（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案4.6《正弦定理和余弦定理及应用》 (2份打包，原卷版+教师版)

这是一份（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案4.6《正弦定理和余弦定理及应用》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含小白高考新高考数学零基础一轮复习教案46《正弦定理和余弦定理及应用》教师版doc、小白高考新高考数学零基础一轮复习教案46《正弦定理和余弦定理及应用》原卷版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共29页， 欢迎下载使用。
知识点一 正弦定理、余弦定理
1．正、余弦定理及变形
[提醒] 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．谨记常用结论
(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则
①sin A＝sin(B＋C)，cs A＝－cs(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．
②sin eq \f(A,2)＝cs eq \f(B＋C,2)，cs eq \f(A,2)＝sin eq \f(B＋C,2).
③sin A＝sin B⇔A＝B；
sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs Ac，△ABC的面积为5eq \r(3)，则c＝________.
知识点二 解三角形应用举例
测量中几个术语的意义及图形表示
[提醒] (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．
(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
[重温经典]
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.
2．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________n mile.
3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.
第2课时 精研题型明考向——解三角形及应用举例
一、真题集中研究——明考情
1．在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cs B＝( )
A.eq \f(1,9) B．eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
2．在①ac＝eq \r(3)，②csin A＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，________？
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝eq \r(3)c，b＝2eq \r(7)，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋eq \r(3)sin C＝eq \f(\r(2),2)，求C.
4．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asineq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 三角形基本量的求解问题
[典例]在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)； 条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16).
[方法技巧]
用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
[针对训练]
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝sin 2B，且b＝2，c＝eq \r(3)，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B．eq \r(3) C．2 D．2eq \r(3)
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,4) D．eq \f(5π,6)
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcs A＝eq \r(3)asin B．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2eq \r(2)，B＝eq \f(π,4)，求b，c的长．
题型二 三角形形状的判断
[典例] (1)在△ABC中，cseq \f(A,2)＝eq \r(\f(1＋cs B,2))，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
[方法技巧] 判定三角形形状的2种常用途径
[针对训练]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＋bsin B＜csin C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋cs A＝eq \f(5,4).
(1)求A；
(2)若b－c＝eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
题型三 三角形面积问题
[典例]在条件：①(a＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，②asin B＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))，③bsin eq \f(B＋C,2)＝asin B 中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2eq \r(6)，________，求△ABC的面积．
[方法技巧] 求解与三角形面积有关的问题的步骤
[针对训练]
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(2\r(3),3)，A＝eq \f(π,3)，b＝1，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),4) C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)
2．在①eq \f(b,a)＝eq \f(cs B＋1,\r(3)sin A)；②2bsin A＝atan B；③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________．
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．
题型四 正、余弦定理在平面几何中的应用
[典例]在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
(1)若AB＝eq \f(3,2)，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cs∠BDC.
[方法技巧]
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[针对训练]
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝eq \r(2)，B＝45°.
(1)求sin C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cs∠ADC＝－eq \f(4,5)，求tan∠DAC 的值．
题型五 解三角形应用举例
[典例]济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度为________m．(精确到1 m)
[方法技巧]
解三角形的实际应用问题的类型及解题策略
1．求距离、高度问题
(1)选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2．求角度问题
(1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．
[针对训练]
1.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)( )
(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732，eq \r(5)≈2.236，eq \r(7)≈2.646)
A．39米 B．43米 C．49米 D．53米
2.如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为________．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(3,2) B．eq \f(4,3) C.eq \r(2) D．eq \r(3)
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(3)b，A－B＝eq \f(π,2)，则角C＝( )
A.eq \f(π,12) B．eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
3．在△ABC中，如果cs(2B＋C)＋cs C>0，那么△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sin A＝eq \f(2\r(2),3)，sin B> sin C，a＝3，S△ABC＝2eq \r(2)，则b的值为( )
A．2或3 B．2 C．3 D．6
5．在△ABC中，cs B＝eq \f(1,4)，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(15),4)
6.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝eq \f(\r(6),2)AD，BC＝2AD，则sin C的值为( )
A.eq \f(\r(15),8) B．eq \f(\r(15),4) C.eq \f(1,8) D．eq \f(1,4)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccs B＝sin A，C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，a＝eq \r(6)，cs B＝eq \f(1,3)，则b＝________.
8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs B＝eq \f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq \r(2)，则△ABC的周长为________．
9．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cs∠ABD＝________.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B＋sin C,cs B＋cs C).
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC的面积S＝10eq \r(3)，请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若a＝3，求△ABC周长l的取值范围．
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足eq \r(3)sin A＋cs A＝0.有三个条件：①a＝1；②b＝eq \r(3)；③S△ABC＝eq \f(\r(3),4).其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并解答下面两个问题：
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝a2＋c2－2accs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
形式
a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝eq \f(a,2R)；sin B＝eq \f(b,2R)；sin C＝eq \f(c,2R)；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
asin B＝bsin A，bsin C
＝csin B，asin C＝csin A；
eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
名称
意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线eq \a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目标视线在水平视线eq \a\vs4\al(下)方的叫做俯角
方位角
从某点的指eq \a\vs4\al(北)方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