2022-2023学年河南省温县第一中学高一下学期期中数学试题含答案

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考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合和集合，再由交集定义求解即可.
【详解】由已知，，
由不等式得，∴，即，
∴，
∴.
故选：D.
2. 若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（ ）
A. B. (，4)
C. D. ( ，1 )
【答案】A
【解析】
【分析】由题且不共线，据此可得答案.
【详解】因向量的夹角为锐角，则，
且不共线，即.
综上可知，或.
故选：A
3. 已知 则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】解：因为 ，
所以，
故选：C
4. 已知函数，为了得到函数的图象，只需把的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象平移变换知识对各选项进行辨析即可.
【详解】对于A，把的图象向左平移个单位长度，可以得到
，故选项A不正确；
对于B，把的图象向右平移个单位长度，可以得到
，故选项B不正确；
对于C，把的图象向右平移个单位长度，可以得到
，故选项C不正确；
对于D，把的图象向左平移个单位长度，可以得到
，故选项D正确.
故选：D.
5. 如图，在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量基本定理，用基底表示所求向量，根据向量的线性运算求解即可.
【详解】由已知，∵中，为边上的中线，∴，
又∵，∴，
∴.
故选：A.
6. 若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将化为，后利用基本不等式可得答案.
【详解】，
因，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
7. 如图是位于河南省焦作市的“腾飞”铜马雕塑，建于1985年，寓意焦作人民奋发昂扬的精神风貌.某同学为测量雕塑的高度CD，选取了与雕塑底部在同一条水平直线上的点A，B，并测得米，则雕塑的高度CD为（ ）
参考数据：
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】设，在中，得到，在中，利用正弦定理求解.
【详解】解：设，
在中，，
在中，由正弦定理得，
即，
所以，
故选：C
8. 已知 则（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件得到，则，后由函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为.
注意到，
因为在上单调递减，所以，所以.
因为均在上单调递减，所以.
又在上单调递增，所以.
综上可知，.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若则（ ）
A. B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立D. 事件A与B不一定相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可.
【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故B正确；
，所以，故A不正确；
又，故成立，
故事件A与B相互独立，故C正确，D错误
故选：BC.
10. 已知向量，则（ ）
A ∥ B.
C. D. 与的夹角为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量平行，向量模，向量垂直，向量夹角的坐标表示验证各选项正误即可得答案.
【详解】A选项，，因，则与不共线，故A错误；
B选项，，
又，则，故B正确；
C选项，因，则与不垂直，故C错误；
D选项，，又，
则，即与的夹角为 ，故D正确.
故选：BD
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 直线是的图象的一条对称轴
C. 函数是偶函数
D. 函数在上单调递减
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】因为，所以，所以，即，
又，由于，所以，
所以，即，所以，
根据诱导公式得，
所以，故A选项正确；
令得，
不存在，使得，
所以直线不是的图象的一条对称轴，B选项错误；
因为，所以，
易知函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，C选项错误；
令得，
当时，得在上单调递减，
所以函数在上单调递减，所以D选项正确.
故选：AD
12. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则有两解
B. 若，，，则
C. 若，，是角的平分线，且点在边上，则的长度可能为
D. 若，，则面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用二倍角的正弦公式、正弦定理以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用等面积法求出的取值范围，可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式结合三角形的面积公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，，
由正弦定理可得，
所以，，故有两解，A对；
对于B选项，因为，，，可得，
所以，，则为锐角，故，B错；
对于C选项，设，其中，则，
因为，即，
即，
所以，，而，C对；
对于D选项，由余弦定理可得，
所以，，当且仅当时，等号成立，
故，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下:83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为___________ .
【答案】
【解析】
【分析】由百分位数定义可得答案.
【详解】因，则从小到大第8个成绩为学习成绩的75%分位数，即.
故答案为：
14. 已知向量的夹角为60°，且 ，则在方向上的投影数量为___________ .
