2023-2024学年陕西省西安市铁一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市铁一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.
【详解】由题可得，，
所以．
故选：A．
2．用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合零点存在性定理及二分法即可求解.
【详解】，
则，即初始区间可选．
故选：C.
3．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取特殊值判定即可.
【详解】由解析式可知，取，则，观察选项可排除A、C；再取，则，观察选项可排除D，
此外，可看成是由向右平移1个单位得到，而是偶函数，即的图象关于对称，故选B项.
故选：B
4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】是定义域为的奇函数，
当时，，所以.
故选：A
5．2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数、指对数函数的增长趋势判断是否可以描述变化规律即可.
【详解】由图知：电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势，
函数、、均可以描述变化规律，
而可以描述逐年递增，但增速有变慢的趋势，故不能描述变化规律.
故选：D
6．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数，，指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】根据对数函数在上单调递减，则，
根据对数函数在上单调递增，则，根据指数函数在上单调递减，则，则，故，
故选：A.
7．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】设，设，根据已知作出函数的图象，结合零点存在定理以及函数的增长速度的快慢，即可得出答案.
【详解】
设，
设，则.
又，所以1是函数的一个零点；
因为，，
所以，.
又，，
所以，.
根据零点的存在定理，可知，，使得，
即是函数的一个零点；
因为，，
所以，.
又，，
所以，.
根据零点的存在定理，可知，，使得，
即是函数的一个零点.
结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点.
综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点.
故选：C.
8．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数是单调增函数
B．函数的值域为
C．函数为偶函数
D．函数的定义域为
【答案】D
【分析】应用换元法求的解析式，进而求其定义域、值域，并判断单调性、奇偶性，即可知正确选项.
【详解】由题意，由，则，即.
令，则
∴，其定义域为不是偶函数，
又故不是单调增函数，
易得，则，
∴.
故选：D.
二、多选题
9．已知实数x，y满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】直接由不等式的性质依次判断4个选项即可.
【详解】由，，知，，A、C正确；
，故，B错误；，故，D错误.
故选：AC.
10．关于函数和，下列说法正确的是（ ）
A．的增区间是B．的减区间是
C．的减区间是D．的增区间是
【答案】BC
【分析】根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案.
【详解】对于，由，
解得或，函数的开口向上，对称轴为，
函数在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知：
的增区间是，减区间是，A选项错误，B选项正确.
对于，函数的开口向上，对称轴为，
函数在上单调递减，根据复合函数单调性同增异减可知：
的增区间是，减区间是，C选项正确，D选项错误.
故选：BC
11．在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的（ ）
A．音量同为20的声音，1000~10000的高频比30~100的低频更容易被人们听到.
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而先减小后增大.
C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【答案】AD
【分析】根据给定的图象，观察图象得出听觉下限阈值与声音频率的关系，可判定A正确、B不正确；根据给定的函数关系，代入听觉下限阈值计算，可判定C错误、D正确.
【详解】对于A中，的低频对应图象的听觉下限值高于，的高频对应的听觉下限值低于，两者对比，高频率更容易被听到，所以A正确；
对于B中，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，所以B错误；
对于C中，对应的听觉下限阈值为，，
令，此时，所以C错误；
对于D中，的听觉下限阈值为，
令，此时，所以的听觉下限阈值的实际声压为的听觉下限阈值实际声压的倍，所以D正确.
故选：AD.
12．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．若，则
D．若当时，，则在单调递减
【答案】ABD
【分析】对于A选项，令即可；
对于B选项，令，令即可；
对于C选项， 令，即可；
对于D选项，由得，根据函数单调性定义即可.
【详解】因为，
所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，
所以，令，得，又，
所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故正确；
令，得，
又，所以，故C错误；
当时，由，
可得，又，
，在上任取，不妨设，
，
，
故，在单调递减，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简.
三、填空题
13．命题“，”的否定是 .
