福建省福州市晋安区福州日升中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份福建省福州市晋安区福州日升中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面是科学防控新冠知识的图案，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 勤洗手勤通风B. 喷嚏后慎揉眼
C. 戴口罩讲卫生D. 打喷嚏捂口鼻
2.1纳米等于0.000000001米，则用科学记数法表示为( )
A. 1×10−9米B. 1×10−7米C. 1×10−10米D. 1×10−8米
3.二次根式 1x−2有意义，则x满足的条件是( )
A. x2C. x≥2D. x≤2
4.若 3m是一个整数，则正整数m的最小值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.下列线段，不能组成直角三角形的是( )
A. a=6，b=8，c=10B. a=1，b= 2，c= 3
C. a=1，b=43，c=53D. a=2，b=4，c= 6
6.如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=50，则S1的值为( )
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
7.如果多项式(x+2a)与多项式(1−x)的乘积中不含x的一次项，那么a的值为( )
A. −12B. 12C. −1D. 1
8.若关于x的方程2xx−3−1=m−13−x有增根，则m的值是( )
A. −5B. 7C. 5D. −3更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 9.如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则DF的长为( )
A. 3911
B. 4513
C. 175
D. 5717
10.如图，∠AOB=30°，点P在OB上且OP=2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是( )
A. 2
B. 4
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：x2−x=______．
12.当x= ______ 时，分式x+3x+5的值为零．
13.已知x，y为实数，且y= x−3+ 3−x−2，则xy的值是______ ．
14.已知a2−a+5=0，则(a−3)(a+2)的值是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA=DB.若CD=4，则BC= ______ ．
16.代数式 x2+4+ (12−x)2+9的最小值为______．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
17.计算：(13)−2+(π−2022)0− 9+|2− 5|.
(2) 24÷ 112− 13× 12+ 48．
18.解方程：
(1)2x−3=3x；
(2)1−xx−2=12−x−2．
19.我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a+b)2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( 2)2，3=( 3)2，7=( 7)2，0=02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3−2 2的算术平方根．
解：3−2 2=2−2 2+1=( 2)2−2 2+12=( 2−1)2，∴3−2 2的算术平方根是 2−1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
(1) 3+2 2(2) 10+8 3+2 2(3) 3−2 2+ 5−2 6+ 7−2 12+ 9−2 20+ 11−2 30．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
分解因式：
(1)2x3−8x；
(2)(x2+1)2−4x2．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+1x+2−1)÷x2−2xx2+4x+4，其中x= 8．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=15，D是线段AB上一点，BD=9，连接CD，CD=12．
(1)求证：CD⊥AB．
(2)若S△ABC=84，求△ABC的周长．
23.(本小题8分)
在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
(1)A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
(2)根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
24.(本小题8分)
对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；
(2)解决问题：如果a+b=3 7,ab=12，求a2+b2的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(8−x)和(x−2)，且(8−x)2+(x−2)2=20，求这个长方形的面积．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
(1)求证：CF=BG；
(2)延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP//AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；
(3)在(2)问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG=3 3，BG=6，求AC的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】A
【解析】解：0.000000001米=1×10−9米．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握表示形式为a×10−n，其中1≤|a|0，
解得，x>2．
故选：B．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
4.【答案】C
【解析】解：∵ 3m是一个整数，
∴正整数m的最小值是3．
故选：C．
由于 3m是一个整数，则m为3乘以一个完全平方数，从而得到m=3×1时，正整数m最小．
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式．
5.【答案】D
【解析】解：A、62+82=100=102，能组成直角三角形，不符合题意；
B、12+( 2)2=( 3)2，能组成直角三角形，不符合题意；
C、12+(43)2=(53)2，能组成直角三角形，不符合题意；
D、22+( 6)2≠42，不能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
6.【答案】D
【解析】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴S3+S2=S1，
∵S1+S2+S3=50，
∴2S1=50，
∴S1=25，
故选：D．
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
