2022-2023学年河南省济源第一中学高一下学期6月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源第一中学高一下学期6月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是（ ）
A．检验10件产品的质量
B．银行对公司10万元存款的现钞的真假检验
C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量
D．检验一批汽车的防碰撞性能
【答案】D
【分析】根据抽样与普查的概念，分析即可得答案.
【详解】根据抽样与普查的概念可得，A、B、C一般采用普查方法，需逐一检验，D采用抽样调查的方法.
故选：D
2．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：
所以，
故选：D.
【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
3．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为，现按型号用分层随机抽样的方法随机抽取容量为n的样本.若抽到24件乙型号产品，则n等于（ ）
A．80B．70C．60D．50
【答案】A
【解析】根据分层抽样的性质，产品数量之比为,按照比例抽取即得解.
【详解】因为，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了分层抽样的性质，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
4．甲､乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲､乙的平均数，，分别表示甲､乙的方差，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由平均数和方差的定义和性质判断即可得出结果.
【详解】平均数是每个矩形的底边中点的横坐标乘以本组频率（对应矩形面积）再相加，
因为两组数据采取相同分组且面积相同，故，
由图观察可知，甲的数据更分散，所以甲方差大，即，
故选：B.
5．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】赛马的基本事件总数是种，用列举法列举出齐王可以获胜的情况，根据古典概型的计算公式求解即可.
【详解】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，由题意可知，所有的基本事件有aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中齐王可以获胜的事件有aA，bA，cA，bB，cB，cC，共种，根据古典概型的计算公式，齐王的马获胜的概率.
故选：A.
6．在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】由已知求得三角形的面积，再由等积法求点到平面的距离．
【详解】如图，在正方体中，，是的中点，
则，，．
．
设点到平面的距离为，
由，得，
解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知结合余弦定理可得，又即可求，，再由余弦定理求c.
【详解】，
∴，又，则，
∴，，又，故，
∴.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据余弦定理的边角关系，结合已知等式条件求，.
8．如图，在平行四边形中，M、N分别为、上的点，且，，连接交于P点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，，再由，且，得到，由M，N，P三点共线求解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
又，且，
所以，
因为M，N，P三点共线，
所以
解得，
故选：A
9．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，由题意可得求得，从而可求出母线长，然后利用余弦定理可求得答案
【详解】解：几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，
因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，
所以，得，
所以，
设圆锥的轴截面的顶角为，则
，
故选：C
10．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将向量用表示，求得模长及，从而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可.
【详解】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，
则，
，，
则向量在向量上的投影向量为：
，
故选：D
【点睛】关键点点睛：表示出，计算得到，利用投影公式求解.
11．下列关于各事件发生的概率判断错误的是（ ）

