广东省八区2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份广东省八区2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．直线的倾斜角是
A．B．C．D．
2．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（ ）
A．B．
C．D．
6．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ）
A．14B．15C．18D．20
8．已知数列{}满足，，记数列{}的前n项和为，则=（ ）
A．506B．759C．1011D．1012
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．∥
10．数列满足，，则（ ）
A．数列是递减数列B．
C．点()都在直线D．数列的前项和的最大值为32
11．过双曲线C：的左焦点作直线l与双曲线C的右支交于点A，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．点到双曲线C的渐近线的距离为4
C．直线l的斜率k取值范围是
D．若的中点在y轴上，则直线l的斜率
12．过直线l： 上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则（ ）
A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为
B．|PA|的最小值为
C．的最小值为
D．直线l上存在两个点P，使得
三、填空题
13．经过点，且与直线平行的直线的方程为 .
14．若数列{}为等差数列，，则数列{}的前9项和= .
15．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为 .
16．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 .
四、问答题
17．在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为等差数列的前n项和，求使不等式成立的n的最小值.
18．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程.
19．如图，在长方体中，，点是的中点.
(1)求与所成角的余弦值；
(2)求与平面所成角的正弦值.
五、证明题
20．已知数列{}的前n项和为，，.
(1)求证:数列{}是等比数列；
(2)若，，求数列{}的前n项和.
六、问答题
21．如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点，为正三角形，平面平面.
(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
22．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的两点，为坐标原点，，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
2．B
【详解】试题分析：由题意得，抛物线，可得，
且开口向左，其准线方程为.
故选B．
考点：抛物线的几何性质．
3．B
【分析】由双曲线的方程知再由求得，即可求得双曲线的离心率.
【详解】由双曲线知，则，
则离心率.
故选：B
4．B
【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程.
【详解】，解得，故直线交点为，
直线的斜率，故垂直于它的直线斜率，
故所求直线方程为，整理得到.
故选：B
5．A
【分析】利用空间向量的运算法则得到，得到答案.
【详解】
，故.
，
故选：A
6．A
【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.
【详解】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A
7．C
【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案.
【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，
则为平行四边形，
的周长为，
当，为椭圆上下顶点时等号成立.
故选：C
8．A
【分析】根据数列递推公式可知，当为偶数时，即可出现分组求和，再利用累加根据等差数列求和公式即可求得结果.
【详解】由递推公式可得，
；
；
；
而
故选：A
9．AD
【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.
【详解】对A，因为，所以，故A正确；
对B，，故B不正确；
对C，，所以不垂直，故C不正确；
对D，，所以∥，故D正确.
故选：AD.
10．AC
【分析】根据数列的递推关系式，可判断数列的单调性及，可判断A；又可得数列为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前项和公式结合二次函数的性质，即可求得的最大值，可判断D.
【详解】数列满足，，即，所以数列是递减数列，故A正确；
且数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则点()都在直线上，故B不正确，C正确；
数列的前项和，
又因为，所以时，，时，，则的最大值为，故D不正确.
故选：AC.
11．ACD
【分析】双曲线C的渐近线方程为，A正确，计算点到直线的距离得到B错误，根据渐近线得到斜率k取值范围是，C正确，确定的横坐标为，得到或，计算斜率得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：双曲线C的渐近线方程为，正确；
对选项B：，取渐近线方程为，距离为，错误；
对选项C：渐近线方程为，故斜率k取值范围是，正确；
对选项D：的中点在y轴上，则的横坐标为，，得到，故或，，斜率为，正确.
故选：ACD
12．BCD
【分析】确定两圆圆心和半径，到直线的距离为，，A正确，的最小值为，B错误，计算对称点得到最小距离为，C正确，计算轨迹方程为圆，再判断直线和圆的位置关系得到D正确，得到答案.
【详解】圆C1：，圆心，半径；
圆C2：，圆心，半径，
对选项A：到直线的距离为，，故只有1个点满足条件，错误；
对选项B：，的最小值为，故的最小值为，正确；
对选项C：设关于直线的对称点为，则，解得，故，，正确；
对选项D：，即，即，设，则，整理得到，轨迹为圆心为，半径为的圆，圆心到直线的距离为，直线和圆相交，有2个交点，正确.
故选：BCD
13．
【分析】根据直线平行得到，得到，整理得到答案.
【详解】直线与直线平行，则，直线方程为，
即.
故答案为：
14．
【分析】利用等差数列的性质得到，代入数据计算得到答案.
【详解】.
故答案为：
15．
【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，，，对应的坐标为，代入抛物线，解得答案.
【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，
抛物线方程为，，
设，水面下降2m后，水面宽8m，对应的坐标为，
则，解得，故拱顶点O离水面l的距离为.
故答案为：
16．
【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值.
【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且
则，设平面的法向量为，又
则，令，则
因为平面，所以，即，
则，所以
则，
由二次函数的性质可得当时，，时，，所以长度的最大值为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列公式得到，，得到通项公式.
（2）计算，解不等式得到答案.
【详解】（1）等差数列中，，，故，，
故.
（2），，即，解得，
故的最小值为
18．(1)
(2)或.
【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答案.
（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案.
【详解】（1），的中点为，故的垂直平分线为，
即，，解得，故圆心为，
半径，故圆方程为.
（2）当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
，故圆心到直线的距离为，解得，
故直线方程为，即.
综上所述：直线的方程为或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据长方体以为原点，为轴建立空间直角坐标系，求解，按照异面直线夹角余弦公式求解与所成角的余弦值即可；
（2）由（1）求平面的法向量与直线的方向向量，再利用空间向量坐标运算解求得与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）在长方体中，，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，则，
则与所成角的余弦值为；
（2）设平面的法向量为，又，，
所以，令，则
所以，故与平面所成角的正弦值为.
20．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）利用得数列的递推关系，从而由等比数列定义得证结论；
（2）由错位相减法求和．
【详解】（1），时，，相减得：，又，
,,
所以，,
所以是等比数列，首项是9，公比是3；
（2）由（1）得，，，
，
则，
相减得，
∴．
21．(1)
(2)存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点
【分析】（1）根据线面关系证得，，则以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求平面的法向量与，即可求得点到平面的距离；
（2）由（1）知平面的法向量，设，且，利用空间向量的坐标求平面的法向量，根据平面与平面夹角余弦值的向量的坐标运算列方程，即可求得的值，从而确定的位置.
【详解】（1）连接，因为为正三角形，又为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，，分别为，的中点，所以，，所以，
则如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，则，
设平面的法向量为，由于，
则，令，则
又，则点到平面的距离为；
（2）由（1）可知是平面的一个法向量，
由题可设，且，则，
所以，
设平面的法向量为，由于，
则，令，则，
所以，整理得，解得或（舍），
故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率的计算公式和数量积的坐标表示即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.
【详解】（1）由题意可得，，
又因为椭圆中，所以，，，
故椭圆的方程为.
（2）当直线斜率存在时，设，，直线方程为，
联立得，
，即，
所以，，
因为，所以，
又因为
，
所以，即，
所以，
因为，所以，即，
当直线斜率不存在时，设，，，且，
所以，解得，
又因为在椭圆上，则，
所以，，
所以，
综上的取值范围为.