7.【答案】B
【解析】解：∵多项式(x+2a)与多项式(1−x)的乘积中不含x的一次项，
∴(x+2a)(1−x)=x−x2+2a−2ax=−x2+(1−2a)x+2a，
则1−2a=0，
解得：a=12．
故选：B．
直接利用多项式乘多项式运算法则得出含x的项的系数为零，进而得出答案．
此题主要考查了多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵分式方程有增根，
∴x−3=0，
解得x=3，
2xx−3−1=m−13−x，
2xx−3−1=1−mx−3，
2x−(x−3)=1−m，
x+3=1−m，
把x=3代入原方程得m=−5，
故选：A．
先求出增根，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，求出m．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=AB=4，CP=EP．
在△OEF和△OBP中，
∠EOF=∠BOP∠B=∠E=90°OP=OF，
∴△OEF≌△OBP(AAS)，
∴OE=OB，EF=BP，
∴BF=BO+OF=OE+OP=EP=CP，
设BF=EP=CP=x，则AF=4−x，BP=3−x=EF，DF=DE−EF=4−(3−x)=x+1，
∵∠A=90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，
即(4−x)2+32=(1+x)2，
∴x=125∴DF=125+1=175故选C．
根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP，根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设BF=EP=CP=x，则AF=4−x，BP=3−x=EF，DF=DE−EF=4−(3−x)=x+1，依据Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，可得到x的值，即可得DF的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设出相关线段的长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
10.【答案】D
【解析】解：如图，在∠AOB的外部作射线OC，使∠AOC=∠AOB=30°，过点P作PN′⊥OC于点N′，交OA于M，
此时，PM+MN′=PN′为PM+MN的最小值，
∵∠BOC=60°，OP=2，∠PN′O=90°，
∴∠OPN′=90°−60°=30°，
∴ON′=12OP=12×2=1，
在Rt△PON′中，PN′= OP2−ON′2= 22−12= 3，
∴PM+MN的最小值为 3，
故选：D．
如图，在∠AOB的外部作射线OC，使∠AOC=∠AOB=30°，过点P作PN′⊥OC于点N′，交OA于M，此时，PM+MN′=PN′为PM+MN的最小值，利用勾股定理即可求得答案．
本题考查了轴对称−最短路线问题，垂线段最短，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
11.【答案】x(x−1)
【解析】解：x2−x=x(x−1)．
故答案为：x(x−1)．
提取公因式x即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
12.【答案】−3
【解析】解：根据题意，得
分子x+3=0，且分母x+5≠0，
解得x=−3．
故答案为：−3．
分式的值为零：分子x+3=0，且分母x+5≠0．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
13.【答案】19
【解析】解：依题意得：x−3≥03−x≥0，
解得x=3．
则y=−2，
所以xy=3−2=19．
故答案为：19．
根据二次根式的被开方数是非负数求得x=3，进而得到y=3，代入所求的代数式进行解答．
考查了二次根式有意义的条件，各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
14.【答案】−11
【解析】解：(a−3)(a+2)=a2−a−6，
∵a2−a+5=0，
∴a2−a=−5，
∴原式=−5−6=−11．
先把所求代数式展开后，利用条件得到a2−a=−5，整体代入即可求解．
本题考查多项式乘以多项式的法则和整体代入思想，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握性质，求出∠DAC=∠DAB=∠B=30°
根据AD平分∠BAC，得出∠DAB=∠DAC，根据DA=DB，得出∠DAB=∠B，从而得出∠DAC=∠DAB=∠B，根据∠C=90°，得出∠DAC=∠DAB=∠B=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，得出AD=2DC=8，即可得出答案．
【解答】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∵DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∴∠DAC=∠DAB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠DAC+∠DAB+∠B=90°，
∴∠DAC=∠DAB=∠B=30°，
∵DC=4，
∴AD=2DC=8，
∴DB=DA=8，
∴BC=DB+DC=12．
故答案为：12．
16.【答案】13
【解析】解：求代数式 x2+4+ (12−x)2+9，即 (x−0)2+(0−2)2+ (12−x)2+(3−0)2的最小值，
实际上就是求x轴上一点到(0,−2)以及(12,3)两点的和的最小值，
而两点间的距离是线段最短，所以，点到(0,−2)到点(12,3)的距离即为所求，
即 122+ (3+2)2=13．
故答案为：13．
原问题转化为：求x轴上一点到(0,−2)以及(12,3)两点的和的最小值，显然两点间线段最短．
本题主要考查了函数的最值问题、轴对称--最短路线问题．解答此题的关键是根据代数式 x2+4+ (12−x)2+9，将问题转化为：求x轴上一点到(0,−2)以及(12,3)两点的和的最小值，并且利用了“两点间线段最短”的知识点．
17.【答案】(1)解：原式=9+1−3+( 5−2)
=5+ 5．
(2)解：原式= 24×23− 13×12+4 3
=4−2+4 3=2+4 3．
【解析】(1)先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根和绝对值，再计算加减法即可得到结果．
(2)先算乘除法，再将二次根式化为最简二次根式，最后算加减法即可得到结果．
本题主要考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)去分母得：2x=3x−9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解；
(2)去分母得：1−x=−1−2x+4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：(1) 3+2 2= 2+2 2+1= ( 2)2+2 2+12= ( 2+1)2= 2+1；
(2) 10+8 (3+2 2)= 10+8( 2+1)= 18+8 2= 16+8 2+2= 42+2×4× 2+( 2)2= (4+ 2)2=4+ 2；
(3)原式= 2−2 2+1+ 3−2 6+2+ 3−2 12+4+ 4−2 20+5+ 5−2 30+6，
