山西省运城市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份山西省运城市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了答题时使用0，保持卡面清洁，不折叠，不破损， 已知，，，则， 我国著名数学家华罗庚曾说， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试题满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，集合，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得，由集合的运算与关系对选项逐一判断，
【详解】由得，，，
对于A，，故A错误，
对于B，C，，故B错误，C正确，
对于D，，故D错误，
故选：C
2. 函数在的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】因为函数和在上都是单调递减，
所以在上单调递减，
又，，，，，
故，
所以函数的零点所在区间是.
故选：B
3. 设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】由，可知．
“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．
4. 我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（ ）
A. 1069千米B. 1119千米C. 2138千米D. 2238千米
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式直接求解.
【详解】嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138，
所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（千米）.
故选：D
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小可得答案.
【详解】，，所以，
由，得，得，
综上所述：.
故选：D
6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果.
【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，
而D中的函数为偶函数，故排除D；
由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；
对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象.
故排除A，选C.
故选：C
7. 已知为第二象限角，且，则的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用诱导公式化简所求代数式，代值计算即可得出所求代数式的值.
【详解】因为，则，
又因为为第二象限角，则，
因此，
.
故选：A.
8. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果.
【详解】
函数的图像与函数的图像有公共对称轴，分别做出两个函数的图像如图所示，
由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线对称，则所有交点横坐标之和为.
故选：C
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域是
B. 函数在其定义域上单调递减
C. 函数的值域是
D. 函数的图象过定点
【答案】CD
【解析】
【分析】选项A. 求出函数的定义域可判断；选项B.函数在其定义域上不是单调函数可判断；选项C. 由指数函数的性质可判断；选项D. 由时，可判断.
【详解】选项A. 函数的定义域是,故不正确.
选项B. 函数在其定义域上不是单调函数，故不正确.
选项C. 函数的值域是，故正确.
选项D. 当时，，则过，故正确.
故选：CD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为2
B. 若正实数a，b满足，则的最小值为
C. 关于x的不等式的解集是，则
D. 函数（且）的定义域为R，则实数m的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】A由三角函数的性质，结合特殊情况判断；B应用基本不等式“1”的代换求最值；C由一元二次不等式的解集求参数a、b，即可判断；D由对数函数、二次函数的性质有即可判断.
【详解】A：当时，显然，故错误；
B：由，当且仅当时等号成立，正确；
C：根据不等式的解集可知1,2是方程的根，所以，可得，则 ，正确；
D：由题意，在R上恒成立，则，解得，错误.
故选：BC
11. 已知函数，则（ ）
A. 为函数的一个周期
B. 对于任意的，函数都满足
C. 函数在上单调递减
D. 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算，可判定选项A；根据三角函数的诱导公式进行化简运算，可判定选项B；化简函数，结合三角函数的性质，可判定选项C；根据，且，结合选项A、B及函数的单调性，可判定选项D.
【详解】对于A，由，
所以为的周期，故A正确；
对于B，由，
，
所以，故B正确；
对于C，由，则，且，
根据正弦函数的性质，可得函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，函数，由，且，所以函数的最小值为；
由时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数的最大值为；
由B选项知函数关于对称，又为的周期，的值域为，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数（，为自然对数的底数），则（ ）
A. 函数至多有个零点
B. 当时，，总有成立
C. 函数至少有个零点
D. 当时，方程有个不同实数根
【答案】ABCD
【解析】
【分析】分别解方程、，取，可判断A选项；利用分段函数的单调性可判断B选项；对实数的取值进行分类讨论，确定函数在不同的取值下，的零点个数，可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，令可得，由得，可得.
故当时，函数有两个零点，所以，函数至多有个零点，A对；
对于B选项，当时，函数在上单调递增，
函数在上单调递增，且，
所以，故当时，函数在上为增函数，
故当时，，不妨设，则，则，B对；
对于C选项，当时，函数在上无零点，在上有唯一零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数在上有唯一零点，在上无零点，
综上所述，函数至少有一个零点，C对；
对于D选项，当时，.
令，则方程为.
当时，由可得，解得；
当时，由可得，解得.
当时，由可得，即，解得，
由可得，即，解得；
当时，由可得，即，该方程无解，
由可得，解得.
