2023-2024学年陕西省汉中市汉台中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省汉中市汉台中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义计算．
【详解】，，
∴.
故选：D.
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】，因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．函数f（x）=
A．（-2,-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
【答案】C
【详解】试题分析：
，所以零点在区间（0，1）上
【解析】零点存在性定理
4．已知函数 (是自然对数的底数)，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由求出，进而得到.
【详解】，故，
则.
故选：D
5．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围.
【详解】因为对任意，不等式恒成立.
所以，其中，
设，，因为，
所以当时，函数，取最小值，最小值为，
所以，
故选：B.
6．中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？结果精确到，参考数据（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列出关于的方程组可得答案.
【详解】由题意可得方程组：
，化简可得：，所以
，
大约需要放置能达到最佳饮用口感．
故选：B.
7．已知函数，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的单调性，再比较指对数的大小，利用单调性可得答案.
【详解】因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
又， ，，
所以，
所以.
故选：B．
8．已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于函数满足对任意，都有成立，
所以在上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
二、多选题
9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M={1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据选项中的解析式依次判断即可.
【详解】对选项A，当时，，故A错误；
对选项B，任意都有，故B正确.
对选项C，任意都有，故C正确.
对选项D，当时，，故D错误；
故选：BC
10．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.
【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.
函数，均为偶函数.
又二次函数在上为增函数.
，当时，函数可化为，在上为增函数.
故选项B，D满足条件.
故选：BD
11．下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则的最大值为
B．若，则函数的最大值为
C．若，，，则的最小值为
D．函数的最小值为
【答案】AC
【分析】利用基本不等式及其变形处理.
【详解】对于选项A，，，，则，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，即A错误；
对于选项B，当，则函数
，当且仅当即时取等号，即B正确；
对于选项C，若，，，则，即，即，则的最大值为，即C错误；
对于选项D，函数，当且仅当，即时取等号，即D正确，
故选：AC.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查和的最值及乘积的最值，难度一般,解答时，注意“一正二定三相等”.
12．已知幂函数对任意且，都满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由已知函数为幂函数可得，再由已知可得此函数在上递增，则，从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB，对于CD，作差比较即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得或，
因为对任意且，都满足，
所以函数在上递增，
所以
当时，，不合题意，
当时，，
所以
因为，
所以为奇函数，
所以由，得，
因为在上为增函数，
所以，所以，
所以A错误，B正确，
对于CD，因为，
所以
，
所以，所以C错误，D正确，
故选：BD
三、填空题
13．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家．
【答案】20
【详解】试题分析：根据所给的三种超市的数目，相加得到共有的超市数目，根据要抽取的超市数目，得到每个个体被抽到的概率，用中等超市的数目乘以被抽到的概率，得到结果．
解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，
∴共有超市200+400+1400=2000，
∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，
∴每个个体被抽到的概率是，
∴中型超市要抽取400×=20家，
故答案为20．
点评：本题考查分层抽样，这是一个每年必考的题目，解题的关键是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．
14．已知函数的定义域为 则的定义域为
【答案】
【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，的定义域为，所以对于
需满足,解得
故答案为：.
15．幂函数在上单调递增，则的图象所过定点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义与性质计算的值，再根据指数函数的性质计算定点即可.
【详解】由题意可知或，
又时，在上单调递减，不符合题意；
而时，符合题意；
所以，当时，，即函数过定点.
故答案为：.
16．函数的值域是 ．
【答案】(－∞,－1]
【解析】根据的范围，结合对数函数的单调性，即可求得值域.
【详解】，
因为(x＋1)2＋2≥2.所以，
所以函数f(x)的值域是(－∞,－1].
故答案为：(－∞,－1].
【点睛】本题考查对数型复合函数值域的求解，属基础题.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)计算：；
(2)计算：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值即可；
（2）根据指数幂的运算和对数的运算性质及换底公式求解即可.
【详解】（1）
；
（2）
.
18．已知命题P：方程没有实数根．
(1)若P是真命题，求实数t的取值集合A；
(2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列出关于t的不等式即可求得实数t的取值集合A；
（2）分类讨论并列不等式组去求a的取值范围．
【详解】（1）若P是真命题，则，解得，则．
（2）因为是的必要条件，所以，
当时，由，得，此时，符合题意；
当时，则有，解之得，
综上所述，a的取值范围为．
五、应用题
19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
【答案】(1)
(2)选择长宽分别为的海报纸.
【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；
（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，
由图像知：，
（2）由（1）知：
，当且仅当即，
即等号成立.
综上，选择长宽分别为的海报纸.
六、问答题
20．已知函数，且不恒为0．
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）若，且函数在上单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由条件可知，由此列出关于的方程，求解出的值；
（2）先计算出的解析式，采用分离常数的方法对进行变形，然后结合单调性和对数的真数大于零列出关于的不等式组，求解出的取值范围.
【详解】（1）由奇函数的定义可知：，
即，
则：，
又当时，恒为0，矛盾，所以．
（2）在上单调递减，
在上恒成立，且在上单调递减，
且，
解得：.
【点睛】结论点睛：常见函数的单调性分析：
（1）一次函数：当时，在上递增，当时，在上递减；
（2）反比例类型的函数，当时，在和上递减；当时，在和上递增；
（3）二次函数：当时，在上递减，在上递增；当时，在上递增，在上递减.
七、证明题
21．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意正数，，都有.且.
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)是奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）赋值法即可求值；
（2）设，利用奇函数定义即可证明；
（3）根据函数的性质把不等式恒成立转化为恒成立，然后利用一元二次型不等式解法，分类讨论求解即可.
【详解】（1）设，得，则.
再设，有，
再设，有，所以，所以.
（2）是奇函数，证明如下：
因为定义域为，关于原点对称，
设，代入可得，
所以，所以是奇函数.
（3）函数是定义在上的单调函数，且，
所以是定义在上的单调增函数，又是奇函数，
所以，
所以即恒成立，
当时，，此时，不符合题意，
当时，有，即，解得，
所以的取值范围是
22．已知函数.
(1)求证：函数是上的奇函数；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）先求的定义域，判断其是否关于原点对称，再验证与的关系；
（2）先取值，再作差，并判定其符号即可判定；
（3）由，通过奇偶性化为，再通过单调性的逆用化为，再解决这个二次函数的恒成立问题即可.
【详解】（1）因为，
所以定义域为,关于原点对称，
所以函数是上的奇函数.
（2）取
因为，所以，
则，，，
则，
故函数在上单调减.
（3）由对任意的，不等式恒成立
，
又函数是上的奇函数，
，
函数在上单调减，
对任意的，，
即，
所以，
解得：，
故实数的取值范围为.