精品解析：2023年广东省深圳市深圳高级中学中考模拟数学试题（5月）

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本试卷共6页，22题，满分100分，考试用时90分钟
说明：
1.答卷前，请将姓名、准考证号和学校名称用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案（作图题除外）；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义即可得到答案．
【详解】解：的相反数是．
故选：C
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误；
D．既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则，二次根式的加减法法则，积的乘方运算法则以及多项式除以多项式的运算法则逐一判断即可．
【详解】A.与不是同类二次根式，所以不能合并，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的除法、积的乘方以及二次根式的加减法，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家.下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数与众数的定义，即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是，，
故选：D．
【点睛】本题考查了求中位数与众数，熟练掌握中位数与众数的定义是解题的关键．
6. 下列命题正确是（ ）
A. 若，则B. 相等的两个角是对顶角
C. 平分弦的直径垂直于这条弦D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，对顶角的定义，垂径定理，矩形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
B. 相等的两个角不一定是对顶角，故该选项不正确，不符合题意；
C. 平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意；
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，对顶角的定义，垂径定理，矩形的判定定理，熟练掌握不等式的性质，对顶角的定义，垂径定理，矩形的判定定理是解题的关键．
7. 北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果．
【详解】解：延长交直线于点，
，
，
根据题意得，
，
故选：A．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
8. 二次函数与一次函数的图像在同一直角坐标系中图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数和一次函数的系数对函数图像的影响，可首先排除A选项，再根据，，，可见一个交点在轴上，一个交点的横坐标为1，且抛物线过原点，即可选出正确选项．
【详解】解：∵二次函数，
∴
∴二次函数图像过原点，
∴A选项不符合题意；
B：假设二次函数的图像正确，由二次函数图像开口方向向上，可知；
又∵在同一坐标系中由一次函数的图像，y随x的增大而减小，可知；
故B选项不符合题意；
∵，
∴，，
∴交点坐标为：，，
∴其中一个交点坐标位于x轴上，
故C选项，函数图像一个交点坐标位于x轴上，而且抛物线过原点，符合题意；
故D选项，函数图像交点不在x轴上，不符合题意；
故答案为C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项对函数图像的影响是解题的关键．
9. 如图，点是正方形内部一个动点，且，，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取，则,证明得出，进而证明，即可证明，得出，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，取，则,连接，
∵，，
∴点在以为圆心为半径的圆上运动，点在以为圆心为半径的圆上运动，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
又，，
∴，
∴，
当时，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
10. 如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为( )
A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，作于，连接并延长交于，连接，可由推出，进而求得，，，，，再在中列方程求得．
【详解】解：如图，
连接，作于，连接并延长交于，连接，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
根据对称性可得，，，
在中，，，
，设，
中，由勾股定理得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，得出
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：－x=__________．
【答案】x（x+1）（x－1）
【解析】
【详解】解：原式
12. 如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式，即可求解．
【详解】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：369、396、639、693、936、963，一共6中情况；
∴一次就能打开行李箱的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为__．
【答案】##106度
【解析】
【分析】连接，由作法得垂直平分，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中、菱形在第一象限内，点的坐标是，点的坐标是，边与轴平行，反比例函数过点，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】勾股定理求得的长，进而根据菱形的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，
∵四边形是菱形
∴，
∵轴，
∴
∵反比例函数过点，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理求两点距离，菱形的性质，坐标与图形，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15. 如图，矩形中，，．为上一点，点关于的对称点落在矩形内的处．连接，当时，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】延长交于点，连接，过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出，证明，得出，设，则，然后在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，连接，
∵点关于的对称点落在矩形内的处．
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
设，则
过点作于点，
∵折叠
∴,
∴，
∴
∴,，
∵
∴
∴是的中位线，
∴
在中，
∴
解得：（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
17. 先化简，再求值，其中．
【答案】
【解析】
