可得函数的定义域为，故A正确；
对于B，由A可得，即，
当可得，
当可得，可得函数的值域为，故B正确；
对于C，由，则在定义域上不是增函数，故C 错误；
对于D，由的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
12．下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．已知，则
C．若，则
D．函数有最小值2
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求解，注意基本不等式成立的条件.
【详解】对于A，因为，所以，故，当且仅当时取等号，正确；
对于B，
，
，，，，正确；
对于C，因为，所以，，当且仅当时取等号，而，所以，正确；
对于D，，当且仅当时取等号，而，所以函数没有最小值，错误.
故选：ABC
三、填空题
13．已知集合，，，则a的值为 ．
【答案】-2
【分析】根据并集结果得到，且，求出答案.
【详解】由题意得，且，故，
故答案为：-2
14．若，则
【答案】1
【解析】由可得，再利用换底公式和对数运算即可求出.
【详解】，
，
.
故答案为：1.
15．若函数的值域为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】换元后，得到的值域为，从而得到不等式，求出的取值范围.
【详解】令，则，变形为，
故的值域为，
当时，，显然不满足题意；
当时，则，解得.
故答案为：
16．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，已知里氏震级与地震释放的能量的关系为．那么里氏9级的地震释放的能量是里氏7级地震释放的能量的 倍．
【答案】1000
【分析】根据里氏震级与地震释放的能量的关系，可得，进而分别求出里氏9级、里氏7级的地震释放的能量，从而可求出答案.
【详解】由题意，，
则里氏9级的地震释放的能量，
里氏7级地震释放的能量，
所以.
故答案为：1000.
四、解答题
17．已知集合，集合
(1)若时，求
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）将集合化简，再由集合的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，分集合与讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）当时，，所以，
由可得，，解得，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
18．已知关于x的不等式的解集为或.
(1)求实数a，b的值；
(2)当时，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系列方程求实数a，b的值；(2)研究函数的单调性，利用单调性求值域.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以，，为方程的根，且，
所以，，
所以，，
（2）由(1) ，任取实数，，设，则
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以函数，的值域为.
19．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≤0时，f（x） = x2 + x.
(1)当x > 0，求f（x）的解析式；
(2)若g（x） = f（x） + ax在x∈（0，1]上的最大值为2，求实数a的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】(1)设，则，根据题意求出，再利用函数的奇偶性即可求出；
(2)根据题意，将问题等价转化为在上的最大值为2，根据二次函数的对称轴所在的区间进行分类讨论即可求解.
【详解】（1）设，则，因为当时，，
所以，又因为函数为上的奇函数，
所以，
所以当时，函数的解析式为.
（2）因为在上的最大值为2，
由（1）可知：也即在上的最大值为2，
因为函数开口向下，且对称轴为，又因为，
要使在上的最大值为2，则对称轴大于零，
当，也即时，，解得：不存在；
当，也即时，，解得：，
综上可知：当在上的最大值为2时，实数的值为。
20．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
【答案】（1）；（2）万台时最大利润为万元.
【分析】（1）由题意有，即可写出利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式.
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.
【详解】（1）由题意知：，
∴.
（2）由（1）知：，
∴时，单调递增，则；
时，，当且仅当时等号成立.
综上，当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大为万元.
21．定义在的函数，满足，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并说明理由；
(3)若，解不等式.
【答案】(1)；
(2)函数在上单调递增，详见解析；
(3).
【分析】（1）利用赋值法结合条件即得；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）将原不等式等价转化为，结合定义域和单调性即可得结果.
【详解】（1）因为，
令，可得，
所以；
（2）函数在上单调递增，
任取，，且，则，，
所以，
在上单调递增；
（3），
，
由，可得，
又在上为增函数，
所以，
解得，
故不等式的解集为.
22．已知函数的表达式为．
(1)若，，求的值域．
(2)当时，求的最小值．
(3)对于（2）中的函数，是否存在实数m、n，同时满足：①；②当的定义域为[m，n]时，其值域为？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在满足条件的实数m、n，理由见解析
【分析】（1）由，利用的范围可得的范围可得答案；
（2）令，函数可转化为，分、、讨论可得答案；
（3）利用的单调性，得到，两式相减可得答案．
【详解】（1）当时，由，得，
因为，所以，．
（2）令，因为，故，函数f（x）可转化为
，
①当时，；
②当时，；
③当时，．
综上所述，.
（3）因为，，在R上是严格减函数，
所以在上的值域为，
又在上的值域为，所以，即，
两式相减，得，因为，所以，
而由，可得，与矛盾．
所以，不存在满足条件的实数m、n．