【答案】，
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】解：根据全称命题的否定为特称命题，可得命题“，”的否定是，.
故答案为：，.
14．已知函数（，且）的图象恒过定点A，则A的坐标为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的特征，令，进而求出定点坐标.
【详解】当，即时，，故过定点，则A的坐标为
故答案为：
15．函数（）的值域为 .
【答案】
【分析】先判断函数的单调性，再求值域.
【详解】，
易知和为减函数，故原函数为减函数，
所以
故答案为：
16．设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数换底公式变形得，利用函数单调性的性质可得关于的不等式，求解即可.
【详解】，
∵在上单调递增，在上单调递增，
∴，即，
∵，∴，
∴，即，即，
结合，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由指数幂的运算性质化简求值；
（2）应用对数的运算性质化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
18．已知集合，.
(1)若，求；
(2)命题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用指数函数的单调性解集合A，再利用补集的概念计算即可；
（2）根据必要不充分条件的定义计算即可.
【详解】（1）易知，即，
当时，，
故；
（2）若q是p的必要不充分条件，则有集合A是集合B的真子集，
即
19．设，已知幂函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)设，若函数的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由已知结合幂函数的定义以及性质即可求解；
（2）由已知结合二次函数的性质讨论，和，即可得出答案.
【详解】（1）因为幂函数是偶函数，
所以且为偶数，解得：或（舍），
则，所以.
（2）令的开口向上，对称轴，
①当即，在上单调递增，所以，
所以；
②当即，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
解得：或，不满足题意舍去；
③当即，在上单调递减，
所以，解得：
所以.
综上：或.
20．某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t元（t为常数，且），设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元（），根据市场调查，日销售量g（单位：kg）与成反比，每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100kg．
（1）求该工厂的日销售利润y（单位：元）与每千克蘑菇的出厂价x（单位：元）的函数关系式；
（2）求，当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的日销售利润y为元？
【答案】（1）（2）26元
【分析】 （1）由条件“日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．
（2）由(1)可得 ，解方程即可.
【详解】解：（1）设日销售量（，k为常数），则，
，
日销售量，
．
（2）当时，，则，
画出函数与的图像如图所示，
由图可得方程的解为，
当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销售利润为元．
【点睛】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．
21．已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）定义域的奇函数满足，求出的值并用奇函数定义验证.
（2）用定义证明函数的单调性.
（3）不等式利用奇偶性和单调性化简，得到关于的不等式，设，利用函数的性质求解即可.
【详解】（1）函数为奇函数，.
，解得，
当时，，
经检验符合题意，故.
（2）是上的增函数.
任取且.
.
，
，，，
即，
是上的增函数.
（3）是上的奇函数，且在上单调递增.
故
即：
令，
则对恒成立.
即
解得：.
实数的取值范围为.
22．在函数定义域内，若存在正实数，使得函数在区间上的值域为则称此函数为“档类正方形函数”（其中），已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，是否存在，使得函数为“档类正方形函数”？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据指数函数的性质、对数函数的性质即可得到的值域；
（2）假设存在，先利用“换元法”得到在的单调性，从而得到的最小值和最大值，再利用函数与方程的思想即可求解.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以，
所以函数的值域为.
（2）假设存在，使得函数为“档类正方形函数，即存在正实数，使得函数在区间上的值域为，
由题意，当，时，设，
所以在上为增函数，
设真数为，
对称轴为，
所以当时，为增函数，且，
所以在上为增函数，
所以，
，
所以为方程的两个不等实根，
即方程在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根，
设，
所以，
即方程有两个大于1的不等实根，
令，
即函数有两个大于1的零点，
因为，
所以，
解得，
所以存在正实数，使得函数为“档类正方形函数，且的范围是.
【点睛】方法点睛：二次型函数零点分布或方程根的分布问题一般从四个方面列出限制条件：①开口方向；②判别式的符号；③对称轴与区间关系；④区间端点值的符号.