辽宁省辽阳市协作校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题及答案

高二考试数学试卷

―､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (    )

A. 10 B. 5 C. 20 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】用排列数公式展开即可求得.

【详解】．

故选：B

2. 已知圆C：与直线l：相切，则(    )

A. 15 B. 5 C. 20 D. 25

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆与直线相切的判定列式求解得出答案.

【详解】易知C的圆心为原点O，

设O到直线l的距离为d，

因为圆C与直线l相切，则，解得.

故选：D.

3. 若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由双曲线的定义求得双曲线的右焦点，再求得抛物线的准线，即可得到的值.

【详解】由双曲线即得右焦点为，

再由抛物线的准线为，

因此，则

故选：A.

4. 在的展开式中，系数为有理数的项是(    )

A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取值，即可得出结果.

【详解】在的展开式中，根据通项可知，

时系数为有理数，即第五项为．

故选：C

5. 某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由条件概率计算公式可得答案.

【详解】由题可知，，，.

故选：D

6. 向量在向量上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的投影向量求法直接得出答案.

【详解】向量在向量上的投影向量为.

故选：C.

7. 某市场供应的电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是．若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品不是合格品的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用条件概率和事件的独立性求解概率.

【详解】设表示买到的产品来自甲，乙厂，表示买到的产品为合格品，

则,

所以,

所以该产品不是合格品的概率为，

故选:C.

8. 某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为(    )

A. 800 B. 842 C. 864 D. 888

【答案】C

【解析】

【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的种数，再减去一人连排三天夜班、四天夜班、五天夜班的种数即可.

【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，

(1)从四人中选一人连排三天夜班，

若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种；

若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；

若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种；

若形如□▲▲▲□排列：共有种；

若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种；

因此，选一人连排三天夜班共有132种．

(2)从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，

形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．

(3)从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．

故满足题意的排夜班方式的种数为．

故选：C.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由题得，解方程组即得解.

【详解】由题意可知，则，解得，.

故选：BD

10. 已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则(    )

A. C的短轴长为 B. 的最大值为

C. C的长轴长为6 D. C的离心率为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果.

【详解】由标准方程可知，，，

所以，，．

所以短轴长为，长轴长为，即选项AC正确；

离心率，即D正确；

由椭圆性质得， 故选项B错误.

故选：ACD

11. 已知关于变量x，y的4组数据如表所示：

根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r(参考公式：)，则(    )

A.  B. 变量x，y正相关 C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据回归直线必过点解得，所以选项A正确；由回归方程和表格可知选项B错误；利用相关系数求出，所以选项C正确，选项D错误.

【详解】回归直线必过点，，，解得，所以选项A正确；

由回归方程和表格可知，变量x，y负相关，所以选项B错误；

，所以选项C正确，选项D错误.

故选：AC

12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则(    )

A.  B.

C. 点到直线CQ的距离是 D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用向量的线性运算求出，所以选项B正确；以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出选项ACD的几何量判断即得解.

【详解】，所以选项B正确；

如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，

则，所以选项A错误；

设，则点到直线CQ的距离，所以选项C正确；

因为，所以，所以，所以选项D正确.

故选：BCD

三，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知平面α的一个法向量为，，，则直线AB与平面α所成角的正弦值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据线面角的向量求法求解即可.

【详解】因为，

所以直线AB与平面α所成角正弦值为.

故答案为：

14. 甲､乙两人各自在1小时内完成某项工作概率分别为0.6，0.8，两人在1小时内是否完成该项工作相互独立，则在1小时内甲､乙两人中只有一人完成该项工作的概率为___________.

【答案】0.44##

【解析】

【分析】由独立事件和互斥事件的概率公式进行求解.

【详解】由独立事件概率乘法公式可得：甲完成而乙没有完成工作的概率为，

乙完成工作而甲没有完成的概率为，

故概率为.

故答案为：0.44

15. 若，则___________，___________.

【答案】    ①. 241    ②.

【解析】

【分析】第一空，令，可得，再令，可得；

第二空，所求即为展开式中的系数，又，

则为展开式中，系数与2倍系数之和.

【详解】令，则，

，

故；

因，

则，所以.

故答案为：241；.

