2022-2023学年上海市奉贤区高一上学期1月期末练习数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市奉贤区高一上学期1月期末练习数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．设全集，集合，集合，则 ．
【答案】.
【解析】由已知得，结合全集即可求.
【详解】由题意有，，而，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于简单题.
2．若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 .
【答案】/
【分析】由幂函数所过的点求参数a，即可得函数表达式.
【详解】由题设，，可得，
∴幂函数表达式为.
故答案为：.
3．函数的定义域是
【答案】
【分析】利用对数函数的定义域求法求解.
【详解】因为函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域是，
故答案为：
4．设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： .
【答案】且
【分析】否定结论即可.
【详解】“若，则或”是一个真命题.
用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即“且”.
故答案为：且.
5．化简 （其中）．
【答案】
【分析】应用指数幂的运算性质化简即可.
【详解】原式.
故答案为：
6．在周长为常数的所有矩形中，面积的最大值是
【答案】
【分析】设矩形的长宽分别为，，可得，化为．利用基本不等式即可求解.
【详解】设矩形的长宽分别为，，面积为，则，化简得，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：.
7．若正实数满足，可以用的代数式表示，即
【答案】
【分析】根据对数运算性质求解出的关系式，然后可求结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
8．当时，函数的值总大于，则的取值范围是 ．
【答案】或，
【解析】由指数函数的图象和性质可得即可求解.
【详解】因为时，函数的值总大于，
根据指数函数的图象和性质可得，解得：或，
故答案为：或，
9．统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 倍（结果精确到个位）.
【答案】
【分析】由题意写出n年后该物种的种群数量，进而可求30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的倍数.
【详解】由题意，n年后该物种的种群数量约为，
所以30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的倍.
故答案为：
10．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
【答案】或
【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.
【详解】由方程，则或，
当存在两个相等的实数根时，，解得，
此时方程的解为，符合题意；
当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得，
此时，则方程另一个解为，符合题意.
综上所述，当或时，集合中恰有两个元素.
故答案为：或.
11．已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据根与系数关系求得关于的表达式，进而求得不等式的解集.
【详解】方程的解集为，其中，
所以，
则不等式可化为：，
即，由于，所以，
所以不等式的解集为.
故答案为：
12．已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是
【答案】且
【分析】由函数定义得且，，且，，进而有能成立，即有结合分类讨论，求参数范围.
【详解】由题设，且，，且，，
所以能成立，即能成立，则，
所以，显然，不存在满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
故正实数的取值范围是且.
故答案为：且
【点睛】关键点点睛：由新定义得到能成立，得，讨论的区间判断的存在性确定参数范围.
二、单选题
13．若，，则是的（ ）条件．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】由描述写出可能情况，结合充分、必要性定义判断，关系.
【详解】由，则可能为，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
14．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：dB（分贝）]定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的（ ）倍.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数运算，可得答案.
【详解】由题意可得：，，解得，，
则.
故选：B.
15．下列命题中正确的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．若且，则
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性可判断结果.
【详解】选项A：因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故A错误；
选项B： 因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故B错误；
选项C：因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故C错误；
选项D：因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故D正确；
故选：D.
16．已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得是定义在上的偶函数，然后求导得，即可判断在上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果.
【详解】因为函数定义域为关于原点对称，
且，
所以是定义在上的偶函数，
又，
当时，，则，所以在单调递增，
又，则，
且，则不等式可化为
，即，
且是定义在上的偶函数，在单调递增，
则，即，即，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A
三、解答题
17．设全集为，集合，集合
(1)若，求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）分别求解出分式不等式、绝对值不等式的解集为集合，再根据交集运算求解出；
（2）先表示出集合，然后根据列出关于的不等式组，由此求解出结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，解得，所以，
又因为，所以，所以，所以，
所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为，且即，
所以，所以，
所以实数的取值范围是.
18．（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件.
（2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值.
【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）利用作差法，结合完全平方公式，可得答案；
（2）由题意，整理等式可得和的定值，利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）因为，
当且仅当时，等号成立，所以.
（2）由题意可得：，即，
，当且仅当，等号成立，
所以、的几何平均值的最大值为.
19．已知函数和，其中，．
(1)当时，函数只有一个零点，求该零点；
(2)当时，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）采用换元法将零点问题转变为一元二次方程根的问题，然后分析确定出方程的根，从而函数的零点可知；
（2）记，然后根据的对应关系分析出不同的取值下的奇偶性.
【详解】（1）因为，
令，且为单调函数，
所以在上有一个零点，
即在上有一个解，记，
当时，此时显然不成立，
当时，，解得，即，满足；
当时，，此时，所以均为正数，不符合；
综上，的唯一零点为；
（2）记，定义域为且关于原点对称，
又，
若为偶函数，则有，所以，
化简可得，且不恒为，所以；
若为奇函数，则有，所以，
化简可得，且，所以，所以；
综上可知，当时，为偶函数；
当时，为奇函数；
当时，为非奇非偶函数.
20．已知某气垫船的最大船速是海里/时，其中，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．当船速为30海里/时时，船每小时的燃料费用为600元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时864元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距100海里．
(1)试把船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数；
(2)试把船从甲地到乙地所需的总费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数；
(3)当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?
【答案】(1)
(2)
(3)当时总费用最少
【分析】（1）根据已知列式应用待定系数法求解析式即可；
（2）结合总费用写出函数解析式即可；
（3）应用基本不等式求最小值即可.
【详解】（1）由题意，每小时的燃料费用设为 ,代入
解得,故.
（2）从甲地到乙地的运输总费用：
（3）由（2）知，
当且仅当 时取等号，
故当船速为36海里／小时时，能使从甲地到乙地的运输总费用最少．
21．对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”．
(1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由；
(2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；
(3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．
【答案】(1)不存在“函数”，理由见解析.
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，由即可判断；
（2）根据题意，由“函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明；
（3）根据题意，由“函数”的定义可得，若，均存在“函数”， 则存在“函数”，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1），当时，，当时，，
因此，则该函数不存在“函数”．
（2）充分性：若，则，
任取，，所以存在“函数”；
必要性：因为是奇函数，则，任取，
因为，是一个“函数”，
所以，则，
当时，则，，
所以，即，
所以，可得，从而有，
即是一个常数，设为，则.
（3）假设，均存在“函数”，任取，
则，，
则，
则存在“函数”，
因此均存在“函数”，
令，定义域为关于原点对称，
且，
则是定义在上的奇函数，
由（2）可知，存在使得恒成立，则，
又时，若函数与函数均为“函数”，符合题意.
综上可知，.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义中“函数”的概念，以及函数奇偶性的应用，难度较大，解答本题的关键在于利用好题干中“函数”的定义，以及利用好（2）中的结论解决（3）中的问题.