辽宁省辽阳市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷

这是一份辽宁省辽阳市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，某市高三年级男生的身高X等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一、二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．4B．8C．6D．12
2．某地气象局天气预报的准确率为，则4次预报中恰有3次准确的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，，则直线FP的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ）
A．32种B．128种C．64种D．256种
5．某市高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（ ）
参考数据：，，．
A．0.477B．0.478C．0.479D．0.480
6．如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线与圆心在x轴上的圆M相切，圆M与圆N：外切，则圆M的半径为（ ）
A．或B．
C．D．或
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．该展开式中共有6项B．各项系数之和为1
C．常数项为-60D．只有第4项的二项式系数最大
10．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
11．如图，在正方体中，P为的中点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，平面
C．当时，PQ与CD所成角的余弦值为
D．当时，平面
12．已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．3D．4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则________．
14．在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则________，________．
15．有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是________．
16．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
某高校《线性代数》课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下：
单位：人
（1）求e，f，g，h的值，并估计男生中是非数学专业的概率；
（2）能否有90%的把握认为选数学专业与性别有关？
附：，其中．
18．（12分）
已知直线l：，，圆C：，l过定点A，l与圆C相交于点M，N，且________．
从①；②△CMN为等边三角形；③这三个条件中任选一个填入题中的横线上，并解答问题．
（1）求k的值；
（2）求△CMN的面积．
19．（12分）
已知抛物线C：，过点的直线l交C于A，B两点．
（1）若线段AB的中点为，求l的斜率；
（2）证明：以线段AB为直径的圆过坐标原点O．
20．（12分）
为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加．现有来自甲俱乐部的运动员4名，其中知名选手2名；乙俱乐部的运动员5名，其中知名选手3名．从这9名运动员选择5名参加比赛．
（1）求选出的5人中恰有2人是知名选手，且这2名知名选手来自同一俱乐部的概率；
（2）设随机变量X为选出的5人中知名选手的人数，求X的分布列与数学期望．
21．（12分）
如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，，，平面ABCD．
（1）证明：．
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且．
（1）求C的方程．
（2）过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．
高二考试数学试卷参考答案
1．C
直线与y轴交于点，与x轴交于点，所以围成的三角形的面积为．
2．B
由题意可知，4次预报中恰有3次准确的概率．
3．D
因为，所以，解得，则，，所以直线FP的斜率为．
4．C
若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法．故一共有种去法．
5．A
由题意可知，，，所以．
6．A
连接（图略）．易知．因为，所以，所以．
7．B
由题意可知，X的取值可能为-2，0，2．因为，，，所以．故．
8．D
如图，过点M作直线的垂线，垂足为P，设圆M的半径为r．易知直线的倾斜角为45°，点A的坐标为．
若点M在点N左侧，则有，即，解得；若点M（记为）在点N右侧，垂直于，则，即，解得．
9．BD
因为二项式系数之和为64，所以，则该展开式中共有7项，A错误；令，得该展开式的各项系数之和为1，B正确；通项．令，得，，C错误；二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，D正确．
10．ABC
对于A，有种排法，故A正确；对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确；对于C，采用插空法，有种排法，故C正确；对于D，有种排法，故D错误．
11．ABC
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，所以，，所以，所以，A正确．
当时，，所以，从而平面，B正确．
当时，，，所以PQ与CD所成角的余弦值为，C正确．
当时，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，D错误．
12．CD
由，得．因为点，在椭圆C上，
所以消去得，
解得．又，所以，显然，解得．
13．3
因为，，所以，解得．
14．1；
易知．因为，所以，解得，所以．
15．
设事件“第一次抽到函数题”，“第二次抽到函数题”，则，，所以．
16．
由题意可知，X服从两点分布，可得，，．，当且仅当，即时，取得最大值．
17．解：（1）由题意可知，，……1分
，……2分
，……3分
．……4分
故男生中是非数学专业的概率．……5分
（2）由题意可知．……8分
又因为，而且查表可得，
由于，所以没有90%的把握认为选数学专业与性别有关．……10分
18．解：直线l：过定点．……2分
选①．（1）因为，所以轴．……3分
设，则，解得或，……5分
所以直线l的斜率或．……6分
（2）联立方程组
消去x得，……8分
整理得，．又，所以．……10分
因为轴，，所以．……12分
选②．（1）因为△CMN为等边三角形，所以圆心C到直线l的距离，……3分
所以，……5分
解得．……6分
（2）联立方程组消去x得，……8分
整理得，解得或．……10分
不妨设点N的纵坐标为，则轴，，所以．……12分
注：或直接求．
选③．（1）因为，所以点A到弦MN的中点E的距离为，……3分
此时，所以，……5分
所以直线l的倾斜角为60°或120°，则．……6分
（2）联立方程组消去x得，……8分
整理得，解得或．……10分
不妨设点N的纵坐标为，则轴，，所以．……12分
19．解：设直线l的方程为，，．……1分
联立方程组消去x得，……3分
所以，．……4分
（1）因为线段AB的中点为，所以，解得，……5分
所以l的斜率为2．……6分
（2）证明：因为，，所以．……8分
又，所以，……10分
所以，故以线段AB为直径的圆过坐标原点O．……12分
20．解：（1）设“选出的5人中恰有2人是知名选手且这2名知名选手来自同一俱乐部”为事件A，……1分
则．……5分
（2）由题意可知，X的取值可能为1，2，3，4，5．
，……6分
，……7分
，……8分
，……9分
，……10分
所以随机变量X的分布列为
……11分
．……12分
21．（1）证明：如图，连接AC，．
因为为棱台，所以A，，，C四点共面．
又因为四边形ABCD为菱形，所以．……2分
因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
又因为且，平面，所以平面．……4分
因为平面，所以．……6分
（2）解：取BC的中点Q，连接AQ．
因为底面ABCD是菱形，且，所以△ABC是正三角形，所以，
即．
又平面ABCD，所以以A为原点，AQ，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．
假设点E存在，设点E的坐标为，，可得，．
设平面的法向量为，则
取，可得，，所以．又平面的一个法向量为，所以，解得．……9分
由于二面角为锐角，则点E在线段QC上，所以，即．
故BC上存在点E，当时，二面角的余弦值为．……12分
22．解：（1）因为FN的斜率为1，且（O为坐标原点），
所以，．……1分
因为，所以，从而，……3分
所以双曲线C的方程为．……4分
（2）设直线AP的方程为，AQ的方程为，则，．……5分
设存在定点，使得，则，所以．……6分
当PQ不垂直于x轴时，设直线PQ的方程为，联立方程组
消去y得，所以，．……7分
因为，……8分
所以，……10分
所以，即存在定点，使得．……11分
当PQ垂直于x轴时，直线PQ的方程为，联立方程组解得
不妨设，由，得，
所以存在定点，使得．
综上，在x轴上存在定点，使得．……12分广告费用x/万元
1.8
2.2
3
5
销售额y/万元
t
7
14
16
数学专业
非数学专业
总计
男生
e
f
120
女生
60
g
80
总计
160
h
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
1
2
3
4
5
P