【答案】-1
【解析】
【分析】先求出向量 与向量 的夹角，再根据投影的定义求解.
【详解】设向量 ， 与 的夹角为 ，则 ，
，
， 在 方向上投影的数量为 ，
故答案为：-1.
15. 若函数 有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 __________ .
【答案】
【解析】
【分析】求出函数在上的零点，分析可知，直线与函数在上的图象无交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，令可得；
当时，，此时函数单调递减，
因为函数有且只有一个零点，所以，函数在上无零点，
由可得，
所以，直线与函数在上的图象无交点，如下图所示：
且当时，，由图可知，当或时，直线与函数在上的图象无交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】分别在和中，利用余弦定理得到，，根据，两式相加得到，然后利用余弦定理结合基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因为，所以，
两式相加得，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量满足||=2，||=1，且与的夹角为120°.
（1）求||;
（2）求与的夹角.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量模的计算公式可得答案；
（2）利用向量夹角计算公式可得答案.
小问1详解】
；
【小问2详解】
，
，
，
则，又，则与的夹角为.
18. 已知函数
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间 上的最大值与最小值.
【答案】（1）；；
（2）在区间 上的最大值为2，最小值为1.
【解析】
【分析】（1）由周期计算公式及单调递减区间可得答案；
（2）由题可得，后由在上的单调性可得答案.
【小问1详解】
因，则最小正周期为；
因在上单调递减，则，
即的单调递减区间为：；
【小问2详解】
因，则，又在上单调递增，在上单调递减，.
则当，即时，取最大值，为；
当，即时，取最小值，为；
即在区间 上的最大值为2，最小值为1.
19. 已知的内角，，所对的边分别为，且向量与
平行.
（1）求;
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得，在根据正弦定理进行边角互化即可求得角；
（2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面积公式求解即可.
【小问1详解】
由题意得：，所以，
由正弦定理得：，
又因为，则有，
又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得：，
又，，，
所以，解得，
则的面积.
20. 全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:
（1）求的值以及这100名居民问卷评分的中位数；
（2）若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由各组数据频率之和为1可得a,由频率分布直方图计算中位数公式可得答案；
（2）由（1）结合频率分布直方图可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列举法可知总情况数与2人中恰有1人的评分在[70,75)内的情况数,即可得答案.
【小问1详解】
由频率分布直方图,
；
注意到前3个矩形对应频率之和为：,
前4个矩形对应频率之和为：,
则中位数在之间,设为x,则,即中位数为.
【小问2详解】
评分在[65,70),[70,75)对应频率为：,则抽取6人中,[65,70)中的有2人,设为,[70,75)中的有4人,设为.
则从6人中选取2人的情况为：
,共15种,恰有1人在[70,75)中的有8种情况,
故相应概率为：.
21. 如图，在中，，，是边的中点，
（1）求边的长;
（2）若点在边上，且△的面积为，求边的长.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理可求的长，利用为中点可得答案；
（2）先利用余弦定理求出的长，再求出，利用面积公式可求答案.
【小问1详解】
因为，，，
所以，解得，
因为是边的中点，所以.
【小问2详解】
在中，;
,
,
因为△的面积为，所以,
即，解得.
22. 已知函数
（1）判断的奇偶性;
（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）若方程在区间上恰有1个实根，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）单调递增，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】(1)根据奇偶性的定义求解；
(2)根据单调性的定义证明；
(3)先求出 的值域，令 ，将原方程等价于直线 与函数 只有一个交点即可.
【小问1详解】
因为，定义域为R，
又 ，
所以 是奇函数；
【小问2详解】
函数单调递增，
设 ，则有：
，
因为 ，，，
所以，即，
所以函数单调递增；
【小问3详解】
由于 是单调递增的，当 时， ，
令 ，则 等价于方程 在 时有一个根，
也就等价于函数 与直线 在时有一个交点，
函数图象如下：
，
当 时， ，当 时， ，
由图可知：当 时满足题意；
综上，实数λ的取值范围为 .