2022-2023学年山西省运城市盐湖区康杰中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省运城市盐湖区康杰中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合再由集合的交集运算可得答案.

【详解】集合，集合，

则

故选：B．

2．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为（    ）

A． B．1 C．2或 D．2

【答案】A

【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.

【详解】∵ 是幂函数，

∴，即，解得，或，

又当 时，单调递减，∴，

当时，，不合题意，舍去；

当，，符合题意，

故．

故选：A．

3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用最小正周期为排除选项AC；利用在区间上单调递减排除选项D；选项B以为最小正周期，且在区间上单调递减，判断正确.

【详解】选项A：最小正周期为.判断错误；

选项B：最小正周期为，且在区间上单调递减.判断正确；

选项C：最小正周期为.判断错误；

选项D：在区间上单调递增. 判断错误.

故选：B

4．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ）

A．的值域为 B．若，则的值是

C． D．的解集为

【答案】C

【分析】分段计算得到的值域为，A错误，分段计算得到，B错误，代入计算得到C正确，分段解不等式得到D错误，得到答案.

【详解】当时，，；当时，，，故的值域为，A错误；

当时，，解得；当时，，无解，B错误；

，C正确；

当时，，解得；当时，，解得，故解集为，D错误；

故选：C

5．已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的性质，三角函数的性质比较大小即可

【详解】∵，，

∴；

∵，∴；

∵，∴，

∴，又，，

∴，∴．

综上可知．

故选：B．

6．地震里氏震级是对地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能力分别为和，则的值所在的区间为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数运算及幂函数的单调性即可求解.

【详解】因为，

所以，解得，

，解得，

所以,

因为，且，

所以的值所在的区间为.

故选：C.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对于函数，有，解得且，

所以，函数的定义域为，

因为，函数为奇函数，排除CD选项，

当时，，则，排除B选项.

故选：A.

8．已知函数，对于，，且在区间上单调递减，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由时，函数取得最大值，可求得的表达式．由单调性可得的范围，从而得最大值．

【详解】由题意：在时取得最大值，

则，，

又在区间上单调递减，

则，且，，

所以，得，

所以的最大值为，

故选：C．

二、多选题

9．下列选项中，正确的是（    ）

A．函数（且）的图象恒过定点

B．若不等式的解集为，则

C．若，，则，

D．函数恰有1个零点．

【答案】CD

【分析】对A：根据指数函数的图象与性质即可求解；对B：根据一元二次不等式的解法即可求解；对C：由特称命题的否定为全称命题即可求解；对D：由函数零点存在定理即可求解.

【详解】解：对A：函数（且）的图象恒过定点，故选项A错误；

对B：若不等式的解集为，则，且和是方程的两根，

所以，解得，所以，故选项B错误；

对C：若，，则，，故选项C正确；

对D：易知函数在上单调递增，又，，所以由函数零点存在定理可得存在唯一，使，所以选项D正确.

故选：CD.

10．已知实数a，b满足，则下列关系中恒成立的是（    ）．

A．

B．

C．

D．，

【答案】ACD

【分析】根据双勾函数性质判断A，根据指数函数判断B，根据对数函数性质判断C，根据三角函数性质判断D.

【详解】因为，所以，

所以，

对于A，双勾函数在单调递增，

所以，即，A正确；

对于B，指数函数在上单调递减，

所以，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，，

因为，所以，

所以，所以，D正确，

故选:ACD.

11．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（    ）．

A．函数的图象关于点成中心对称

B．函数的最小正周期为2

C．函数的单调增区间为，

D．函数的图象没有对称轴

【答案】ABD

【分析】根据图象的平移变换可得，根据正切函数的对称中心可求A，根据周期公式可求B，利用正切函数的单调性可求C，根据正切函数不是轴对称图形可求D.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数，

然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，

令解得，当时，

所以函数的图象关于点成中心对称，A正确；

函数的最小正周期为，B正确；

令解得，

所以函数的单调增区间为，，C错误；

正切函数不是轴对称图形，D正确，

故选:ABD.

12．已知函数，若有四个不同的解且，则有    （    ）

A． B．

C． D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC选项，再通过判断B选项，

最后结合单调性判断D选项.

【详解】由题意，当时，：当0<时，：当时，，

作出函数f(x)的图象，如图所示，

易知f(x)与直线有四个交点，分别为（-2，1），（0，1），（，1），（4，1），因为有

四个不同的解且，所以故C错误；

且A正确；，又，

所以，即，B正确；

所以，且，

构造函数，且，

可知g(x)在（1，4]上单调递减，且，

所以的最小值为—．D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知，，且，则的最大值是__________．

【答案】

【分析】利用基本不等式及对数的运算，结合对数函数的单调性即可求解.