综上所述，方程的解集为，
所以，当时，方程有个不同实数根，D对.
故选：ABCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 命题“，”的否定是______.
【答案】，
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
该命题的否定为“，”.
故答案为：，.
14. 已知点在角的终边上，则______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求，再由齐次式化简求值.
【详解】由题意可知 ，
∴ .
故答案为：.
15. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，再结合函数的周期性和奇偶性可求得的值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且满足，
则，
所以，，即，
所以，函数是周期为的周期函数，
且当时，，
则.
故答案为：.
16. 已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是______.

【答案】
【解析】
【分析】由，推出，从而知，再由，求得的取值范围，并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．
【详解】由图知，所以，
因为，所以，即，
由，知，
因为在上恰有一个最大值和一个最小值，
所以，解得．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设集合，集合.
（1）若，求；
（2）设条件，条件，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式化简，根据并集的概念可求出结果；
（2）将是成立的必要条件，转化为，根据子集关系列式可求出结果.
【小问1详解】
由，解得，可得：，
当时，由解得，∴，
∴.
【小问2详解】
由，解得，∴.
∵是成立的必要条件，∴，
由于，所以有：，解得：.
∴实数的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）设，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据正弦函数的性质求得答案；
（2）根据求得，结合，求得，再利用诱导公式求得答案.
【小问1详解】
∵，∴，
所以的递增区间为.
【小问2详解】
由，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，
于是.
19. 已知函数，现有下列3个条件：
①相邻两个对称中心的距离是；②；③.
（1）请选择其中两个条件，求出满足这两个条件函数的解析式；
（2）将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，请写出函数的解析式，并求其在上的值域.
【答案】（1）选择见解析，
（2），
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合周期公式，选择相应的条件，代入函数解析式即可求解；
（2）根据图象变换规则即可得到函数的解析式，结合正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
选①②，因为相邻两个对称中心的距离为，
所以，得，由，得.
由，得，，则，，
因为，所以，
所以.
选①③，因为相邻两个对称中心的距离为，
所以，得，由，得．
由，得，，则，，
因为，所以，
所以.
选②③，由题意或，
即或，
得或.
因为，所以.
由，得，，则，，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.
∵，∴，∴，
∴，即函数的值域为.
20. 某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.

（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；
（2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）
【答案】（1）
（2）0.3小时后，5.2小时
【解析】
【分析】（1）当时，设，再将代入即可求出的值，当时，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值，则可写出答案；
（2）分段求出时，对应的的取值范围，即可写出答案.
【小问1详解】
当时，由图象可设，
将点的坐标代入函数表达式，解得，
即当时，，
当时，将点的坐标代入函数，
得，解得，所以，
故.
【小问2详解】
当时，，
令，即，解得，即，
又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，
当时，，
令，即，解得，
又，∴，
综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.
21. 已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求实数，的值；
（2）判断在上的单调性并用定义证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由，求出，再验证是奇函数；
（2）函数在上是减函数，设，按照作差、变形、判断符号、下结论这几个步骤证明即可；
（3）利用奇偶性转化为，根据单调性化为对任意的恒成立，再根据正弦函数值域以及二次函数知识可求出结果.
【小问1详解】
由题意，定义域为的函数是奇函数，得，
， ∴，，
经检验知，是奇函数.
故.
【小问2详解】
由（1）知，，函数在上是减函数.
证明如下：
设，则
，
∵，∴，又，
所以，即.
∴函数在上是减函数.
【小问3详解】
由，且是奇函数，
得，
∵在上是减函数，所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
由，得，∴，
所以，
故得实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若函数，，求函数最小值；
（2）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，令，则，可得出，对实数的取值进行分类讨论，利用二次函数的单调性可得出函数在的不同取值下的的最小值，综合可得出结论；
（2）设，由可得出，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，且，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，则，，
设，则，则，
则二次函数的对称轴方程为.
当时，即当时，函数在上单调递增，
故当时，；
当时，即当时，函数在上单调递减，
故当时，；
当时，即当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，.
综上：.
【小问2详解】
解：，
因为函数与图象有个公共点，
由可得且，
由，可得，
设，则，即，
又因为函数在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围为.