【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可．
【详解】原式，
当 时，原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值，熟练掌握因式分解，通分约分是解题的关键．
18. 某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）108° （4）600名
【解析】
【分析】（1）由的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得人数，从而补全图形；
（3）乘以样本中人数所占百分比即可；
（4）用1500乘以类活动的百分比即可．
【小问1详解】
本次共调查的学生有（名；
故答案为：100；
【小问2详解】
对应人数为（名，
补全条形图如下：
【小问3详解】
，
类活动对应扇形的圆心角为108度；
【小问4详解】
（名，
答：估计该校最喜欢类活动的学生有600名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19. 为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
【答案】（1）甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元
（2）当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元．
由题意得，，解得，
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．
【小问2详解】
设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元，
由题意得，，
由题意得，解得，
因为随的增大而增大，所以当时取得最小值．
答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
20. 某班“数学兴趣小组”对函数图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：
其中，______．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．
【答案】（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②
【解析】
【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；
（2）利用描点法画函数图象即可；
（3）①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可．
【详解】（1）x=-2时，m=（-2）2- =0；
故答案为：0；
（）如图所示
（）①观察图象，可知与x轴有三个交点，
所以有三个根，分别是、、；
即答案为3；
②∵关于的方程有四个根，
∴函数的图象与y=a有四个交点，
由函数图象知：的取值范围是．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．
21. 已知平面直角坐标系中的点P和，的半径是4，交x轴于点A，B．对于点P给出如下定义：过点C的直线与交于点M，N，点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”．
（1）如图1，已知点；
①点中是关于的“弦中点”的是 ；
②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值；
（2）如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）①，；②或
（2）
【解析】
【分析】（1）①如图1，作直线，由垂径定理得，则P点在以为圆心，1为半径的圆上，结合所给的点进行判断即可；②由①知，P点在以为圆心，1为半径的圆上，由题意知直线与相切，如图2，过点D作垂直于直线交于点F，证明，则，即计算求解即可，当直线与轴交于负半轴时，同理可得值；
（2）由（1）可知，P点在以为直径的圆上，由题意知直线与相交或相切，分两种情况求值，进而可得得取值范围．
【小问1详解】
①解：如图1，作直线，

∵P点是弦的中点，
∴，
∴，
∴P点在以为直径的上，
∵，
∴P点在以为圆心，1为半径的圆上，
∵，，，
∴点在该圆上，
∴点是关于的“弦中点”，
故答案为：，；
②由①知，P点在以为圆心，1为半径的圆上，
∵直线上只存在一个关于MN的“弦中点”，
∴直线与相切，
如图2，过点D作垂直于直线交于点F，
∵直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得；
如图2，当直线与轴交于负半轴时，同理可得，
∴值为或；
【小问2详解】
解：由（1）可知，P点在以为直径的圆上，
∵直线上存在关于MN的“弦中点”，
∴直线与相交或相切，
如图3，过D点作垂直于直线交于点F，
∵直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴的半径为3，
∴，，，
∴，
过O点作垂直于直线交于点，
∵直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，∴，
∵的半径为4，
∴，
∴，
∴b的取值范围为．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，直线与圆的位置关系，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握知识，理解题意，确定点的轨迹是解题的关键．
22. 如图，是边长为的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接.
（1）【尝试初探】
如图1，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由.
（2）【深入探究】
如图2，当点在线段上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值.
（3）【拓展延伸】
如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长.
【答案】（1），理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可证明,可得结论；
（2）如图2，过点作于点，先根据等边三角形的性质和度角的直角三角形的性质求出，，结合（1）证明，推出，利用相似三角形的性质求出，再根据正切的定义求解即可；
（3）如图3，过点作于点，先证明，得出，进而可证明，可得，结合已知可得，设，可得，根据等边三角形的性质可得， ，则，然后在直角三角形中，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即得答案．
【小问1详解】
如图1，，理由如下：
∵与都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴；
【小问2详解】
如图2，过点作于点，
∵是边长为3的等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3，过点作于点，
∵与都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∵是边长为3的等边三角形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∵点在的延长线上，
∴，
∴，
∴，
即
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、正确添加辅助线是解题的关键．…
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