【详解】因为，，且，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以.

由对数函数可知，在上单调递增，

因为，

所以，

所以的最大值为0.

故答案为：.

14．已知函数，则____________.

【答案】2

【分析】构造一个奇函数，利用奇函数的性质求解．

【详解】设，

则，

为奇函数，所以．

所以，．

故答案为：2．

15．已知定义在R上的偶函数满足：，对，，当时，，且，则不等式在上的解集为______．

【答案】

【解析】先分析得到函数在上单调递减，周期，再得到当时，，即得解.

【详解】因为对，，当时，，

所以在上单调递减，而，

由偶函数得当时，；

又可得周期，

因为，

所以当时，；

于是的解集为．

故答案为：

【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解.

16．关于函数有下述结论：

①是偶函数；

②函数是周期函数，且最小正周期为；

③函数在区间上单调递减；

④函数在有3个零点；

⑤函数的最大值为2．

其中所有正确结论的编号是__________．

【答案】①③④⑤

【分析】利用函数奇偶性的概念即可判断①；由判断②；

由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断③；

由函数是偶函数，则只需要考虑上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断④；

由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断⑤．

【详解】解：①函数的定义域为R，又，

∴函数是偶函数，故①正确；

②当时，，时，，故最小正周期不为，故②错误；

③当时，，在上单调递减，故③正确；

④∵函数是偶函数，∴只需要考虑上的零点个数，

此时，在上有2个零点，为，

∴在有3个零点，为，故④正确；

⑤∵函数是偶函数，

∴考虑的情况即可，

当时，，

∴的最大值为2，故⑤正确．

故答案为：①③④⑤

四、解答题

17．计算下列各式的值

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；

（2）利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦公式，结合两角差的正弦公式的逆用即可求解.

【详解】（1）原式

.

（2）原式

.

18．求值：

(1)已知，，，求的值；

(2)已知，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出、，利用平方关系可得、，由利用两角差的余弦展开式可得答案；

（2）由两边平方可得，求出的范围， 由平方关系求出，再利用计算可得答案..

【详解】（1）因为，所以，

因为，，

所以，，

所以

，

因为，所以；

（2）因为，，

所以，所以，

又由，

解得，或舍去，

所以，

所以，

则.

19．已知函数图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.

（1）求和的值；

（2）求函数在，上的单调递减区间.

【答案】（1），；（2）单调递减区间为，.

【分析】（1）由最高点坐标求得，由周期求得；

（2）利用正弦函数的单调性求减区间．

【详解】解：（1）函数图象上最高点的纵坐标为2，

，.

且图象上相邻两个最高点的距离为，，.

（2）对于，令，

求得，故函数的单调减区间为，，，

再结合，，

可得函数在，上的单调递减区间为，.

20．已知函数且.

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）当时，求函数的值域；

（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）偶函数；（2）；（3）.

【解析】（1）先求得函数的定义域为R，再由，可判断函数是奇偶性；

（2）由，所以，以及对数函数的单调性可得函数的值域；

（3）对任意，恒成立，等价于，分，和，分别求得函数的最值，可求得实数的取值范围.

【详解】（1）因为且，所以其定义域为R，又，所以函数是偶函数；

（2）当时，，因为，所以，

所以函数的值域为；

（3）对任意，恒成立，等价于，

当，因为，所以，所以，解得，

当，因为，所以，所以函数无最小值，所以此时实数不存在，

综上得：实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：

① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

② 数形结合( 图象在 上方即可)；

③ 讨论最值或恒成立.

21．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.

（1）设，求三角形木块面积；

（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.

【答案】（1）；（2）,的面积最大值为

【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；

（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.

【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，

所以,

，

所以；

（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，

所以可只分析时的情况，

，

，

所以

，

令，，

故，

，

，

，

，

，

函数在单调递增，

所以当时，的面积最大，最大值为.

【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.

22．已知奇函数和偶函数满足．

(1)求和的解析式；

(2)存在，，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出的最值，进而求出实数a的取值范围.

【详解】（1）因为奇函数和偶函数满足①，所以②；联立①②得：，；

（2）变形为，因为，所以，所以，

当时，在上有解，符合要求；

令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，要想上有解，只需，解得：，所以；

若且，在上单调递增，要想上有解，只需，解得：，所以；综上：实数a的取值范围为.