16. 已知P为抛物线C：上一点，F为焦点，过P作抛物线的准线的垂线，垂足为H，若的周长不小于30，则点P的纵坐标的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】设点P的坐标为，求出的各边即得的周长为，再利用函数的单调性解不等式得解.

【详解】如图，设点P的坐标为，则. 准线与y轴的焦点为A，

则，

，

所以的周长为.

设函数，

则为减函数(减函数+减函数=减函数)，

因为，所以的解为.

故答案为：

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD，，G为棱BE的中点.

(1)证明：平面BCE.

(2)若，，，求.

【答案】(1)证明见解析；   

(2).

【解析】

【分析】(1)根据已知，利用线面垂直的判定定理可得平面ABE，从而得到，利用等腰三角形的中线性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明平面BCE；

(2)以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示即得解.

【小问1详解】

证明：因为底面ABCD，所以，

又，，平面ABE，所以平面ABE，

则.

因为G为棱BE的中点，，所以，

又，平面BCE.

所以平面BCE.

【小问2详解】

以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

依题意可得，，，.

因为，，

所以.

18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，．

(1)求，的坐标．

(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率．

【答案】(1)，的坐标分别为，   

(2)

【解析】

【分析】(1)根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解.

(2)把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以，

所以，，

故，的坐标分别为，．

【小问2详解】

设A，B两点的坐标分别为，，

则，

两式相减得．

因为弦AB的中点在椭圆内，所以，

所以直线l的斜率．

19. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：)服从正态分布，且.

(1)求或的概率；

(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率.

【答案】(1)   

(2)

【解析】

【分析】(1)由正态分布的对称性求解；

(2)利用X服从二项分布求解.

【小问1详解】

因为零件尺寸z服从正态分布，

所以，

因为，所以.

故或的概率为.

【小问2详解】

依题意可得，

所以.

20. 如图，三棱柱的底面ABC是正三角形，侧面是菱形，平面平面ABC，E，F分别是棱，的中点.

(1)证明：平面.

(2)若，，，求平面ABC与平面EFG所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析   

(2)

【解析】

【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；

(2)取AC的中点O，连接OB，，证明OB，OC，两两垂直，以O为原点，OB，OC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求解.

【小问1详解】

取的中点，连接，.

因为E，F分别是棱，BC的中点，所以，，

所以四边形MEFB为平行四边形，.

因为平面，平面，所以平面.

【小问2详解】

取AC的中点O，连接OB，.

因为四边形是菱形，所以.

因为，所以为等边三角形.

因为O为AC的中点，所以.

因为平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC.

因为底面ABC是正三角形，所以.

以O为原点，OB，OC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，所以，则，，，，所以，.

设平面EFG的法向量为，则

令，则.

因为是平面ABC的一个法向量，

且，

令平面ABC与平面EFG所成角为，由图可知为锐角，

所以.

21. 某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，，，且每次抽奖的结果相互独立.

(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为元，求的分布列与期望.

(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食”且”无蛀牙”的也有35人.

完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少年“蛀牙”.

附：，.

【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：   

(2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关

【解析】

【分析】(1)由题意可得的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可的的分布列，从而求得数学期望；

(2)由已知填充列联表，根据公式计算出，比较临界值即可.

【小问1详解】

由题意可得的所有可能取值为，

，

，

，

，

，

则X的分布列为

故.

【小问2详解】

由题意可得列联表如下：

所有，

查表可得，

因为，

所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.

22. 在①C渐近线方程为  ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．

已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______．

(1)求C的标准方程；

(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)   

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲线上即可求得C的标准方程；(2)根据坐标位置可利用对称性求得Q点坐标，分别别写出直线PM和QN的直线方程，求得交点A的坐标表示，利用韦达定理即可证明.

【小问1详解】

选①

因为C的渐近线方程为，所以，

故可设C的方程为，

代入点P的坐标得，可得，

故C的标准方程为．

选②．

因为C的离心率为，所以，得，

故可设C的方程为，

代入点P的坐标得，可得，

故C的标准方程为．

【小问2详解】

由(1)可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．

设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，

联立直线和双曲线方程得，

所以，，

直线PM：，即，

直线QN：，即，

消去y，得，

整理得，

则．

因为，所以A的横坐标为1．

故A在定直线上．