2023-2024学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次方程得集合B，然后利用并集运算和补集运算的概念求解即可.
【详解】因为，又，所以，
又，所以.
故选：B
2．已知，，则B的真子集个数为（ ）
A．31B．32C．63D．64
【答案】A
【分析】由题：根据的取值情况分析集合一共32个子集，所以31个真子集.
【详解】由题：当时，集合B中元素最小为2，当时，集合B中元素最大为6，
又当时，集合B中元素为3，当时，集合B中元素为4，
当时，集合B中元素为5，所以集合，
其子集个数为个，所以真子集31个.
故选：A
【点睛】此题考查元素与集合的关系以及子集个数分析，关键在于熟记集合的子集个数结论，否则只有逐一列举，计算量大且容易出错.
3．已知集合，，若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】由，知，因为，，
若，则方程无解，所以满足题意；
若，则，
因为，所以，则满足题意；
故实数取值的集合为.
故选：D.
4．下面四个条件中，是成立的充分而不必要的条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据充分必要条件的定义，对每一项进行逐一判断.
【详解】解：选项A：当时，由只能得到，不是充分条件；
选项B：当，时，满足，不能使成立，不是充分条件；
选项C：根据三次函数的单调增可知，，是充要条件；
选项D：由，当时，由于存在性原因，不能得到与的大小关系，所以，成立的充分而不必要的条件为．
故选：D
【点睛】本题考查了充分必要条件，解决此类问题首先要搞清楚什么是条件，什么是结论，由条件得出结论满足充分性，由结论推出条件满足必要性.
5．已知，则最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】B
【分析】应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取值条件；
【详解】因为，，，所以，
当且仅当时取等号，取得最小值，
故选:B.
6．已知函数若，则（ ）
A．2B．4C．D．4或
【答案】B
【分析】结合分段函数知识，由，分两类讨论即可.
【详解】若，则，解得，舍去；
若，则，解得，符合题意；
故.
故选：B.
7．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则函数的单调递增区间是（ ）
A．和B．
C．和D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式判断出在上单调递增，且，再由函数奇偶性即可判断函数在定义域内的单调性.
【详解】因为时，，所以在上单调递增，且，
又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增，
所以数在上都是单调递增.
故选：B
8．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】由，解得，
故函数的定义域为，
令，其在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数为减函数，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
二、多选题
9．已知集合，则下列表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用元素与集合的关系计算即可.
【详解】易知，，，
令，
即B、C、D正确，A错误；
故选：BCD
10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】根据题意，由条件可得，即可判断ABC，将不等式化简可得，即可判断D.
【详解】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误；
因为，故B正确；
不等式可以化简为，解得，故D正确；
故选：ABD
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．为奇函数D．为增函数
【答案】ACD
【分析】根据解析式画出草图判断定义域、值域和单调性，应用奇偶性定义判断函数的奇偶性.
【详解】由函数解析式，定义域为R，且图象大致如下：
由图知：值域为，且在定义域上递增，
令，则，故，
令，则，故，且，
所以为奇函数.
故选：ACD
12．已知函数的定义域为，若对于任意的、，都有，则称为上的凸函数，由此可得在下列函数中为凸函数有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用图形或者特殊值法可判断可得出结论.
【详解】对于A选项，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数满足凸函数的定义；
对于B选项，取，，则，，，
此时，函数不满足凸函数的定义；
对于C选项，取，，则，，，
则，所以，，函数不满足凸函数的定义；
对于D选项，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数满足凸函数的定义.
故选：AD.
三、填空题
13．若，则 .
【答案】
【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，∵集合中有元素，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，
∴，解得：或，
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，，
满足，
∴，则.
故答案为：.
14．已知幂函数与坐标轴没有公共点，则 .
【答案】
【分析】根据幂函数定义和题意计算即可.
【详解】由题为幂函数，
可得，
解得或，即或，
又幂函数与坐标轴没有公共点，
则.
故答案为：.
15．函数（且）的图象恒过定点，则等于
【答案】2
【分析】令，即可求出函数的图象恒过的定点，即可得出答案.
【详解】由，即，得，所以，
所以，
故答案为：2.
16．已知函数则使的组成的集合为 .
【答案】
【分析】先分段讨论求出，代入求出，再分段讨论求出，代入可求出.
【详解】由题意得当时，无解；
当时，，得，
若，则，得；
若，则，得或.
综上所述：的组成的集合为.
故答案为：.
四、解答题
17．己知集合．
(1)求;
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合的交集运算即可得解；
（2）利用集合包含关系列得关于的不等式组，从而得解.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以当时，有，则，
所以.
18．已知二次函数满足，顶点为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二次函数顶点为可设，由即可求出a，则求出的解析式.
（2）根据二次函数的开口和对称轴即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）设，
则由得：，
，
.
（2）由（1）知，开口向上，对称轴为，
则若函数在区间上单调递增，
需满足，
，
∴实数a的取值范围为.
19．已知函数．
(1)证明：是奇函数．
(2)根据定义证明在区间上单调递增．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可得证；
（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解.
【详解】（1）的定义域为，关于原点对称．
又因为，所以是奇函数．
（2）令，
则．
因为，所以，
则，即．
故在上单调递增．
20．已知指数函数的图象经过点.
(1)求函数的解析式并判断的单调性；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，在上单调递减
(2)
【分析】（1）采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得解析式；由指数函数性质可得函数单调性；
（2）利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.
【详解】（1）设指数函数且，
过点，，解得：，，
由指数函数性质可知：在上单调递减.
（2）由（1）知：在上单调递减，
则由得：，
，解得：，
即的取值范围为.
21．已知函数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)增区间为，减区间为
【分析】（1）当时，可得出，求出的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出函数的值域；
（2）当时，求出函数的定义域，再利用复合函数法可得出函数的增区间和减区间.
【详解】（1）解：当时，，则，
所以，，即函数的值域为.
（2）解：当时，，
由可得或，
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，
外层函数在上为增函数，
所以，函数的增区间为，减区间为.
22．已知函数．
(1)求及函数的定义域；
(2)求函数的零点．
【答案】(1)，定义域为
(2)
【分析】（1）利用的值求得，解分式不等式求得的定义域.
（2）通过解对数方程求得正确答案.
【详解】（1）依题意，
所以，由得，
解得，所以的定义域为.
（2），
则，所以的定义域为，
令得，
所以，，则.