= ( 2)2−2 2+12+ ( 3)2−2× 2× 3+( 2)2+ ( 3)2−2×2× 3+22+ 22−2×2× 5+( 5)2+ ( 5)2−2× 5× 6+( 6)2，
= ( 2−1)2+ ( 3− 2)2+ ( 3−2)2+ (2− 5)2+ ( 5− 6)2，
= 2−1+ 3− 2+2− 3+ 5−2+ 6− 5，
= 6−1．
【解析】(1)将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；
(2)结合(1)将原式变形为 18+8 2，将18分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；
(3)将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．
本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2x3−8x
=2x(x2−4)=2x(x−2)(x+2)；
(2)(x2+1)2−4x2=(x2+1+2x)(x2+1−2x)=(x+1)2(x−1)2．
【解析】(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
21.【答案】解：原式=x+1−x−2x+2⋅(x+2)2x(x−2)
=−1x+2⋅(x+2)2x(x−2)=−x+2x(x−2)，
当x= 8时，
原式=− 8+2 8( 8−2)
=−2 2+28−4 2=−4+3 24．
【解析】先算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分，化简后将x的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将所求式子化简．
22.【答案】(1)证明：在△BDC中，BC=15，BD=9，CD=12，
∵BD2+CD2=92+122=152=BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
(2)解：∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∵S△ABC=84，CD=12，
∴AB=14，
∴AD=AB−BD=14−9=5，
在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，即52+122=AC2，
解得AC=13，
∴△ABC的周长是13+14+15=42．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据三角形面积公式得出AB，再利用勾股定理得出AC，进而解答即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形．
23.【答案】解：(1)设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x−1.5)元，
根据题意，得：8000x=5000x−1.5．
解方程，得：x=4．
经检验：x=4是原方程的根，且符合题意．
所以x−1.5=2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；
(2)设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5×2m+4m≤3600．
解不等式，得：m≤400．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为400．
答：增加购买A型口罩的数量最多是400个．
【解析】(1)设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x−1.5)元，根据“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
(2)设增加购买A型口罩的数量是m个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元”列出不等式．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)(a+b)2=a2+b2+2ab．
(2)∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=(3 7)2−24=63−24=39．
(3)设a=8−x，b=x−2，
则a+b=6，a2+b2=20．
∵(a+b)2=a2+b2+2ab．
∴36=20+2ab．
∴ab=8．
∴这个长方形的面积为：(8−x)(x−2)=ab=8．
【解析】解：(1)图中大正方形的面积可以表示为：(a+b)2，
还可以表示为：a2+b2+2ab．
∴(a+b)2=a2+b2+2ab．
故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab．
(2)见答案．
(3)见答案．
(1)用两种方法表示同一个图形面积即可．
(2)用(1)中得到的公式计算．
(3)设a=8−x，b=x−2，得出a+b=6，a2+b2=20，然后用公式进行求解．
本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，代数式求值，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
25.【答案】证明：(1)如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠A=∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
∵∠A=∠BCGAC=BC∠ACF=∠CBE，
∴△BCG≌△CAF(ASA)，
∴CF=BG；
(2)如图2，∵PC//AG，
∴∠PCA=∠CAG，
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°，
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，
∴∠PCG=∠PGC，
∴PC=PG，
∵PB=BG+PG，BG=CF，
∴PB=CF+CP；
(3)如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，
∵S△AEG=12AG⋅EM=3 3，
由(2)得：△ACG≌△BCG，
∴BG=AG=6，
∴12×6×EM=3 3，
EM= 3，
设∠FCH=x°，则∠GAC=2x°，
∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°，
∵∠ACH=45°，
∴2x+x=45，
x=15，
∴∠ACF=∠GAC=30°，
在Rt△AEM中，AE=2EM=2 3，
AM= (2 3)2−( 3)2=3，
∴M是AG的中点，
∴AE=EG=2 3，
∴BE=BG+EG=6+2 3，
在Rt△ECB中，∠EBC=30°，
∴CE=12BE=3+ 3，
∴AC=AE+EC=2 3+3+ 3=3 3+3．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明△BCG≌△CAF即可；第3问，如何得出30°角和作辅助线，利用到S△AEG=3 3列式是突破口．
(1)根据ASA证明△BCG≌△CAF，则CF=BG；
(2)先证明△ACG≌△BCG，得∠CAG=∠CBE，再证明∠PCG=∠PGC，即可得出结论；
(3)作△AEG的高线EM，根据角的大小关系得出∠CAG=30°，根据面积求出EM的长，利用30°角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长，所以CE=3+ 3，根据线段的和得出AC的长．