A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为
B．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为
D．已知集合，，在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为
【答案】D
【分析】结合列举法和古典概型公式可直接判断AB，由古典概型公式可判断CD.
【详解】对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲、乙），（甲、丙），（乙、丙），共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为，故A正确；
对于B，从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该试验属于古典概型．又所有基本事件包括，，，四种情况，而能构成三角形的基本事件只有一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是，故B正确；
对于C，该树枝的树梢有6处，有2处能找1到食物，所以获得食物的概率为，故C正确；
对于D，因为，，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是，故D错误．
故选：D
12．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定外接圆圆心，确定在三棱锥的体积最大时外接球球心与、的位置关系，再由勾股定理求出半径，即可得体积.
【详解】∵，， 则是等腰直角三角形，
∴为所在截面圆的直径，
取的中点D，则为外接圆圆心，
设三棱锥外接球的球心为，
则平面，
底面的面积为定值，
∴当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时，棱锥的最大高度为，棱锥的体积最大，
则三棱锥的体积，解得，
设外接球的半径为，则，，
在中，，
在中，，
由勾股定理得：，解得．
∴外接球的体积．
故选：C．
二、填空题
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，B，C，已知，若△ABC的面积为，则a+c的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理进行边角互化，再根据余弦定理求得角B，由三角形的面积公式求得，根据基本不等式可求得答案．
【详解】由及正弦定理可得，
所以由余弦定理的推论可得，因为，所以
因为的面积为，所以，即，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；
（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；
（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.
14．高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，则该小组12名学生成绩的分位数是 ．
【答案】92
【分析】利用百分位数的计算公式进行计算.
【详解】从小到大排列数据为：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，
由，故选取第9个和第10个数的平均数作为分位数，
即，所以该小组12名学生成绩的分位数是.
故答案为：92.
15．已知一个圆锥的底面面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于 .
【答案】
【分析】根据圆锥的底面积求得底面半径，由展开图是半圆求得母线长，找到外接球球心，在三角形中求得外接球半径，从而求得外接球表面积.
【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线为l，则，
又圆锥侧面展开图是半圆，，
如图是圆锥的正截面，
则，则外接球球心即正三角形的外接圆圆心，且半径即外接球半径，其半径为，则外接球表面积为
故答案为：16π
【点睛】关键点点睛：由条件求得圆锥参数，从而找到外接球球心位置，在三角形中求得半径，从而求得表面积.
16．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩 十万只.
【答案】1.6
【解析】由题意结合平均数，方差的定义整理计算即可求得最终结果.
【详解】设该工厂这5天平均每天生产口罩为，
由题意可得，
则，
由，
可得，
解得.
故答案为：1.6
三、解答题
17．某企业员工人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数、、的值；
(2)现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，问：这三组应各取多少人？
(3)若同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄.
【答案】(1)，，
(2)这三组中抽取的人数分别为、、
(3)
【分析】（1）计算出第组的频率，结合频率、频率和总人数之间的关系可求得的值，再利用频率、频率和总人数之间的关系可求得、的值；
（2）计算出第、、组的人数之比，结合分层抽样可计算出这三组所抽取的人数；
（3）将每个矩形底边的右端点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得结果.
【详解】（1）解：第组的频率为，所以，，，
.
（2）解：第、、组的人数之比为，
现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，
第组抽取的人数为人，第组所抽取的人数为人，
第组所抽取的人数为人.
（3）解：，
所以估计该企业员工的平均年龄为.
18．如图，平面，平面，与不相等，，，四棱锥的体积为，为的中点，求：

(1)的长度；
(2)证明：∥平面；
(3)证明：平面平面.
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意可证得平面，可得为四棱锥的高，然后利用四棱锥的体积为，可求出的长，
（2）取的中点，连接，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，从而可得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，
（3）由，为中点，可得，结合可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）因为平面，平面，所以∥，
因为与不相等，所以四边形为梯形，
因为，，所以，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以为四棱锥的高，
所以，
解得.
（2）取的中点，连接，
因为为中点，所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
（3）因为，为中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为∥，所以，
因为∥，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.

四、证明题
19．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
【答案】解：（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题” ．
由已知，，，．
（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
五、解答题
20．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是，，；（2）.
【解析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件，，，由已知列出的方程组可得答案；
（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.
【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件，，，
由于，，为互斥事件，
根据已知，得，
解得，
所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是，，.
（2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为，
则两个球颜色不相同的概率是.
【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A1、A2、…、An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An发生(即A1、A2、…、An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
21．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．

【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.
22．如图，已知四棱锥中，，，，，分别为，的中点.
（1）证明：点在平面内；
（2）若平面平面，为等边三角形，且，求平面和平面所成锐二面角的大小.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)根据两平行直线可以确定一个平面，只需证明即可；
(2) 连结，根据已知可证为平面和平面所成二面角的平面角，在为等边三角形，结合为的中点，即可求出的大小.
【详解】(1)证明：因为，分别为，的中点，所以，又，
所以，所以与共面，所以点在平面内；
(2)连结，
因为，分别为，的中点，所以，且 ，
又，，所以且，所以四边形为平行四边形，
因为平面平面，，平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以,又，
所以即为平面和平面所成二面角的平面角，
在等边三角形中，为的中点，所以，
所以平面和平面所成锐二面角的大小为
【点睛】方法点睛：找二面角的平面角常用的方法有：
(1)定义法：作棱的垂面，得平面角．
(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质，取中点找二面角．
区间
频数