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福建省泉州市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题
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这是一份福建省泉州市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题，共9页。试卷主要包含了“”是“，”成立的，展开式中项的系数为，已知曲线，在的展开式中，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
一．单项选择题(共有8小题，每小题5分，共40分)
1．已知复数z满足z＝，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．“”是“，”成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 有极大值 B.有极小值
C. 有极大值 D.有极小值
4．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲，乙，丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A. 50种 B.60种 C.80种 D.90种
5．展开式中项的系数为（ ）
A. B. C. D.
6．某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天下午最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.
A.444种 B.1776种 C.1440种 D.1560种
7．已知函数的定义域为，且满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D.
8．已知对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题(共有4小题，每小题5分，共20分，在每小题在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知曲线：，下列说法正确的有（ ）
A.若，则为椭圆 B.若为焦点在轴上的椭圆，则
C.若，则为焦点在轴上的双曲线 D.若为双曲线，则焦距为
10．在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A.所有项的系数和为0 B.所有项的系数绝对值和为64
C.常数项为20 D.系数最大的项为第4项
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A.在处取得极大值 B.有两个不同的零点
C. D.若在上有解，则
12．下列不等式正确的有（ ）
A. B. C. D.
二:填空题(共有4个小题，每题5分，共20分)
13．安排个人完成项不同的工作，每人参与项，每项工作至少1人完成，则不同的安排方式
共有________种.（用数字作答）.
14．小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，单价均为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选购方法共有______种.（用数字作答）
15．已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为_____.
16．已知函数，，若函数有个不同的零点，则 的取值范围是_________．
三、解答题(共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.)
17．在二项式的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等.
（1）求的值，并求所有项的二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项.
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在处有极小值，求函数在区间上的最大值．
19． 斜三棱柱ABC－HDE中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是边长为1的等边三角形，DC⊥BC，且DC长为，设DC中点为M，且F，G分别为CE，AD的中点.
（1）证明：FG//平面ABC； （2）求二面角B－AC－E的余弦值.
20．已知椭圆：的焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆右顶点与的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且满足，求的面积最大值.
21．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）令，若在上恒成立，求整数的最大值.
（参考数据：，）
22．已知函数有两个不同极值点，.
（1）求实数的取值范围； （2）求证：.
2020-2021学年度上学期期末考试参考答案 高二 数学
1．DABC 5．DBCD 9．BC 10．AB 11．ACD 12．CD
13． 14． 15． 16． 或
17． (1) ∵ 二项式的展开式的通项公式为，
由已知得，即，解得，
所有二项式系数的和为；
(2)展开式中的通项公式，
若它为常数项时.
所以常数项是
18． 【解析】（1）当时，，，
所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.
（2）因为，
因为函数处有极小值，所以，
所以由，得或，
当或时，，当时，，
所以在，上是增函数，在上是减函数，
因为，， 所以的最大值为.
20． 解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，
且 ，所以椭圆的方程为 .
（2）依题意，可设直线的斜率存在且不为零，
不妨设直线，则直线，
联立： 得，则
同理可得：，
所以的面积为：
，
当且仅当，即是面积取得最大值.
21．
22．【解析】（1）因为，是函数的两个极值点，
所以，是的两个变号根，
即，是的两个变号根，
令，则，
当，，函数单调递增，不可能有两个根；
当时，令，得，单调递增；
令，得，单调递减，
所以，令，得.
因为时，，时，，所以
（2）可得 ，，两式相减得.
设，则.
所以要证：，只需证，即，
也就是，整理为，即证.
令，则.则即证.
令，，则，
所以在t>1时单调递增，即时，，
所以时，，故原结论成立，即
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一．单项选择题(共有8小题，每小题5分，共40分)
1．已知复数z满足z＝，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．“”是“，”成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 有极大值 B.有极小值
C. 有极大值 D.有极小值
4．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲，乙，丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A. 50种 B.60种 C.80种 D.90种
5．展开式中项的系数为（ ）
A. B. C. D.
6．某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天下午最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.
A.444种 B.1776种 C.1440种 D.1560种
7．已知函数的定义域为，且满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D.
8．已知对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题(共有4小题，每小题5分，共20分，在每小题在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知曲线：，下列说法正确的有（ ）
A.若，则为椭圆 B.若为焦点在轴上的椭圆，则
C.若，则为焦点在轴上的双曲线 D.若为双曲线，则焦距为
10．在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A.所有项的系数和为0 B.所有项的系数绝对值和为64
C.常数项为20 D.系数最大的项为第4项
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A.在处取得极大值 B.有两个不同的零点
C. D.若在上有解，则
12．下列不等式正确的有（ ）
A. B. C. D.
二:填空题(共有4个小题，每题5分，共20分)
13．安排个人完成项不同的工作，每人参与项，每项工作至少1人完成，则不同的安排方式
共有________种.（用数字作答）.
14．小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，单价均为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选购方法共有______种.（用数字作答）
15．已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为_____.
16．已知函数，，若函数有个不同的零点，则 的取值范围是_________．
三、解答题(共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.)
17．在二项式的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等.
（1）求的值，并求所有项的二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项.
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在处有极小值，求函数在区间上的最大值．
19． 斜三棱柱ABC－HDE中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是边长为1的等边三角形，DC⊥BC，且DC长为，设DC中点为M，且F，G分别为CE，AD的中点.
（1）证明：FG//平面ABC； （2）求二面角B－AC－E的余弦值.
20．已知椭圆：的焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆右顶点与的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且满足，求的面积最大值.
21．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）令，若在上恒成立，求整数的最大值.
（参考数据：，）
22．已知函数有两个不同极值点，.
（1）求实数的取值范围； （2）求证：.
2020-2021学年度上学期期末考试参考答案 高二 数学
1．DABC 5．DBCD 9．BC 10．AB 11．ACD 12．CD
13． 14． 15． 16． 或
17． (1) ∵ 二项式的展开式的通项公式为，
由已知得，即，解得，
所有二项式系数的和为；
(2)展开式中的通项公式，
若它为常数项时.
所以常数项是
18． 【解析】（1）当时，，，
所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.
（2）因为，
因为函数处有极小值，所以，
所以由，得或，
当或时，，当时，，
所以在，上是增函数，在上是减函数，
因为，， 所以的最大值为.
20． 解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，
且 ，所以椭圆的方程为 .
（2）依题意，可设直线的斜率存在且不为零，
不妨设直线，则直线，
联立： 得，则
同理可得：，
所以的面积为：
，
当且仅当，即是面积取得最大值.
21．
22．【解析】（1）因为，是函数的两个极值点，
所以，是的两个变号根，
即，是的两个变号根，
令，则，
当，，函数单调递增，不可能有两个根；
当时，令，得，单调递增；
令，得，单调递减，
所以，令，得.
因为时，，时，，所以
（2）可得 ，，两式相减得.
设，则.
所以要证：，只需证，即，
也就是，整理为，即证.
令，则.则即证.
令，，则，
所以在t>1时单调递增，即时，，
所以时，，故原结论成立，即
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